一、选择题（每题3分）. 1．比1小2的数是（ ） A．2
B．﹣2
C．﹣1
D．|﹣2|
2．2020年初，新冠肺炎疫情袭卷全球，截止2020年底，据不完全统计，全球累计确诊人数约为8096万人，用科学记数法表示为（ ） A．8.096×107
B．8.096×108
C．0.8096×108
D．80.96×106
3．如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝44°，则∠AEF等于（ ）
A．136° B．102° C．122° D．112°
4．下列计算正确的是（ ） A．＝6
﹣
＝
B．
＝
C．
＝
D．
﹣
5．如图，△AOB中，∠ABO＝90°，点B在x轴上，点A坐标为（2，2），将△AOB绕点O逆时针旋转15°，此时点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（，） B．（，） C．（，2） D．（1，）
6．某中学八（1）班8个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：115，138，126，143，134，126，157，118．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．126，126
B．126，130
C．130，134
D．118，134
7．已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ） A．AB＝BD
B．AC＝BD
C．∠DAB＝90°
D．∠AOB＝90°
8．如图是某几何体的三种视图，其表面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π
9．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠ADC＝90°，点E沿着A→B→C的路径以2cm/s的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线AB保持垂直，与AD或DC交于 点F，记线段EF的长度为dcm，d与时间t的关系图如图所示，则图中a的值为（ ）
A．7.5 B．7.8 C．9 D．9.6
10．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ） A．﹣12＜t≤3
B．﹣12＜t＜4
C．﹣12＜t≤4
D．﹣12＜t＜3
二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11．已知xy＝，x﹣y＝﹣3，则x2y﹣xy2＝ ．
12．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm，则弦AB＝ cm．
13．已知一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围为 ．
14．如图，已知DC为∠ACB的平分线，DE∥BC．若AD＝8，BD＝10，BC＝15，求EC的长＝ ．
15．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方 步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 ．16．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB、BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为30°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 米（结果保留根号）．
17．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 ．
18．如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝
，
∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．计算：
（1）（2x﹣3）（2x+3）﹣（2x﹣1）2；
（2）．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+6与y轴交于点A，直线l2：y＝kx+b与y轴交于点B，与l1相交于C（﹣3，3），AO＝2BO． （1）求直线l2：y＝kx+b的解析式； （2）求△ABC的面积．
21．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是连接AE交BC于点F． （1）求证：AC＝CF；
（2）若AB＝4，AC＝3，求∠BAE的正切值．
的中点，
22．某球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下： 甲：9，9，9，6，7； 乙：4，9，8，9，10； 列表进行数据分析：
选手 甲 乙
平均成绩
8 a
中位数 b 9
众数 9 c
方差 d 4.4
（1）b＝ ，c＝ ；
（2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；（计算方差的公式：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]）
（3）根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由．
23．小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．
（1）用画树状图或列表的方法，列出小明参加项目的所有等可能的结果： （2）求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
（1）写出GF与AE之间的位置关系是： ； （2）求证：AE＝2GF；
（3）连接CP，若sin∠CGP＝，GF＝
，求CE的长．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于点A．
（1）此抛物线的对称轴 ，点A的坐标为 （用含a的式子表示）；
（2）已知点M（﹣2，﹣a﹣2），N（0，a）．若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
26． 定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
135°＜∠AEB＜180°，（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；
（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明； （3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝6，试求边AB长的最小值．
参考答案
一、选择题（共10小题）. 1．比1小2的数是（ ） A．2
B．﹣2
C．﹣1
D．|﹣2|
解：1﹣2＝1+（﹣2）＝﹣1， 所以比1小2的数是﹣1． 故选：C．
2．2020年初，新冠肺炎疫情袭卷全球，截止2020年底，据不完全统计，全球累计确诊人数约为8096万人，用科学记数法表示为（ ） A．8.096×107
B．8.096×108
C．0.8096×108
D．80.96×106
解：将8096万用科学记数法表示为：8.096×107． 故选：A．
3．如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝44°，则∠AEF等于（ ）
A．136° B．102° C．122° D．112°
解：由折叠的性质可得， ∠2＝∠3， ∵∠1＝44°， ∴∠2＝∠3＝68°， ∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠3＝180°， ∴∠AEF＝112°， 故选：D．
4．下列计算正确的是（ ） A．＝6
﹣
﹣
，所以A选项错误；
＝
B．
＝
C．
＝
D．
﹣
解：A、原式＝2
B、原式＝2+3＝5，所以B选项错误； C、原式＝D、原式＝5故选：C．
5．如图，△AOB中，∠ABO＝90°，点B在x轴上，点A坐标为（2，2），将△AOB绕点O逆时针旋转15°，此时点A的对应点A'的坐标是（ ）
﹣
，所以C选项正确； ＝4
，所以D选项错误．
A．（，） B．（，） C．（，2） D．（1，）
解：如图，过点A′作A′H⊥y轴于H．
∵A（2，2）， ∴OA＝OA
，
∵∠AOH＝45°，∠AOA′＝15°， ∴∠A′OH＝30°， ∴A′H＝A′O＝∴A′（故选：A．
，
），
，OH＝
A′H＝
，
6．某中学八（1）班8个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：115，138，126，143，134，126，157，118．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．126，126
B．126，130
C．130，134
D．118，134
解：将这组数据重新排列为115，118，126，126，134，138，143，157， 所以这组数据的众数为126，中位数为故选：B．
7．已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ） A．AB＝BD
B．AC＝BD
C．∠DAB＝90°
D．∠AOB＝90°
＝130，
解：A、AB＝BD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意； C、∠DAB＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意； D、∠AOB＝90°，则AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意； 故选：D．
8．如图是某几何体的三种视图，其表面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π
解：由三视图可知几何体底面半径为1，高为＝2．
的圆锥，圆锥的母线长为
所以所求几何体的表面积为：S侧+S底＝π•1•2+π•12＝3π， 故选：B．
9．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠ADC＝90°，点E沿着A→B→C的路径以2cm/s的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线AB保持垂直，与AD或DC交于 点F，记线段EF的长度为dcm，d与时间t的关系图如图所示，则图中a的值为（ ）
A．7.5 B．7.8 C．9 D．9.6
解：如图所示，作BM⊥AB，交AD于点E，作DN∥BM，交BC于点N，
由题意可知，AB＝4×2＝8（cm），BM＝6cm，DN＝6cm， ∴AM＝
∵BC∥AD，∠ADC＝90°， ∴∠C＝90°， 又∵DN∥BM，
∴∠CND＝∠ADN＝∠AMB， ∴△CDN∽△BAM， ∴
（cm），
（cm），
∴a＝6+3.6÷2＝7.8． 故选：B．
10．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ） A．﹣12＜t≤3
B．﹣12＜t＜4
C．﹣12＜t≤4
D．﹣12＜t＜3
解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1， ∴b＝﹣2， ∴y＝﹣x2﹣2x+3，
∴一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根， 当x＝﹣2时，y＝3；
当x＝3时，y＝﹣12；
函数y＝﹣x2﹣2x+3在x＝﹣1时有最大值4； ∴﹣12＜t≤4． 故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11．已知xy＝，x﹣y＝﹣3，则x2y﹣xy2＝ ﹣ ． 解：x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝×（﹣3）＝﹣， 故答案为：﹣．
12．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm，则弦AB＝ 2cm．
解：连接OA，如图， ∵CE＝3，DE＝7， ∴CD＝10，
∴OC＝OA＝5，OE＝2， ∵AB⊥CD， ∴AE＝BE， 在Rt△AOE中，AE＝∴AB＝2AE＝2故答案为2
．
（cm）．
＝
，
13．已知一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围为 ﹣＜m≤3 ． 解：根据题意得解得﹣＜m≤3． 故答案为﹣＜m≤3．
14．如图，已知DC为∠ACB的平分线，DE∥BC．若AD＝8，BD＝10，BC＝15，求EC的长＝
．
，
解：∵DC为∠ACB的平分线 ∴∠BCD＝∠ECD ∵DE∥BC ∴∠EDC＝∠BCD ∴∠EDC＝∠ECD ∴EC＝DE ∵AD＝8，BD＝10 ∴AB＝18 ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴
＝
∵AD＝8，AB＝18，BC＝15 ∴
＝
∴DE＝∴EC＝
．
故答案为：
15．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方 步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 x（x﹣12）＝864 ．解：∵长为x步，宽比长少12步， ∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
16．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB、BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为30°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 100（1+
） 米（结果保留根号）．
解：过点A作AE⊥BM于点E，BF⊥CN于点F， ∵α为30°，β为45°，AB＝BC＝200米， ∴sin30°＝
，sin45°＝
，
∴AE＝AB•sin30°＝100（米）， BF＝BC•sin45°＝100
（米），
）米．
∴他下降的高度为：AE+BF＝100（1+故答案为：100（1+
）．
17．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 2028 ．
解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020， 则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2 ＝x12﹣4x1+2（x1+x2） ＝2020+2×4 ＝2020+8 ＝2028， 故答案为：2028．
18．如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝
，
∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是 6 ．
解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA∥BC，OA＝BC， ∴∠AOM＝∠CNM， ∵BD∥y轴， ∴∠CBD＝∠CNM， ∴∠AOM＝∠CBD，
∵CD与x轴平行，BD与y轴平行， ∴∠CDB＝90°，BE⊥AM， ∴∠CDB＝∠AMO， ∴△AOM≌△CBD（AAS）， ∴OM＝BD＝
，
∵S△ABD＝BD•AE＝2， ∴AE＝2
，
∵∠ADB＝135°， ∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AE＝2
，
，
，3
），
∴D的纵坐标为3设A（m，
），则D（m﹣2
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点， ∴k＝
m＝（m﹣2
，
）×3
，
解得：m＝3∴k＝
m＝6．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．计算：
（1）（2x﹣3）（2x+3）﹣（2x﹣1）2； （2）
．
解：（1）（2x﹣3）（2x+3）﹣（2x﹣1）2 ＝4x2﹣9﹣4x2+4x﹣1 ＝4x﹣10；
（2）
＝
＝
＝＝x﹣2．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+6与y轴交于点A，直线l2：y＝kx+b与y轴交于点B，与l1相交于C（﹣3，3），AO＝2BO． （1）求直线l2：y＝kx+b的解析式； （2）求△ABC的面积．
解：（1）∵直线l1：y＝x+6与y轴交于点A， ∴当x＝0时，y＝0+6＝6， ∴A（0，6）， ∵AO＝2BO， ∴B（0，﹣3）， ∵C（﹣3，3）， 代入直线l2：y＝kx+b中得解得
．
，
故直线l2的解析式为y＝﹣2x﹣3； （2）S△ABC＝AB•|xC|＝×（6+3）×3＝
．
的中点，
21．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是
连接AE交BC于点F． （1）求证：AC＝CF；
（2）若AB＝4，AC＝3，求∠BAE的正切值．
【解答】（1）证明：连接BE， ∵CA是⊙O的切线， ∴∠CAB＝90°， ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°， ∵E是弧BD的中点， ∴
＝
，
∴∠BAE＝∠DBE， ∴∠CAE＝∠EFB＝∠AFC， ∴AC＝CF；
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3， ∴BC＝∵AC＝CF＝3， ∴BF＝BC﹣CF＝2． ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵cos∠ABC＝∴BD＝∴AD＝
，
＝
，DF＝BD﹣BF＝．
＝
＝， ＝5．
∴tan∠BAE＝tan∠DAE＝＝．
22．某球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下： 甲：9，9，9，6，7； 乙：4，9，8，9，10； 列表进行数据分析：
选手 甲 乙
平均成绩
8 a
中位数 b 9
众数 9 c
方差 d 4.4
（1）b＝ 9 ，c＝ 9 ；
（2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；（计算方差的公式：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]）
（3）根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由．
解：∵将甲的5个数据按照由小到大的顺序排列：6，7，9，9，9， 位置在最中间的是9， ∴这组数据的中位数为9． ∴b＝9．
∵乙的5个数据中9出现了两次，出现次数最多， ∴乙组数据的众数为：9． ∴c＝9．
故答案为：9；9． （2）乙的平均数a＝
＝8．
∵方差的公式：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]， ∴d＝[（9﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（7﹣8）2]＝1.6． （3）选择甲选手参加比赛．
理由：∵甲，乙的平均成绩都为8，中位数都为9，众数都为9， 但甲的方差d＝1.6＜乙的方差4.4
∴在平均数、中位数、众数都相同的情况下，甲的方差比乙小， 故甲比乙稳定，选择甲．
23．小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．
（1）用画树状图或列表的方法，列出小明参加项目的所有等可能的结果： （2）求小明恰好抽中B、D两个项目的概率． 解：（1）画树状图：
由树状图知共有6种等可能结果；
（2）小明恰好抽中B、D两个项目的只有1种情况， 所以小明恰好抽中B、D两个项目的概率为．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
（1）写出GF与AE之间的位置关系是： GF⊥AE ； （2）求证：AE＝2GF；
（3）连接CP，若sin∠CGP＝，GF＝
，求CE的长．
【解答】（1）解：由折叠的性质得：∠AOF＝∠EOF， ∵∠AOF+∠EOF＝180°， ∴∠AOF＝∠EOF＝90°， ∴GF⊥AE， 故答案为：GF⊥AE；
（2）证明：过G作GM⊥AB于M，如图1所示： 则∠FMG＝90°，四边形ADGM是矩形， ∴AD＝GM，∠MFG+∠MGF＝90°， 由（1）得：GF⊥AE， ∴∠MFG+∠FAO＝90°， ∴∠BAE＝∠MGF， ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°＝∠FMG， ∴△ABE∽△GMF， ∴
＝
＝
＝
＝2，
∴AE＝2GF；
（3）解：过P作PK⊥BC，交BC的延长线于K，如图2所示： 由折叠的性质得：AF＝EF，∠FEP＝∠FAD＝∠D＝∠EPG＝90°， ∴∠CGP+∠GHP＝90°，
∵∠PEC+∠EHC＝90°，∠GHP＝∠EHC， ∴∠PEC＝∠CGP，
∵∠BFE+∠BFE＝∠BEF+∠PEC＝90°， ∴∠BFE＝∠PEC＝∠CGP，
∵sin∠CGP＝， ∴sin∠BFE＝
＝，
设BE＝3x，则AF＝EF＝5x， ∴BF＝
＝
＝4x，
∴AB＝AF+BF＝9x， ∵AE＝2GF，GF＝∴AE＝2
，
，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2， 即（9x）2+（3x）2＝（2
）2，
解得：x＝或x＝﹣（舍去）， ∴AB＝9x＝6，BE＝3x＝2， ∵AB＝2BC， ∴BC＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝3﹣2＝1．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于点A．
（1）此抛物线的对称轴 直线x＝ ，点A的坐标为 （0，a+1） （用含a的式子表示）；
（2）已知点M（﹣2，﹣a﹣2），N（0，a）．若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
解：（1）由抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1，可知x＝﹣∴抛物线的对称轴为直线x＝． ∵抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于A， 令x＝0，得到y＝a+1， ∴A（0，a+1）．
故答案为直线x＝，（0，a+1）．
（2）对于任意实数a，都有a+1＞a， 可知点A在点N的上方， 令抛物线上的点C（﹣2，y）， ∴yc＝11a+1， ①如图1中，
＝，
当a＞0时，yc＞﹣a﹣2， ∴点C在点M的上方，
结合图象可知抛物线与线段MN没有公共点． ②当a＜0时， （a）如图2中，
当抛物线经过点M时，yc＝﹣a﹣2， ∴a＝﹣，
结合图象可知抛物线与线段MN巧有一个公共点M．
（b）当﹣＜a＜0时，观察图象可知抛物线与线段MN没有公共点． （c）如图3中，当a＜﹣时，yc＜﹣a﹣2， ∴点C在点M的下方，
结合图象可知抛物线与线段MN恰好有一个公共点，
综上所述，满足条件的a的取值范围是a≤﹣．
26． 定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
135°＜∠AEB＜180°，（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；
（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明； （3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝6，试求边AB长的最小值．
解：（1）如图①，延长BE，DG交于点H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°． ∴∠BAE＝∠DAG． ∴△ABE≌△ADG（SAS）． ∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG． ∵∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠ABE+∠EBD+∠ADB＝∠DBE+∠ADB+∠ADG＝90°， 即∠EBD+∠BDG＝90°， ∴∠BHD＝90°． ∴BE⊥DG． 又∵BE＝DG，
∴四边形BEGD是“等垂四边形”．
（2）△EFG是等腰直角三角形．
理由如下：如图②，延长BA，CD交于点H，
∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC， ∴AB⊥CD，AB＝CD， ∴∠HBC+∠HCB＝90°
∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点， ∴
，
，EG∥AB，GF∥DC，
∴∠BFG＝∠C，∠EGD＝∠HBD，EG＝GF．
∴∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝∠ABD+∠DBC+∠GFB＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠HBC+∠HCB＝90°．
∴△EFG是等腰直角三角形．
（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，
则
由（2）可知∴AB最小值为
．
．
，
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容