知识点睛1.等腰三⾓形等腰三⾓形（讲义）∠ABC=2∠ACB=2α
延长CB 到点D，使BD=BA 作∠ABC 的平分线（1）定义：有两边相等的三⾓形叫做等腰三⾓形．（2）性质：
①边：等腰三⾓形两腰相等；②⾓：等腰三⾓形，简称“”；③线：等腰三⾓形、及互相重合，也称“三线合⼀”．
（3）判定：的三⾓形是等腰三⾓形，简称“等⾓对等边”．思考⽅向⼩结：
①看到等腰三⾓形，想等腰三⾓形的性质，要证明⼀个三⾓形是等腰三⾓形，想等腰三⾓形的定义、判定．
②要证明两条线段相等，可以放在两个三⾓形中证全等；也可以放在⼀个三⾓形中证等腰．
③见到“三线”中“两线”重合，或平⾏线+⾓平分线，可以考虑证等腰．
④倍⾓（或半⾓）：常转为等⾓，会出现等腰三⾓形．
1
②的三⾓形是等边三⾓形．2.
等边三⾓形
（1）定义：三边都相等的三⾓形叫做等边三⾓形．（2）性质：
①边：等边三⾓形三边都相等；
②⾓：等边三⾓形三个内⾓都相等，并且每个⾓都等于；③线：等边三⾓形三线合⼀．（3）判定：
①的等腰三⾓形是等边三⾓形；3.
等于的⼀半．
4.在证明时，先假设不成⽴，然后推导出与定义、
基本事实、已有定理或已知条件相⽭盾的结果，从⽽证明命题的结论⼀定成⽴，这种证明的⽅法称为反证法．
精讲精练 1.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=32°，以点C 为圆⼼，BC长为半径作弧，交AB 于点D，交AC 于点E，连接BE，则
∠ABE 的度数为．第1 题图第2 题图
2.如图，在等腰三⾓形ABC 中，AB=AC，D 为边BC 上⼀点，CD=AC，AD=BD，则∠BAC= ．
3.如图，AD=BC，AC=BD，求证：△ABE 是等腰三⾓形．
5.
如图，点C 在线段AB 上，AD∥BE，AC=BE，AD=BC，CF 平分∠DCE．求证：DF=EF．6.如图，BD，CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，已知
AG⊥BD，AF⊥CE．若BF=2，FG=6，CG=4，则△ABC 的周长为．第6 题图第7 题图
7.如图，D 为△ABC 内⼀点，CD 平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=6，BC=4，则BD 的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
4. 如图，B，D，E，C 在同⼀直线上，AB=AC，∠ADE=∠AED．求证：BD=CE．
8.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AC=6，BC=10，过点A
作BC 的平⾏线，交∠ABC 的平分线于点E，交∠ACB 的平分线于点D，则DE 的长为．9. 如图，∠ABC 的平分线与△ABC 的外⾓∠ACD 的平分线交于
点E，过点E 作BC 的平⾏线，交AB 于点F，交AC 于点G，若BF=8 cm，CG=5 cm，则FG= ．10. 如图，在△ABC 中，∠C=2∠B，D 是BC 边上⼀点，且AC+CD=BD．求证：AD⊥BC．
13.
如图，在等边三⾓形ABC 的三边上分别取点D，E，F，使AD=BE=CF．求证：△DEF 是等边三⾓形．
14. 如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC，交BC于点D．若BC=6，则CD 的长为．
11. 在等腰直⾓三⾓形ABC 中，∠A=90°，点D 在线段BC 上，∠EDB =
1
∠C，BE⊥DE，垂⾜为E，DE 与AB 相交于点F，2则BE= ?．FD
12. 如图，在△ABC 中，点D，E 在BC 上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC 的度数为．
15. 如图，四边形ABCD 中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，则CD= ．
16. ⽤反证法证明命题“⼀个三⾓形中不能有两个⾓是直⾓”，应先假设这个三⾓形中．
17. 已知：如图，等腰三⾓形的⼀个内⾓为锐⾓α，腰长为a，求作这个等腰三⾓形．（不写作法，保留作图痕迹）【参考答案】 知识点睛
1. （2）②的两底⾓相等；等边对等⾓；③顶⾓的平分线；底边上的中线；底边上的⾼线 （3）有两个⾓相等 2. （2）②60°
（3）①有⼀个⾓等于 60°；②三个⾓都相等 3. 直⾓边；斜边 4. 命题的结论 ? 精讲精练 1. 21° 2. 108°3.证明略；
提⽰：先证△ABC ≌△BAD （SSS ），再在△ABE 中由“等⾓对等边”，证明△ABE 是等腰三⾓形． 4. 证明略；
提⽰：先在△ABC 中由“等腰三⾓形两底⾓相等”，得到 ∠B =∠C ，再证△ABD ≌△ACE （AAS ），求证 BD =CE ． 5. 证明略；
提⽰：先证△ACD ≌△BEC （SAS ），得到 CD=EC ， 再在△CDE 中由“等腰三⾓形三线合⼀”，求证 DF =EF ． 6. 30 7. A 8.
14 9. 3 cm10. 证明略；
提⽰：延长 BC ⾄点 E ，使 CE =CA ，连接 AE 先证∠E =∠B ，得到 AB=AE ，再证 BD=DE ，在△ABE 中由“等腰三⾓形三线合⼀”，求证 AD ⊥BC ． 11.1 2 12. 120°13. 证明略；
提⽰：先证△ADF ≌△BED （SAS ），得到 DF=ED ，再证DE=EF，根据DF=ED=EF，求证△DEF 是等边三⾓形．14. 415. 2
16.有两个⾓是直⾓17.尺规作图略
提⽰：分类讨论，α为等腰三⾓形的顶⾓或底⾓
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