一、几种常见的含绝对值不等式的解法 1．类型一：形如f(x)a,f(x)a型不等式 (1)当a0时
f(x)aaf(x)a
f(x)af(x)a或f(x)a
(2)当a0时
f(x)a，无解
f(x)a使yf(x)f(x)0成立的x的解集
(3)当a0时
f(x)a，无解
f(x)a使yf(x)成立的x的解集
2x1例1（2009年理科第2题5分）若集合Ax|2x1|3,Bx0,则A
3x∩B是（ ）
1 A.x1x或2x3 B.x2x3
21 D.1 C.xx2x1x22分析：要解决这个题，就是解两个不等式，其中2x13即为含绝对值的不等式，这是形如f(x)a型的绝对值不等式，其中a0，则af(x)a。 解：因为2x13,所以32x13，即解得x(1,2) 解
2x110得，x3或x 3x21ABx1x所以，故答案选D.
2 可修编
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二,形如af(x)b(ba0)型不等式
af(x)b(ba0)af(x)b或bf(x)a。
例2不等式1x13的解集为（ ）
A.（0,2） B.(2,0)(2,4) C .(4,0)
D.(4,2)(0,2)
分析：原不等式是形如af(x)b(ba0)型不等式，需将原不等式转化为以下的不等式求解：1x13或3x11，这样就转化为解简单的不等式问题。
解：原不等式1x13或3x110x2或4x2. 故答案选D.
三：形如f(x)g(x)，f(x)g(x)型不等式，解这类不等式时如果进行分类讨论，就比较的繁琐，其简洁解法如下：
解法：把gx看成一个大于零的常数a进行求解（形如类型一） 即 f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)
f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)
例3（2011高考理科第21题选做题D 10分）解不等式：x2x13.
分析：x2x132x13x原不等式转化为解不等式2x13x,这里把3x看成大于零的数，去掉绝对值符号得x32x13x。
x42x1x32x13xx32x13x2 解：原不等式
x2x13x34x2, 32. 3故原不等式的解集为4x 可修编
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小结：形如f(x)g(x)，f(x)g(x)型不等式,在高考题型中属于基础部分，难度不高，多出现在填空题与选择题中，记住这类题型的直接解法才能在高考中遇到这类题时轻易得分。
类型四：形如f(x)g(x)型不等式
解法：可以先两边平方，通过移项，将其转化为两式相加与两式相减的积小于零的方法进行求解，即：
f(x)g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)0
f(x)g(x)f(x)g(x)0
2222例4（2009年高考理科第13题5分）不等式2x1x20的解集为（ ）
分析：2x1x20即为2x1x2，可以两边平方，通过移项，得到一般不等式(2x1)(x2)(2x1)(x2)0，然后进行求解。 解：原不等式
2x1x202x1x2
(2x1)2(x2)2 (2x1)2(x2)20
(2x1)(x2)(2x1)(x2)0
3x3x10 1x1 故填x1x1.
小结：这类问题主要是考查学生怎样利用绝对值的定义将原不等式转化，绝对值是大于零的数，故可以将不等式的两边平方，再移项得到一个一般的不等式，然后求解。
可修编
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5．类型五：形如f(x)f(x),f(x)f(x)型不等式
解法：绝对值里面的数小于或大于本身，要去绝对值符号可将这个函数看成是一般的常数理解，先利用绝对值的定义判断原不等式有无意义，然后求解，即
f(x)f(x)时，原不等式无解，而 f(x)f(x)f(x)0 。
x2x2例5（2010理科第3题5分）不等式 的解集是（ ） xx2) B.(，0) C.(2，) D.(,0)(0,) A.(0，x2分析：本题考查绝对值的定义与化简,绝对值大于本身,则知道x0，解x20就得原不等式的解集。x x-2x2x200x2,故选答案A. 解：xxx小结：此类问题在高考题中一般比较简单，关键考查考生对绝对值定义的理解与其解法技巧，遇到此类问题时切记不要把问题复杂化了。 6．类型六：形如xmxnc,xmxnc恒成立型不等式 解法：利用三角不等式：ababab，结合最值原理即可解得 即：cxmxnc(xmxn)|max(xm)(xn)nm
cxmxncxmxn|min(xm)(xn)nm
2例6（2010高考卷第21题10分）不等式x3x1a3a对任意的实数恒成
立，则实数a的取值围是（ ）
A.,14, B.,25, C.1,2 D.,12,
分析：因为函数f(x)x3x1(x3)(x1)4,所以f(x)max4从而根据以上解法可以解得。
可修编
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解：设函数f(x)x3x1(x3)(x1)4 所以f(x)max4
而原不等式对任意的实数恒成立，而a23a4a1或a4，故选A.
小结：此类问题运用到三角不等式：ababab，利用此关系式求得最值，根据最值原理得到简单的不等式然后再求解即可，在高考中一般偏难，分值也较高，深入理解其解法非常重要。 7．类型七：形如
f(x)g(x)a,f(x)g(x)a;f(x)g(x)h(x),f(x)g(x)h(x)（其中a为常数）型不等式。
解法：对于解含多个绝对值项的不等式，需找零点分段讨论去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，一般步骤为：找到零点，分段，去掉绝对值，综合得出解集。
例7（2011年理科第4题5分）不等式x5x310的解集是( ) A.[-5,7] B.[-4,6]
C.(-∞,-5]∪[7，+∞) D.(-∞，-4]∪[6,+∞)
分析：这是形如f(x)g(x)a型不等式，首先找到零点-3和5，分三段即
,3,3,5,5,，再在每个区间根据绝对值的定义去掉绝对值号，最后综
合得出解集。
解：（1）当x,3时，原不等式x5x310x4，解得x4； （2）x3,5时，原不等式x5x310810，x不存在； （3）当x5,时，原不等式x5x310x6，解得x6. 综上，原不等式的解集为(-∞，-4]∪[6,+∞)，故选D.
可修编
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小结：此类问题在绝对值不等式中比较常见，也较为复杂，在分类讨论时更要仔细，要一步一步到位。 练习：
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课时提能演练(七十)
1.(1)已知|2x－3|≤1的解集为[m，n].求m＋n的值； (2)若函数f(x)＝2|x＋7|－|3x－4|的最小值为2，求自变量x的取值围. 2.已知函数f(x)＝|3x－6|－|x－4|. (1)作出函数y＝f(x)的图象； (2)解不等式|3x－6|－|x－4|＞2x. 3.(1)求不等式|2x－1|＜3的解集. (2)解不等式|5x＋1|＞2－x.
4.(2011·高考)设不等式|2x－1|<1的解集为M. (1)求集合M；
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小. 5.(易错题)已知函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|. (1)解不等式f(x)>1； ax2－3x＋3
(2)g(x)＝(a>0)
x
若对任意s∈(0，＋∞)，任意t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)，试数
可修编
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a的取值围.
6.(2012·模拟)已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若不等式f(x)≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，数a，m的值. (2)当a＝2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2t)(t≥0). 7.(2011·新课标全国卷)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值. 8.(预测题)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x＋5|. (1)试求使等式f(x)＝|2x＋1|成立的x的取值围；
(2)若关于x的不等式f(x)＜a的解集不是空集，数a的取值围. 9.已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x－4|. (1)求不等式f(x)>2的解集；
(2)不等式f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R，数m的取值围. 10.已知f(x)＝x|x－a|－2.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)<|x－2|；
12
(2)当x∈(0,1]时，f(x) 答案解析 1.【解析】(1)由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1得1≤x≤2， ∴m＝1，n＝2，m＋n＝3. (2)依题意，2|x＋7|－|3x－4|≥2，∴|x＋7|－|3x－4|≥1， 44 当x>时，不等式可化为x＋7－(3x－4)≥1，解得x≤5，即 可修编 - 4 当－7≤x≤时，不等式可化为x＋7＋(3x－4)≥1， 3114 解得x≥－，即－≤x≤； 223 当x<－7时，不等式可化为－x－7＋(3x－4)≥1， 解得x≥6，与x<－7矛盾. 1 ∴自变量x的取值围为－≤x≤5. 22.【解析】(1)f(x)＝|3x－6|－|x－4| 22x x2＝4x10 2x4. 2x2 x4正确画出图象. (2)在图中画出y＝2x的图象如图， 1 注意到直线y＝2x与射线y＝2－2x(x<2)交于(，1)，线段y＝4x－10(2 2≤x≤4)在直线y＝2x下方，射线y＝2x－2(x＞4)在直线y＝2x下方且与直线y＝2x平行，故由图象可知不等式|3x－6|－|x－4|＞2x的解集 可修编 - 1 为{x|x＜}. 2 3.【解析】(1)由|2x－1|＜3得－3＜2x－1＜3， ∴－1＜x＜2，∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜2}. (2)由|5x＋1|＞2－x得 5x＋1＞2－x或5x＋1＜－(2－x)， 13 解得x＞或x＜－， 64 13 故原不等式的解集为{x|x＞或x＜－}. 64 4.【解题指南】(1)|2x－1|<1－1<2x－1<1，解之即得x的取值围； (2)用作差法比较ab＋1与a＋b的大小. 【解析】(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1， 解得0 5.【解析】(1)①当x<－2时，原不等式可化为－x－2＋x－1>1，此时不成立； ②当－2≤x≤1时，原不等式可化为x＋2＋x－1>1， 即0 可修编 - (2)因为g(s)≥f(t)恒成立，即g(s)的最小值不小于f(t)的最大值， 3 g(s)＝as＋－3≥23a－3， s由几何意义可知f(t)的最大值为3. ∴23a－3≥3，∴a≥3. 6.【解析】(1)由|x－a|≤m得a－m≤x≤a＋m， 所以am1a2，解之得为所求. m3am5(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|， 所以f(x)＋t≥f(x＋2t)|x－2＋2t|－|x－2|≤t ① 当t＝0时，不等式①恒成立，即x∈R； 当t>0时，不等式①x2 x22t(x2)tx22t22tx2或或 22tx(2x)tx22t(2x)tt 解之得x<2－2t或2－2t≤x≤2－或x∈， 2t 即x≤2－； 2 综上，当t＝0时，原不等式的解集为R， t 当t>0时，原不等式的解集为{x|x≤2－}. 2 7.【解题指南】第(1)问，将a＝1代入函数f(x)的解析式，利用解绝对值不等式的公式求解；第(2)问f(x)≤0|x－a|＋3x≤0，然后分x≥a和x - 【解析】(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2. 由此可得x≥3或x≤－1. 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}. (2)由f(x)≤0得，|x－a|＋3x≤0， 此不等式化为不等式组xaa3x0 x或xaax3x0， 即xaxaxa或4xa， 2因为a>0，所以不等式组的解集为{x|x≤－a2}， 由题设可得－a 2 ＝－1，故a＝2. 8.【解析】(1)方法一：因为f(x)＝|x－4|＋|x＋5|≥ |(x－4)＋(x＋5)|＝|2x＋1|， 当且仅当(x－4)(x＋5)≥0， 即x≤－5或x≥4时取等号， 所以若f(x)＝|2x＋1|成立， 则x的取值围是(－∞，－5]∪[4，＋∞). 方法二：f(x)＝|x－4|＋|x＋5| 2x＝1 x59 5x4. 2x1 x4 可修编 - 12x1 x2， 又|2x＋1|＝2x1 x12所以若f(x)＝|2x＋1|， 则x的取值围是(－∞，－5]∪[4，＋∞). (2)方法一：因为f(x)＝|x－4|＋|x＋5|≥ |(x－4)－(x＋5)|＝9， 所以若关于x的不等式f(x)＜a的解集非空， 则a＞f(x)min＝9， 即a的取值围是(9，＋∞). 方法二：由(1)方法二易知，f(x)min＝9， ∴a＞9，即a∈(9，＋∞). 9.【解析】(1)不等式f(x)>2等价于|2x＋1|>2， 13 ∴2x＋1>2或2x＋1<－2，解得x>或x<－. 2213 ∴不等式f(x)>2的解集为{x|x>或x<－}. 22 1x5，(x)21(2)记y＝f(x)－g(x)，则y＝(x4)， 3x3，2(x4)x5，由图可知，当x＝－0.5时，y取最小值，且最小值为－4.5， 可修编 - ∵不等式y＝f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R， ∴m＋1≤－4.5，即m≤－5.5， ∴实数m的取值围为(－∞，－5.5]. 10.【解析】(1)a＝1时，f(x)<|x－2|， 即x|x－1|－2<|x－2|.(*) ①当x≥2时，由(*)x(x－1)－2 综上：可知原不等式的解集为{x|x<2}. (2)当x∈(0,1]时，f(x)<12 x2 －1， 可修编 - 12 即x|x－a|－2 113111 也即x－ 33 ＝6，当且仅当x＝1x，即x＝63时，等号成立 22x 2.故a∈(－1 2 ，6). 2 可修编 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容