分数裂项求和方法总结

（一） 用裂项法求

1n(n1)型分数求和 分析：因为

11nn1＝n1n(n1)nn(n1)1n(n1)（n为自然数） 所以有裂项公式：

1n(n1)1n1n1

【例1】 求1101111112......15960的和。

(110111)(11111112)......(5960) 110160 112（二） 用裂项法求

1n(nk)型分数求和 分析：

1n(nk)型。（n,k均为自然数）

因为

1111nknk(nnk)k[n(nk)n(nk)]1n(nk) 1所以n(nk)1k(1n1nk)

111【例2】 计算57799111111311315

12(1517)1111111111112(79)2(911)2(1113)2(1315) 111111111112[(57)(79)(911)(1113)(1315)]

1

111 2[515]1

15（三） 用裂项法求

kn(nk)型分数求和 分析：kn(nk)型（n,k均为自然数）

11nnk＝nkn(nk)nn(nk)＝kn(nk) 所以

kn(nk)＝1n1nk

【例3】 求

2222133557......9799的和

(113)(1315)(1517)......(119799) 1199

9899

（四） 用裂项法求

2kn(nk)(n2k)型分数求和

分析：2kn(nk)(n2k)（n,k均为自然数）

2kn(nk)(n2k)1n(nk)1(nk)(n2k)

【例4】 计算：

44135357......49395974959799

2

(113135)(135157)......(1939519597)(1959719799)11139799 32009603（五） 用裂项法求

1n(nk)(n2k)(n3k)型分数求和

分析：

1n(nk)(n2k)(n3k)（n,k均为自然数）

1n(nk)(n2k)(n3k)13k(1n(nk)(n2k)1(nk)(n2k)(n3k))

15】 计算：123412345......117181920

11113[(123234)(2341345)......(11718191181920)]1113[123181920]113920520（六） 用裂项法求

3kn(nk)(n2k)(n3k)型分数求和

分析：

3kn(nk)(n2k)(n3k)（n,k均为自然数）

3kn(nk)(n2k)(n3k)1n(nk)(n2k)1(nk)(n2k)(n3k)

6】 计算：

3312342345......317181920

3

【例

【例 111111()()......()12323423434517181918192011 

12318192011396840（七）用裂项法求复合型分数和（例题略）

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