湖南高考数学试题含详解

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔

将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，学科网然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1．已知集合A={x|x<1}，B={x|31}，则

A．AIB{x|x0} C．AUB{x|x1}

B．AUBR D．AIxB

2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色

部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． C．

1214

B． D．

π4

π83．设有下面四个命题

1p1：若复数z满足R，则zR；

zp2：若复数z满足z2R，则zR；

p3：若复数z1,z2满足z1z2R，则z1z2； p4：若复数zR，则zR.

其中的真命题为 A.p1,p3

B．p1,p4

C．p2,p3

D．p2,p4

4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4a524，S648，则{an}的公差为

A．1

B．2

C．4

D．8

5．函数f(x)在(,)单调递减，且为奇函数．若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是 A．[2,2] 6．(1

B．[1,1]

C．[0,4]

D．[1,3]

126展开式中的系数为 x)(1x)2x

B．20

C．30

D．35

A．15

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长

为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A．10

B．12

C．14

D．16

和

两个空白框中，可以分别填

8．下面程序框图是为了求出满足3n?2n>1000的最小偶数n，那么在

入

A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2 C．A1 000和n=n+1 D．A1 000和n=n+2

9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+

2π)，则下面结论正确的是 3π个单位长度，6A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的

得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的

得到曲线C2

π个单位长度，121π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，261π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，21210．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，

直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16

B．14

xy

z C．12 D．10

11．设x、y、z为正数，且235，则

A．2x<3y<5z

B．5z<2x<3y

C．3y<5z<2x

D．3y<2x<5z

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解

数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440

B．330

C．220

D．110

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |= . x2y1，，14．设x，y满足约束条件2xy1则z3x2y的最小值为 .

xy0，x2y215．已知双曲线C：221（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双

ab曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为 .

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆

O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

a2△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.

3sinA（1）求sin Bsin C;

（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求△ABC的周长. 18.（12分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90. （1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，APD90，求二面角A?PB?C的余弦值.

oo19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,)．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X1)及

2X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，学+科网就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95

10.12 9.96

9.96

10.01 9.92

9.98

10.04

10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

11611611622xi9.97，s经计算得x(xix)(xi16x2)0.212，其中xi为16i116i116i1抽取的第i个零件的尺寸，i1,2,,16．

ˆ，用样本标准差s作为的估计值用样本平均数x作为的估计值ˆ，利用估计值判断是否需

ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到对当天的生产过程进行检查？剔除(0.01）．

2附：若随机变量Z服从正态分布N(,)，则P(3Z3)0.997 4，

0.997 4160.959 2，0.0080.09．

20.（12分）

33x2y2已知椭圆C：22=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）

22ab中恰有三点在椭圆C上. （1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点. 21.（12分）

已知函数f(x)ae2x(a2)exx.

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4?4：坐标系与参数方程]（10分）

x3cos,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为

ysin,xa4t,（t为参数）. y1t,（1）若a=?1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a. 23．[选修4?5：不等式选讲]（10分）

已知函数

f(x)–x2ax4，g(x)|x1||x1|.

（1）当a=1时，求不等式f(x)g(x)的解集；

（2）若不等式f(x)g(x)的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

答案解析

绝密★启用前 1． 【答案】A

【解析】由31可得33，则x0，即B{x|x0}，所以AIB{x|x1}I{x|x0}

xx0{x|x0}，AUB{x|x1}U{x|x0}{x|x1}，故选A.

2．

【答案】B

πa2a2【解析】设正方形边长为a，则圆的半径为，正方形的面积为a，圆的面积为.由图形的对称性

42可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色

1πa2π部分的概率是224，选B.

a8秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率

p满足

11p，故选B. 423．

【答案】B 4． 【答案】C

【解析】设公差为d，a4a5a13da14d2a17d24，

S66a12a17d2465,解得d4，故选C. d6a115d48，联立26a115d486(a1a6)3(a3a4)48，即a3a416，则2秒杀解析：因为S6(a4a5)(a3a4)24168，即a5a32d8，解得d4，故选C.

5．

【答案】D

【解析】因为f(x)为奇函数且在(,)单调递减，要使1f(x)1成立，则x满足1x1，从而由1x21得1x3，即满足1f(x2)1成立的x的取值范围为[1,3]，选D. 6． 【答案】C 【解析】因为(11162666(1x)，则展开式中含的项为x)(1x)1(1x)(1x)22xx1144221C6x15x2，2(1x)6展开式中含x2的项为2C6x15x2，故x2的系数为151530，

xx选C. 7． 【答案】B

【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为2(24)28． 【答案】D

【解析】由题意，因为321000，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入A1000，故填A1000，又要求n为偶数且初始值为0，所以矩形框内填nn2，故选D. 9．

【答案】D

nn112，故选B. 2【解析】因为C1,C2函数名不同，所以先将C2利用诱导公式转化成与C1相同的函数名，则

2π2πππ1)cos(2x)cos(2x)，则由C1上各点的横坐标缩短到原来的33262π倍变为ycos2x，再将曲线向左平移个单位长度得到C2，故选D.

12C2:ysin(2x10． 【答案】A

11． 【答案】D

【解析】令235k(k1)，则xlog2k，ylog3k，zlog5k

xyz∴

2x2lgklg3lg91，则2x3y， 3ylg23lgklg82x2lgklg5lg251，则2x5z，故选D. 5zlg25lgklg3212． 【答案】A

【解析】由题意得，数列如下： 则该数列的前12Lkk(k1)项和为 2k(k1)k1k1S1(12)L(12L2)2k2， 2要使

k(k1)100，有k14，此时k22k1，所以k2是第k1组等比数列1,2,L,2k的部2t1分和，设k212L22t1，

所以k2314，则t5，此时k2329， 所以对应满足条件的最小整数Nt529305440，故选A. 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．

【答案】23 【解析】|a2b||a|4ab4|b|4421cos60412，所以

222o|a2b|1223.

秒杀解析：利用如下图形，可以判断出a2b的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为23. 14

【答案】5

【解析】不等式组表示的可行域如图所示，

111133333z由z3x2y得yx在y轴上的截距越大，z就越小，

22易求得A(1,1),B(,),C(,)，

所以，当直线z3x2y过点A时，z取得最小值， 所以z的最小值为3(1)215.15．

【答案】【解析】

23 3如图所示，作APMN，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线ybx上的点，且A(a,0)，|AM||AN|b， ao而APMN，所以PAN30， 点A(a,0)到直线ybx的距离|AP|a|b|1ba22，

在Rt△PAN中，cosPAN222|PA|22，代入计算得a3b，即a3b， |NA|由cab得c2b， 所以e16．

【答案】415 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

c2b23.a3 3b1a21a【解析】（1）由题设得acsinB，即csinB.

23sinA23sinA1sinA. sinCsinB23sinA2故sinBsinC.

3由正弦定理得18.（12分）

【解析】（1）由已知BAPCDP90，得AB⊥AP，CD⊥PD. 由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD. 又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. （2）在平面PAD内作PFAD，垂足为F，

平面ABCD.

由（1）可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PFuuuruuur|AB|为单位长，以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.

由（1）及已知可得A(2222,0,0)，P(0,0,)，B(,1,0)，C(,1,0). 2222uuuruuuruuuruuur2222,1,)，CB(2,0,0)，PA(,0,)，AB(0,1,0). 所以PC(2222设n(x,y,z)是平面PCB的法向量，则

uuur22nPC0,xyz0,即 r2uuu2nCB0,2x0,可取n(0,1,2).

设m(x,y,z)是平面PAB的法向量，则

uuur22mPA0,xz0,即 uuur22mAB0,y0.可取m(1,0,1). 则cosnm3， |n||m|33. 3所以二面角APBC的余弦值为19．（12分）

ˆˆ9.97，的估计值为（ii）由x9.97,s0.212，得的估计值为0.212，由样本数据可

ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 以看出有一个零件的尺寸在(ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据9.22，剔除(剩下数据的平均数为

估计值为10.02.

1因此的(169.979.22)10.02，

15x162iˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据9.22，剩下数据的160.2122169.9721591.134，剔除(i1样本方差为

1(1591.1349.2221510.02215)0.008， 因此的估计值为0.0080.09. 20.（12分）

【解析】（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点. 又由

1113a2b2a24b2知，C不经过点P1，所以点P2在C上. 1b21,因此a24,1a23解得b21.

4b21,故C的方程为x24y21.

（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，

l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知t0，且|t|2，可得A，B的坐标分别为（t，4t2如果2），4t22）.

4t2则k21k22t4t222t1，得t2，不符合题设. ：ykxm（m1）.将ykxm代入x2从而可设ly241得

(4k21)x28kmx4m240.

由题设可知=16(4k2m21)0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8km4m244k21，x1x2=4k21.

而kky1y21121x 1x22kx1x2(m1)(x1x2)xx.

12由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.

即(2k1)4m244k21(m1)8km4k210.

t，

（解得km1. 2m1m1xm，即y1(x2)， 22当且仅当m1时，0，于是l：y所以l过定点（2，1）. 21.（12分）

（1）f(x)的定义域为(,)，f(x)2ae【解析】

2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)，

（ⅰ）若a0，则f(x)0，所以f(x)在(,)单调递减. （ⅱ）若a0，则由f(x)0得xlna.

当x(,lna)时，f(x)0；当x(lna,)时，f(x)0，所以f(x)在(,lna)单调递减，在(lna,)单调递增. 综上，a的取值范围为(0,1).

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．

【解析】（1）曲线C的普通方程为

.

x22y19当a1时，直线l的普通方程为x4y30.

21x,x4y30,x3,25由x2解得或

2y0y24.y1925从而C与l的交点坐标为(3,0)，(2124,). 2525223．[选修4?5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）当a1时，不等式f(x)g(x)等价于xx|x1||x1|40.① 当x1时，①式化为x3x40，无解；

当1x1时，①式化为xx20，从而1x1； 当x1时，①式化为xx40，从而1x222117. 2所以f(x)g(x)的解集为{x|1x117}. 2（2）当x[1,1]时，g(x)2.

所以f(x)g(x)的解集包含[1,1]，等价于当x[1,1]时f(x)2.

又f(x)在[1,1]的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1. 所以a的取值范围为[1,1].