(总第 1269 期） HEILONGJIANG EDUCATION!； Higher Education Research P Appraisal)
■教学改革与实践
“弹性力学”教学中几个难点问题的探讨
张爱军,吴禄祥
(西北农林科技大学，陕西杨凌712100)
摘要！ “弹性力学”课程是工科专业一门重要的专业基础课，课程较为抽象，公式推导较多，学生普遍感觉难 学。结合多年课程教学的经验，探讨了“弹性力学”课程中力矩、内力和方向余弦等量的正负号规定，明确说明了 极坐标下各坐标轴的正负号规定，这是对教材的有效补充；将相容方程分为应变、应力和应力函数表达式三类并进行了归纳，更便于学生理解；编制了弹性力学平面问题的可视化求解软件，实现对圆筒受均布力、压力隧 洞、小孔口问题等十个典型问题的可视化求解，教学效果良好。关键词：弹性力学；可视化；正负符号;相容方程中图分类号：G642
文献标识码:A
文章编号！ 1002-4107(2019)01-0013-03
确 ，而只是在 薄板弯曲时 确到，但
特别是列圣维南原理的积分方程中 “弹性力学”课程是工科专业一门重要的专业基础 是在面问题中，
需要 确力矩的正负 。课，是学习塑性力学、土力学基础，也是工科学生摆脱
的正负应该分应力引起的力矩和外力引 材料力学杆式构件分析结果的束缚，向板、面和空间体
两者之间是区别的。分析拓宽的重要课程。该课程主要是通过考虑静力学、 起的力矩两类，
对面力引起的矩，也应该将力矩根据其 几何学和物理学三方面条件，在 上严格考虑受力条
为分为件和约束条件，建立微分方程和边界条件来解决力学问 方向概 分布的面力(一
)，然 据“面力 与力臂 相同时力矩为题。课程对高等数学中的微积分、偏微分方程求解和级
正;反之负”的原则 负的判断，见图1(a)。数，以及解析几何、线性代数等知的 性高，
对应力引起的 的正负 应该是：！，式 ，生学习 。因此，
与臂 相同时力矩正;反之负”。确应引开展“弹性力学”课程教学方法的研十分重要。
起的力矩正负时，应该将应力概 沿正负两侧力臂方 结了弹性力学教学中的 [1]，
的分布应力(一 为分为 ），利用、分式和 的 三个方面的 ，
以上原则确力矩的正负，见图1(b)。教材 的 过程。 MATLAB
件 的PDE工 对弹性力学中 问题、受 力等题 分析[2]，该工 的 偏微分方程的解 是求解弹性力学面问题的数解法，以方求解弹性力学的面 问题， 以 结果的 ，是 弹性力学教 学的 力 。 在教学 中工程[3#，数理，力学的解 的三式教学方法，
学生理解和 。 对 弹性力学课程的M为负 M为正教学 果 的 。
对 的弹性力学 教程 弹(a)面力 的力矩 （b)应力 的力矩
性力 教程》，结 工科专业“弹性力学”课程图1面力和应力引起的力矩的符号规定 的教学际，对课程教学中学生 的几 问题图1看，力矩M的方向一致，但是应力引起的力
和 ，力求加深教师和学生对 问题的理 矩的 负，而面力引起的力矩正，两者 不同，
解。是在负面上的情况。在正面上两者 相同，主要
二、符号规定因是应力和面力 不同造成的，在列圣维南弹性力学求解中均是在一的 体系下 ， 原理的积分方程是应该注意区分应力和面力引起的力
矩的 区别。对各个变量的 严格的 ，求解应该在
力和体力的合力内力的号规定体系下 ，否则将得到不正确的结果。教材中对
应力、应变和位移，以及面力和体力 均 确的应力是单位面积上分布的力，力是一种力，等
于应力乘以面。在 衡方程 时，要建立某一，但是对力、力矩、剪力 下的部分 的
也就是通过该方向上力 〇 —条 不确，不利于学生的理解和，需要一步厘。个方向上的衡，
(一）力矩M的号规定件建立衡方程时，需要确 力的正负。教材中授面问题时对于力矩的正负号规定没力是一种力，是力，其 应该是“与坐
>'前言
收稿日期：2018-01-05
作者简介：张爱军（1964—），男，山西阳高人，西北农林科技大学水利与建筑工程学院教授，博士，博士生导师，主要从事岩工程
。
基金项目：西北农林科技大学教改项目“基于可视化的弹性力学课程辅助教学手段研究”(JY1503024)
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“弹性力学”教学中几个难点问题的探讨
标轴指向相同的为正，反之为负”。内力的方向与应力的 否满足 方程的校核中有一定困难，应该将其展式
了展 下式(2)和(3)，这样方向一致，但是其符号规定与应力“正面方向和负面 列。本文对该式
负方向为正，反之为负”的规定不同，在正面上两者相 于学理解。同，而负面上两者相反。
15 + 1d2l 抑+ i a2①)-〇
其他面力合力和体力合力的正负号规定也是“与 ⑵
dtp2p dp p2 dqr )P P2坐标轴指向相同的为正，反之为负”。理解这些概念对平
衡方程的推导有较大的帮助。
(三） 方向余弦的符号规定
方向余弦是求解斜截面应力所必需的参数，其意 义在于边界面的外法线方向的正方向与坐标轴正方向 之间夹角的余弦值。在教学中发现，很学对其正负 号 定不理解，对 推导。 上，方向p1 dp'dqy /?4 d(p4余弦的正负是 余弦数 到的，要理解其负
四、应力分量的合成与应力泡规定，应该从夹角的意义理解，特别应该知两个“正方
王润富编著的I 力学简教程学习》中 章向”之间的夹角的余弦这定义。外 余弦数的
例题6 于劈裂 的求解是一个很好的例子，对于学值的特 知，不同 的方向余弦正负不同，一
中不x和y方向的方向佘弦1和$ 为正值 二理解半无平面受集中作下力 布 的
启发较好，且是解 力学解答应的好例证。但!方向的方向余弦为负值，y方向为正值
是解应该注意强两，其一为应力的合方法， x方向的方向佘弦为负值，y方向为负值 x方
其是 泡的概念。向的方向佘弦为正值，y方向为负值。 应该
外法 方向所在的 方向余弦的正负号。1. 应力 的合方法。应力是一个张，一的(四) 极坐标情况下的符号规定应力要通过过该的平六面体上的所有应力
这些值中只有个是独 坐标与角坐标是 力学求解的两坐标体 描述，立的。同一的应力也 个主应力和其方向系，但是在教学中发学对两坐标体之间的
定。应力的合 则是“作于同一个面上的应力理解不，应该在 中 。上，坐标与
合为一个应力全，不同面上的应力 不合角坐标之间是 的，坐标方向不 角坐
”。只有建立这个概念才理解应力的特，也才做 标;两者之间的是 的，也有 的 。
坐标中 p的正向是从 向外 的方向，而 对例 6。
2. 应力泡概念。集中力F作下半无平面内过 向^的正向定于应的角坐标的x和y轴的方
集中力作 的 为d的圆，这个圆上的应力值为：向， x轴向y轴的方向为正，不
者 为正 定，同\"的大是向 正向与 x轴之间的夹角。⑷
三、相容方程的归纳
方程是应力法 力学 的要方程，
应力数 的求解 为求解 方程的问 。但是 方从 方程推导 为 方程， 理方程 有应力 方程，
方程之间的 学理解的 ，对其
于学 对其 理解 。
对于角坐标 ， 方程 为应 式、应力 式和应力数 式 ，应 式是从 方程中消除位移 到的方程，是 方程的本方程，也为 方程;应力 式是物理方程 方程的应 式 到的方程，示个应力 应该遵循的 方程;而 数 式是引人应力数的 式，是将求解应力 N消元”
为1个未知\"的 方程。三者的 与异同为1。
表！相容方程的不同表达形式对比表
麵破
表
也是在这个圆上任意一，其受力似单轴受压， 压应力 于^值，圆周上任意的应力 ，且应力值的大随 d的增大而减，这是通常所的应力泡。解应强其应力主面是向和向两个 面，其应力的方向 是不同的，应力的 随着应力 泡 的增大而增大，也是随度的 衰减。同应将与大面积堆载，应力不随度增大而减的实
对比，强两者的别。
五、弹性力学平面问题可视化软件
dy2
肋
式
dx1 dxdy
体、半平面体边界上受集中力 个
的 求解。 其 本界面展示 下
应力函数 肋_应商賠的条件，用 2。V4C^0式棘应力_，也可碰应力
一个 件 现了正求解，是否贯射坊学解
参数到不同的解答。件
将 的 为 的 现另外极坐标的相容方程教材中给出的表达式为：
给学，于学理解和。 求解件在教材的 上 了教材未 的内。例：教材上压
(1)力 中展示了 5<1应力布的 ，而求解
件通过 参数将5>1和5=1的 和图展示 ， 将 上的 展示式中2#为应力数;P，\"为坐标两个轴。
，在教材解答的 上 展 ，从而发学这一个 式没有展，在学 某一个函数是
〔£+吾〕^+士-(1+4瑩+争
在N 力学”程的教学中，常有 的数学 式和 的 ，不于学的理解。在教学中， 通过一些教学程 的 的数值一些 ，教学将 ，同也于学接受。因此 Visual Basic编程语言的绘力，编制了一些简单平面 的 求解件。主要
目的是使一些简单问题的解题结果可视化，辅 意义
助教的教学，学对的 有由几何方程推导得来,表示三
个应变之间的关系。只有符合 的理解，导学 。送个关系
件中 了 受集中载、受 布载、圆受布力、压力 、由物理方程代入以上相容方
程得来，表不应力之间的吴
系。只有符合这个关系的应力 游自前（平面应力）
、
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“弹性力学”教学中几个难点问题的探讨
生的深人思考，激发学生的学习兴趣。
软件界面分为三部分。第一部分载人这道题目的相 关信息，包含题干、问题的示意图和使用半逆解法求解 出的应力分量表达式。第二部分为数据输人部分，在这 个部分，使用者可以根据需要输人问题的基本参数，为 下一步计算应力分量做准备。第三部分为结果输出部
《弹性力学》简单问题可视化计算开发人员：张爱军、吴祿祥所在单位：西北农林科技大学水建学院
悬臂梁受集中力求解挡水墙问题求解圆筒受均布力求解
力梁受
问题求解应力与平面应变问题边界条件楔形体受重力和 I体压力体在边界上受
集中力
(a)软件总体界面
分，用于显示计算和绘图的结果。
在实际教学中该软 学生解 力学解的实，理解应力数的分布空间规律帮助较大，教学
效果良好。
六、结论
! 力学”程中 的 为， ， 中的 显。本力、面力和力的力、力和 的做 为的， 下个 的
的 ，可用于教学实践。
2. 相容方程是-力学”程为要的 有三种表 式。本 结 为应表达式、应力表达式和应力 数表达式三 ， 和意
， 于 解和 。3. 为 教学效果， 力学面问题的可 求解软 ，软 可以实 个 为 问题的
力学问题的求解， 中载载、 力、 力 、 问题、 面应力面应问题、界、挡水墙、楔、半面 边界上 中力。软实 计算结果的图 显示，便于学生理解抽象的函数，教学效果良好。
，
参考文献：
[1] 祝方才，肖宏彬，欧阳建湘.弹性力学教学中的几个疑点 问题J].株洲工学院学报，2004 $ (2).[2] 潘东辉，马崇武.MATLAB/PDE在弹性力学可视化教学 中的应用U].力学与实践，2014,（4).[3] 张伟伟，田錦邦.弹性力学的三段式教学方法[J].力学与实 践，2017，（2).
(b)压力隧洞计算界面
图2弹性力学平面问题可视化计算软件界面
[责任编辑包玉红]
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