一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．A．
=（ ） B．
C．
D．
2．已知向量=（1，2），向量=（x，﹣2），且⊥（﹣），则实数x等于（ ） A．﹣4 B．4 C．0 D．9 3．已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，则圆C1与圆C2的位置关系是（ ） A．外离 B．相切 C．相交 D．内含 4．函数y=tan（﹣
）在一个周期内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．已知O为坐标原点，点A的坐标为（3，﹣4），将线段OA绕点O逆时针旋转至OB，
则点B的纵坐标为（ ） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
6．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（ ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（ ） A．α∥β⇒l∥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥β D．l⊥m⇒α⊥β 8．在△ABC中，||=1，||=3，∠BAC=60°，则||=（ ） A．1 B． C．3 D．
9．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′=3，AB=4，AD=5，E、F分别是线段AA′和AC的中点，则异面直线EF与CD′所成的角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．直线l：3x+4y+4=0与圆C：（x﹣2）2+y2=9交于A，B两点，则cos∠ACB=（ ） A．﹣ B．
C．﹣ D．
11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，BE平分∠ABC，AD与BE交于点P，若=λ+μ，则λ等于（ ）
A． B．﹣1 C． D．
12．如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为，AD，BC是圆台的两条母线（四边形ABCD是经过轴的截面）．一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（ ）
A．2 B．π+2 C． +2 D． +2
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知sinθ+cosθ=，则sin2θ的值为 ．
14．已知斜率为2的直线l过点P（1，3），将直线l沿x轴向右平移m个单位得到直线l′，若点A（2，1）在直线l′上，则实数m= ．
15．已知||=1，|+|=，||=2，则在方向上的投影等于 ．
16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2．该三棱锥外接球的表面积等于 ．
三、解答题（共6小题，满分70分） 17．已知O（0，0），A（2，﹣1），B（1，2）． （1）求△OAB的面积；
（2）若点C满足直线BC⊥AB，且AC∥OB，求点C的坐标． 18．长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示． （1）画出这个几何体的俯视图，并求截面AEF的面积；
（2）若M为EF的中点，求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
19．已知函数f（x）=Asinx+cosx，A＞0． （1）若A=1，求f（x）的单调递增区间； （2）函数f（x）在x=x0处取得最大值，求cosx0的值． 20．PA⊥平面ABCD，AB=1，AC=在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AD=2，M、N分别为棱PA、BC的中点． （1）求证：MN∥平面PCD；
（2）若二面角P﹣CD﹣B等于30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
，
21．如图，已知函数f（x）=msin（x+）（m＞0）的图象在y轴右侧的最高点从左到
右依次为B1、B2、B3、…，与x轴正半轴的交点从左到右依次为C1、C2、C3、…． （1）若m=1，求
•
；
（2）在△OB1C1，△OB2C3，△OB3C5，…，△OBiC2i﹣1，（i=1，2，3，…）中，有且只有三
个锐角三角形，求实数m的取值范围．
22．已知动点M与两点P1（，0），P2（2r，0）的距离之比为，r＞0．
（1）求动点M的轨迹Γ的方程；
（2）已知菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l：y=2x+3上，顶点C，D在Γ上，当直线l与Γ无公共点时，求菱形ABCD的面积S的取值范围．
2015-2016学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．A．
=（ ） B．
C．
D．
【考点】运用诱导公式化简求值． 【分析】根据诱导公式可知cos【解答】解：cos
=cos（π+
=cos（π+）=﹣cos
），进而求得答案． =﹣
故选D．
2．已知向量=（1，2），向量=（x，﹣2），且⊥（﹣），则实数x等于（ ） A．﹣4 B．4 C．0 D．9 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】①把【解答】解：∵∴
，
转化为∴
，
②用坐标运算公式
=x1x2+y1y2
∴1+2×2﹣（1×x﹣2×2）═0， ∴x=9． 故选D．
3．已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，则圆C1与圆C2的位置关系是（ ） A．外离 B．相切 C．相交 D．内含 【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，大于半径之差，而小于半径之和，可得两个圆关系．
【解答】解：圆C1：x2+y2=1，表示以C1（0，0）为圆心，半径等于1的圆．
圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，即 （x+2）2+（y﹣3）2=9，表示以C2（﹣2，3）为圆心，半径等于3的圆．
=∴两圆的圆心距d=，
∵3﹣1＜＜3+1，故两个圆相交． 故选：C．
4．函数y=tan（﹣
）在一个周期内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】正切函数的图象． 【分析】根据函数y=tan（﹣﹣
＜﹣
＜
）在包含原点的一个周期内是增函数，故排除C、D；令
，求得x的范围，从而得出结论．
）在包含原点的一个周期内是增函数，故排除C、D；＜x＜
，结合所给的选项，
【解答】解：根据函数y=tan（﹣令﹣
＜﹣
＜
，求得﹣
故选：A．
5．已知O为坐标原点，点A的坐标为（3，﹣4），将线段OA绕点O逆时针旋转
至OB，
则点B的纵坐标为（ ） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】设B（m，n），（m，n＞0），由OA⊥OB，且|OA|=|OB|，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，及两点的距离公式计算即可得到所求． 【解答】解：设B（m，n），（m，n＞0）， 由OA⊥OB，且|OA|=|OB|， 可得﹣•=﹣1，
=
，
解得m=4，n=3． 即B的纵坐标为3． 故选：C．
6．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（ ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二倍角的余弦．
【分析】利用二倍角公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：由于函数y=2cos2x=2•
=cos2x+1，
∴要得到得函数y=2cos2x的图象，
可以将函数y=1+cosx图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
故选：B．
7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（ ） A．α∥β⇒l∥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥β D．l⊥m⇒α⊥β 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥m，当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，当l∥m有α⊥β，当l⊥m有α∥β或α∩β，得到结论 【解答】解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β， 当α∥β有l⊥β，进而可得l⊥m，故A不正确
当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，故B不正确
当l∥m有直线m⊥平面α，因为直线m⊂平面β，α⊥β，故C正确， 当l⊥m有α∥β或α∩β，故D不正确， 故选：C．
8．在△ABC中，||=1，||=3，∠BAC=60°，则||=（ ） A．1 B． C．3 D． 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】可知，从而得出【解答】解：===7； ∴
．
的值．
，根据条件对上式两边平方进行数量积的运算即可得出
，
故选：B．
9．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′=3，AB=4，AD=5，E、F分别是线段AA′和AC的中点，则异面直线EF与CD′所成的角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90° 【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与CD′所成的角．
【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系， 则E（0，0，），F（2，，0），C（4，5，0）， D′（0，5，3）， =（2，，﹣），
=（﹣4，0，3），
∴cos＜＞===﹣，
∴异面直线EF与CD′所成的角45°． 故选：C．
10．直线l：3x+4y+4=0与圆C：（x﹣2）2+y2=9交于A，B两点，则cos∠ACB=（ ） A．﹣ B．
C．﹣ D．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】求出圆心、半径，圆心到直线的距离，利用三角函数进行求解． 【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=9的圆心坐标为（2，0），半径为3， 圆心到直线的距离为∴cos∠ACB=，
∴cos∠ACB=2cos2∠ACB﹣1=﹣1=﹣，
故选：A．
11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，BE平分∠ABC，AD与BE交于点P，若=λ+μ，则λ等于（ ）
=2，
A． B．﹣1 C． D．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】可以BC，DA所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，并设，从而可根据条件求出A，B，C三点的坐标，并可求出，可写出直线BE的方程，从而求出点P的坐标，进而得出向量
的坐标，带入
即可建立
关于λ，μ的方程，解出λ即可．
【解答】解：以BC，DA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设AB=则：
，
A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）； 根据正切的二倍角公式：设tan22.5=x，则∴解得x=； ∴直线BE的方程为∴令x=0，y=，即∴∴∴
；
，且x＞0；
；
； ，
；
；
解得．
故选D．
12．如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为，AD，BC是圆台的两条母线（四边形ABCD是经过轴的截面）．一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（ ）
A．2 B．π+2 C． +2 D． +2
【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．
【分析】由题意求出圆台所在圆锥的母线长，利用弧长公式求出圆心角，把最短路程转化为三角形的边长求解．
【解答】解：沿母线AD剪开并展开如图，
∵圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为， ∴OB=4，OE=2．
设展开图的圆心角为α，则2π•1=2α， ∴α=π，
∴∠AOE=90°，
=2． ∴AE=
∴经过的最短路程为2． 故选：A．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知sinθ+cosθ=，则sin2θ的值为 ﹣ ．
【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系． 【分析】将已知的等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，整理后即可求出sin2θ的值． 【解答】解：将sinθ+cosθ=左右两边平方得： （sinθ+cosθ）2=，
整理得：sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+sin2θ=， 则sin2θ=﹣1=﹣． 故答案为：﹣
14．已知斜率为2的直线l过点P（1，3），将直线l沿x轴向右平移m个单位得到直线l′，若点A（2，1）在直线l′上，则实数m= 2 ． 【考点】直线的一般式方程．
【分析】由已知直线l的斜率且过点P，根据直线方程的点斜式求出其解析式，然后根据平移的性质：左加右减，上加下减，得到直线l′，再根据点A在直线l′上，代入直线l′方程计算即可得答案．
【解答】解：由直线l斜率为2且过点P（1，3）， 得y﹣3=2（x﹣1），
即y=2x+1，将直线l沿x轴向右平移m个单位得到直线l′， 则直线l′即y=2（x﹣m）+1， 又点A（2，1）在直线l′上，
∴2×（2﹣m）+1=1，解得m=2． 故答案为：2．
15．已知||=1，|+|=
，||=2，则在方向上的投影等于
．
【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据条件对
的两边平方即可求出
的值，这样根据一个向量在另一
个向量方向上的投影的计算公式便可得出所要求的投影的值． 【解答】解：根据条件，∴
；
=
=3；
在方向上的投影为：
=
=
=；
．
∴在方向上的投影等于故答案为：
．
16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2．该三棱锥外接球的表面积等于 12π ．
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【分析】由题意将三棱锥补全为正方体，且正方体的对角线为该三棱锥外接球的直径，即2R=2，得到三棱锥A﹣BCD外接球的半径大小，即可求出三棱锥外接球的表面积．
【解答】解：由题意将三棱锥补全为正方体，且正方体的对角线为该三棱锥外接球的直径，即2R=2， ∴R=
∴三棱锥外接球的表面积为4πR2=12π． 故答案为：12π．
三、解答题（共6小题，满分70分） 17．已知O（0，0），A（2，﹣1），B（1，2）． （1）求△OAB的面积；
（2）若点C满足直线BC⊥AB，且AC∥OB，求点C的坐标． 【考点】正弦定理；两点间距离公式的应用． 【分析】（1）由两点之间的距离公式求出|OA、|OB|，由向量的坐标运算、数量积运算得
=0，判断出OA⊥OB，由三角形的面积公式求出△OAB的面积； 到
（2）点C的坐标为（x，y），由向量的坐标运算求出、、，根据条件、向量垂直和平行的坐标条件列出方程组，求出x，y的值，可得点C的坐标． 【解答】解：（1）由题意得，|OA|=|OB|=，
=0， ∵=（2，﹣1），=（1，2），∴OA⊥OB，则△OAB的面积S=
（2）设点C的坐标为（x，y），
则=（x﹣1，y﹣2），=（x﹣2，y+1），且∵直线BC⊥AB，且AC∥OB， ∴
=0，
，则
；
=（﹣1，3），
，
解得，
∴点C的坐标为（4，3）．
18．长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示． （1）画出这个几何体的俯视图，并求截面AEF的面积；
（2）若M为EF的中点，求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（1）根据直观图，可得俯视图，根据三角形的三条边，即可求截面AEF的面积；
（2）将几何体补充为长方体，则∠AMG为直线AM与平面ABCD所成角，即可求直线AM与平面ABCD所成角的正切值． 【解答】解：（1）俯视图如图所示，截面AEF中AF=EF=2，AE=2，面积为
=6；
（2）将几何体补充为长方体，则∠AMG为直线AM与平面ABCD所成角． ∵GM=，GA=2， ∴tan∠AMG=
．
19．已知函数f（x）=Asinx+cosx，A＞0． （1）若A=1，求f（x）的单调递增区间； （2）函数f（x）在x=x0处取得最大值，求cosx0的值． 【考点】两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象． 【分析】（1）由题意利用两角和的正弦函数公式可得f（x）=x+
≤2kπ+
，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．
sin（x+φ），其中tanφ=，由题意可求，进而解得A，sinφ的值，解得x0=2kπ+
﹣
sin（x+
），由2kπ﹣
≤
（2）由两角和的正弦函数公式可得f（x）=sin（x0+φ）=1，其中tanφ=，
=
φ，k∈Z，利用诱导公式即可解得cosx0的值． 【解答】解：（1）∵由题意可得：f（x）=sinx+cosx=∴由2kπ﹣
≤x+
≤2kπ+
，k∈Z，解得：2kπ﹣，2kπ+
]，k∈Z．
sin（x+
），
，k∈Z，
≤x≤2kπ+
可得单调递增区间为：[2kπ﹣（2）∵f（x）=Asinx+cosx=
sin（x+φ），其中tanφ=，
， =
，
且函数f（x）在x=x0处取得最大值∴sin（x0+φ）=1，其中tanφ=，
∴由A＞0，解得：A=2，sinφ==，
x0+φ=2kπ+∴x0=2kπ+
，k∈Z， ﹣φ，k∈Z，
﹣φ）=sinφ=
．
∴cosx0=cos（2kπ+
20．PA⊥平面ABCD，AB=1，AC=在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AD=2，M、N分别为棱PA、BC的中点． （1）求证：MN∥平面PCD；
（2）若二面角P﹣CD﹣B等于30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
，
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）取PD中点E，连结NE，CE，可证MNEC为平行四边形，由MN∥CE即可判定MN∥平面PCD；
（2）证明AC⊥CD，确定∠PCA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，求出PA，即可求四棱锥P﹣ABCD的体积． 【解答】（1）证明：取PD中点E，连结NE，CE． ∵N为PA中点，∴NE∥AD，NE=AD，
又M为BC中点，底面ABCD为平行四边形，∴MC∥AD，MC=AD． ∴NE∥MC，NE=MC，即MNEC为平行四边形， ∴MN∥CE．
∵EC⊂平面PCD，且MN⊄平面PCD，∴MN∥平面PCD． （2）解：∵AB=1，AC=，AD=2， ∴AB2+AC2=AD2，∴AC⊥CD， ∵PA⊥平面ABCD， ∴PC⊥CD，
∴∠PCA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，即∠PCA=30°， ∴PA=tan30°=1，
∴四棱锥P﹣ABCD的体积=×
=
．
21．如图，已知函数f（x）=msin（
x+
）（m＞0）的图象在y轴右侧的最高点从左到
右依次为B1、B2、B3、…，与x轴正半轴的交点从左到右依次为C1、C2、C3、…． （1）若m=1，求
•
；
（2）在△OB1C1，△OB2C3，△OB3C5，…，△OBiC2i﹣1，（i=1，2，3，…）中，有且只有三
个锐角三角形，求实数m的取值范围．
【考点】正弦函数的图象． 【分析】（1）利用正弦函数的图象的特征求得B1、B2、B3、…，与C1、C2、C3、…的坐标，利用两个向量的数量积公式求得
•
的值．
+
﹣OC5＞0，且
（2）由题意可得∠OB3C5为锐角，且∠OB4C7为钝角，故有+
﹣OC7＜0，从而求得m的范围．
x+
分别等于，1）…，
，
【解答】解：（1）若m=1，则令，…，
可得B1（，1）、B2（，1）、B3（令∴
x+•
分别等于π，2π，3π，…，C1（，0）、C（，0）、C3（=（，1）•（1，﹣1）=﹣1=﹣．
，0）…，
（2）由题意可得 函数f（x）=msin（x+）（m＞0）的周期为=4，
△OB3C5为锐角三角形，且△OB4C7为钝角角三角形，即∠OB3C5为锐角，且∠OB4C7为钝角，
∴+
﹣OC5＞0，且+m2+
+m2﹣
+
﹣OC7＜0， ＞0，且
+m2+
+m2﹣
即
＜0，
求得
22．已知动点M与两点P1（，0），P2（2r，0）的距离之比为，r＞0．
（1）求动点M的轨迹Γ的方程；
（2）已知菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l：y=2x+3上，顶点C，D在Γ上，当直线l与Γ无公共点时，求菱形ABCD的面积S的取值范围． 【考点】轨迹方程． 【分析】（1）利用直接法，求动点M的轨迹Γ的方程； （2）求出0＜r＜
，可得得0＜b＜3，求出a的范围，即可求菱形ABCD的面积S的取
＜m＜
，即
＜m＜
．
值范围． 【解答】解：（1）设M（x，y），则
∵动点M与两点P1（，0），P2（2r，0）的距离之比为，
∴=，
化简可得x2+y2=r2；
（2）∵直线l与Γ无公共点，∴圆心到直线的距离
＞r，∴0＜r＜
＜r，
设AB=a，直线CD的方程为y=2x+b，则圆心到直线的距离为d=∴0＜b＜3， ∵∴0＜a＜
=，
=
∈（0，
）．
，∴b=3﹣
a，
∴菱形ABCD的面积S=2
2016年8月10日
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