一、选择题（共12小题；共36分）
1. 已知 𝑎>𝑏，下列不等式中正确的是 ( )
A. 𝑎+3<𝑏+3
B. 𝑎−1<𝑏−1
C. −𝑎>−𝑏
D. >
2
2𝑎
𝑏
2. 下列图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 ( )
A.
B.
C. D.
3. 下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是 ( )
A. 1.5，2，3
B. 7，24，25
C. 9，12，15
D. 5，12，13
4. 下列因式分解正确的是 ( )
A. 𝑥2−4=(𝑥+4)(𝑥−4) C. 3𝑚𝑥−6𝑚𝑦=3𝑚(𝑥−6𝑦) 5. 若分式
𝑥2−9𝑥−3
B. 𝑥2+2𝑥+1=𝑥(𝑥+2)+1 D. 2𝑥+4=2(𝑥+2)
的值为零，则 𝑥 的取值为 ( )
B. 𝑥≠−3
C. 𝑥=3
D. 𝑥=−3
A. 𝑥≠3
6. 如图，在平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵 且 𝐸 为垂足．如果 ∠𝐴=125∘，则 ∠𝐵𝐶𝐸 = ( )
A. 55∘ A. 8 ( )
B. 35∘ B. 9
C. 25∘ C. 10
D. 30∘ D. 12
7. 若一个多边形的每个内角都为 135∘，则它的边数为 ( )
8. 如图，△𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=10，𝐴𝐷 平分 ∠𝐵𝐴𝐶 交 𝐵𝐶 于点 𝐷，点 𝐸 为 𝐴𝐶 的中点，连接 𝐷𝐸，则 𝐷𝐸 的长为
A. 10
A. ∠𝐴=∠𝐶，∠𝐵=∠𝐷 C. 𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐶𝐷 10. 解分式方程
1
5
B. 6 C. 8
B. 𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐷∥𝐵𝐶 D. 𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐷∥𝐵𝐶
D. 5
9. 下列条件中，不能判断四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形的是 ( )
−4=3−2𝑥 时，去分母后可得 ( ) 2𝑥−3
B. 1−4(2𝑥−3)=5 D. 2𝑥−3−4=5(2𝑥−3)
12
A. 1−4(2𝑥−3)=−5 C. 2𝑥−3−4=−5
11. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐵=55∘，∠𝐶=30∘，分别以点 𝐴 和点 𝐶 为圆心，大于 𝐴𝐶 的长为半径画弧，两弧相交
于点 𝑀，𝑁，作直线 𝑀𝑁，交 𝐵𝐶 于点 𝐷，连接 𝐴𝐷，则 ∠𝐵𝐴𝐷 的度数为 ( ) A. 65∘
B. 60∘
C. 55∘
D. 45∘
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12. 如图，平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝑀 是 𝐵𝐶 的中点，且 𝐴𝑀=9，𝐵𝐷=12，𝐴𝐷=10，则 𝐴𝐵𝐶𝐷
的面积是 ( )
A. 30 B. 36
二、填空题（共3小题；共12分） 13. 分解因式：2𝑥2−2= ．
14.如图所示，△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC=10cm，
CD=6cm，则DE的长为 cm.
C. 54 D. 72
15. 若关于 𝑥 的方程
𝑥+2𝑥−1
=
𝑚+1
产生增根，则 𝑚𝑥−1
= ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，将 △𝐴𝐵𝑂 绕点 𝐴 顺时针旋转到 △𝐴𝐵1𝐶1 的位置，点 𝐵，𝑂 分别落在点 𝐵1，𝐶1 处，
点 𝐵1 在 𝑥 轴上，再将 △𝐴𝐵1𝐶1 绕点 𝐵1 顺时针旋转到 △𝐴1𝐵1𝐶2 的位置，点 𝐶2 在 𝑥 轴上，将 △𝐴1𝐵1𝐶2 绕点 𝐶2 顺时针旋转到 △𝐴2𝐵2𝐶2 的位置，点 𝐴2 在 𝑥 轴上，依次进行下去 ⋯，若点 𝐴(3,0)，𝐵(0,4)，则点 𝐵100 的坐标为 .
三、解答题（共7小题；第17题、18题、19题各7分；第20题8分、第21题6分、第22题8分，第23题9分） 1+𝑥>−2,
17. 解一元一次不等式组 {2𝑥−1 并把解在数轴上表示出来．
≤1,
3
18. 化简分式：化简 (
−5−𝑥)÷𝑥2−25，并选择一个你喜欢的数字代入求值． 𝑥−5
𝑥𝑥2𝑥
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19. 上午 8 时，一条船从 𝐴 处出发以 30 海里/时的速度向正北航行，12 时到达 𝐵 处．测得 ∠𝑁𝐴𝐶=32∘，∠𝐴𝐵𝐶=
116∘．求从 𝐵 处到灯塔 𝐶 的距离?
20. 已知：如图，在平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，点 𝐹 在 𝐴𝐵 的延长线上，且 𝐵𝐹=𝐴𝐵，连接 𝐹𝐷，交 𝐵𝐶 于点 𝐸．
（1）说明 △𝐷𝐶𝐸≌△𝐹𝐵𝐸 的理由； （2）若 𝐸𝐶=3，求 𝐴𝐷 的长．
21. 一副直角三角板叠放如图所示，现将含 45∘ 角的三角板 𝐴𝐷𝐸 固定不动，把含 30∘ 角的三角板 𝐴𝐵𝐶 绕顶点 𝐴 顺
时针旋转 ∠𝛼(𝛼=∠𝐵𝐴𝐷且0∘<𝛼<180∘)，使两块三角板至少有一组边平行．
（1）如图①，𝛼= ° 时，𝐵𝐶∥𝐷𝐸；
（2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出 𝛼，并完成各项填空：
图②中 𝛼= °时， ∥ ；图③中 𝛼= °时， ∥ ．
22. 兴发服装店老板用 4500 元购进一批某款 𝑇 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用 4950 元购进第二批
该款式 𝑇 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了 9 元． （1）第一批该款式 𝑇 恤衫每件进价是多少元?
（2）老板以每件 120 元的价格销售该款式 𝑇 恤衫，当第二批 𝑇 恤衫售出 时，出现了滞销，于是决定降价促
54
销，若要使第二批的销售利润不低于 650 元，剩余的 𝑇 恤衫每件售价至少要多少元?（利润 = 售价 − 进价）
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23. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，已知 𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐵𝐶=6 cm，直线 𝐶𝑀⊥𝐵𝐶，动点 𝐷 从点 𝐶 开始沿射线
𝐶𝐵 方向以每秒 2 厘米的速度运动，动点 𝐸 也同时从点 𝐶 开始在直线 𝐶𝑀 上以每秒 1 厘米的速度运动，连接 𝐴𝐷，𝐴𝐸，设运动时间为 𝑡 秒． （1）求 𝐴𝐵 的长；
（2）当 𝑡 为多少时，△𝐴𝐵𝐷 的面积为 6 cm2
（3）当 𝑡 为多少时，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，并简要说明理由．（可在备用图中画出具体图形）
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答案
第一部分 1. D 6. B
2. B 7. A
3. A 8. D
4. D 9. B
5. D 10. A
11. A 【解析】由题意可得：𝑀𝑁 是 𝐴𝐶 的垂直平分线，则 𝐴𝐷=𝐷𝐶，故 ∠𝐶=∠𝐷𝐴𝐶， ∵∠𝐶=30∘， ∴𝐷𝐴𝐶=30∘， ∵∠𝐵=55∘， ∴∠𝐵𝐴𝐶=95∘，
∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐷=65∘． 12. D 第二部分
13. 2(𝑥+1)(𝑥−1) 14. 2
15. (480,4)；(488,0)
【解析】因为 𝐴𝑂=3，𝐵𝑂=4， 所以 𝐴𝐵=5，
所以 𝑂𝐴+𝐴𝐵1+𝐵1𝐶2=3+5+4=12，所以 𝐵2 的横坐标为：12，且 𝐵2𝐶2=4， 所以 𝐵4 的横坐标为：2×12=24， 所以点 𝐵80 的横坐标为：40×12=480．所以点 𝐵80 的纵坐标为：4．
点 𝐵81 的横坐标为：480+3+5=488，点 𝐵81 的纵坐标为：0， 所以点 𝐵81 的坐标为 (488,0)， 故答案为：(480,4)；(488,0)． 第三部分
16. 由 1+𝑥>−2 得，
由
2𝑥−13
≤1 得，
∴ 不等式组的解集为 −3<𝑥≤2． 解集在数轴上表示如下：
原式=2𝑥
(𝑥+5)(𝑥−5)
17.
𝑥−5⋅2𝑥
=𝑥+5,
当 𝑥=1 时，原式=6．
𝑥>−3,
𝑥≤2,
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18. 根据题意，得 𝐴𝐵=30×4=120（海里）； 在 △𝐴𝐵𝐶 中，∠𝑁𝐴𝐶=32∘，∠𝐴𝐵𝐶=116∘， ∴ ∠𝐶=180∘−∠𝑁𝐴𝐶−∠𝐴𝐵𝐶=32∘， ∴ ∠𝐶=∠𝑁𝐴𝐶，
∴ 𝐵𝐶=𝐴𝐵=120（海里），
即从 𝐵 处到灯塔 𝐶 的距离是 120 海里． 19. （1） ∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形， ∴ 𝐴𝐵=𝐷𝐶，𝐴𝐵∥𝐷𝐶， ∴ ∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐹， 又 ∵ 𝐵𝐹=𝐴𝐵， ∴ 𝐷𝐶=𝐹𝐵，
在 △𝐷𝐶𝐸 和 △𝐹𝐵𝐸 中，
∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐹,因为 {∠𝐶𝐸𝐷=∠𝐵𝐸𝐹,
𝐷𝐶=𝐹𝐵.
∴ △𝐷𝐶𝐸≌△𝐹𝐵𝐸(AAS)． （2） ∵ △𝐷𝐶𝐸≌△𝐹𝐵𝐸， ∴ 𝐸𝐵=𝐸𝐶， ∵ 𝐸𝐶=3， ∴ 𝐵𝐶=2𝐸𝐵=6，
∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形， ∴ 𝐴𝐷=𝐵𝐶， ∴ 𝐴𝐷=6． 20. （1） 15
【解析】𝛼=∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐵=45∘−30∘=15∘． （2） 60；𝐵𝐶；𝐷𝐴；105；𝐵𝐶；𝐸𝐴
【解析】
图②中 𝛼=60∘ 时，𝐵𝐶∥𝐷𝐴，图③中 𝛼=105∘ 时，𝐵𝐶∥𝐸𝐴． 21. （1） 设第一批 𝑇 恤衫每件进价是 𝑥 元.由题意，得
45004950
=. 𝑥𝑥+9解得
𝑥=90.
经检验 𝑥=90 是分式方程的解，符合题意． 答：第一批 𝑇 恤衫每件的进价是 90 元；
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（2） 设剩余的 𝑇 恤衫每件售价 𝑦 元. 由（1）知，第二批购进
4495099
=50 （件）．
1
由题意，得 120×50×5+𝑦×50×5−4950≥650 . 解得 𝑦≥80．
答：剩余的 𝑇 恤衫每件售价至少要 80 元． 22. （1） ∵ 在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90∘， ∴2𝐴𝐵2=𝐵𝐶2， ∴𝐴𝐵=
𝐵𝐶√2=3√2 cm；
（2） 过 𝐴 作 𝐴𝐹⊥𝐵𝐶 交 𝐵𝐶 于点 𝐹，如图，
则 𝐴𝐹=2𝐵𝐶=3 cm， ∵𝑆△𝐴𝐵𝐷=6 cm2， ∴𝐴𝐹×𝐵𝐷=12， ∴𝐵𝐷=4 cm．
若 𝐷 在 𝐵 点右侧，则 𝐶𝐷=2 cm，𝑡=1 s； 若 𝐷 在 𝐵 点左侧，则 𝐶𝐷=10 cm，𝑡=5 s．
（3） 动点 𝐸 从点 𝐶 沿射线 𝐶𝑀 方向运动 2 秒或当动点 𝐸 从点 𝐶 沿射线 𝐶𝑀 的反向延长线方向运动 6 秒时，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸 .
理由如下：（说明过程简要说明即可）
①如图，当 𝐸 在射线 𝐶𝑀 上时，𝐷 必在 𝐶𝐵 上，则需 𝐵𝐷=𝐶𝐸．
1
∵𝐶𝐸=𝑡，𝐵𝐷=6−2𝑡， ∴𝑡=6−2𝑡， ∴𝑡=2．
证明：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐸=45∘，𝐵𝐷=𝐶𝐸， ∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸．
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②如图，当 𝐸 在 𝐶𝑀 的反向延长线上时，𝐷 必在 𝐶𝐵 延长线上，则需 𝐵𝐷=𝐶𝐸．
∵𝐶𝐸=𝑡，𝐵𝐷=2𝑡−6， ∴𝑡=2𝑡−6， ∴𝑡=6．
证明：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐸=135∘，𝐵𝐷=𝐶𝐸， ∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸．
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