张量与矩阵的n模积证明

要证明张量与矩阵的n模积，首先需要了解什么是张量的n模积。

给定一个n阶张量（多维数组），它的n模积就是这个张量中所有元素的绝对值之和。具体地，对于一个n阶张量$A=(a_{i_{1},i_{2},...,i_{n}})$，它的n模积定义为：

$$||A||_{n}=\\sum_{i_{1}=1}^{m_{1}}\\sum_{i_{2}=1}^{m_{2}}...\\sum_{i_{n}=1}^{m_{n}}|a_{i_{1},i_{2},...,i_{n}}|$$

其中，$m_{1},m_{2},...,m_{n}$分别表示张量每个维度的大小。

接下来来证明张量与矩阵的n模积。假设$A$是一个$n$阶张量，$B$是一个$m\imes k$的矩阵。

先考虑二阶张量与矩阵的n模积。设张量$A=(a_{i,j})$，矩阵$B=(b_{p,q})$，其中$i=1,2,...,m$，$j=1,2,...,n$，$p=1,2,...,m$，$q=1,2,...,k$。

二阶张量与矩阵的n模积可以表示为：

$$||A \\otimes

B||_{n}=\\sum_{i=1}^{m}\\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}|(||B_{1}\\otimes B_{2}\\otimes...\\otimes B_{k}||_{n})$$

其中，$B_{1},B_{2},...,B_{k}$表示矩阵$B$的第1列、第2列、...、第$k$列。

将二阶张量的n模积拆开计算，得到：

$$||A \\otimes

B||_{n}=\\sum_{i=1}^{m}\\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}|(||B_{1}||_{n}+||B_{2}||_{n}+...+||B_{k}||_{n})$$

$$=\\left(\\sum_{i=1}^{m}\\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}|\\right)(||B_{1}||_{n}+||B_{2}||_{n}+...+||B_{k}||_{n})$$

$$=(||A||_{2})(||B_{1}||_{n}+||B_{2}||_{n}+...+||B_{k}||_{n})$$

注意到在计算矩阵的n模积时，每一列的元素都是同时计算的，所以同一个矩阵的不同列的n模积都是相等的。因此，可以将所有列的n模积加起来，得到：

$$||B||_{n}=||B_{1}||_{n}+||B_{2}||_{n}+...+||B_{k}||_{n}$$

所以，可以简化为：

$$||A \\otimes B||_{n}=(||A||_{n})(||B||_{n})$$

这就证明了二阶张量与矩阵的n模积。

对于更高阶的张量与矩阵的n模积，可以按照相似的方法进行证明，将每一列的n模积加起来，最终得到：

$$||A \\otimes B||_{n}=(||A||_{n})(||B||_{n})$$

这样就证明了张量与矩阵的n模积。