2021届高考数学统考二轮复习第二部分专题1三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质

专题1 第1讲 三角函数的图象与性质

三角函数的定义、诱导公式及基本关系

授课提示：对应学生用书第14页

考情调研 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变换的技能以及基本的运算能力．题型为选择题和填空题，低档难度. [题组练透]

π1

1．(2019·渭南模拟)已知cos α＝－，α∈2，π，则sin(π＋α)＝( ) 322A.

322C．±

3

π1

解析：∵cos α＝－，α∈2，π， 3∴sin α＝

1－cos2α＝122

1－＝， 93

22

B．－ 31D. 3

1.利用同角三角函数基本关系式求值． 2.诱导公式的应用. 考向分析 22

∴sin(π＋α)＝－sin α＝－.故选B.

3答案：B

1

2．已知sin θ＋cos θ＝(－π<θ<0)，则sin θ－cos θ的值为( )

3A.

15 3

B．－

15 3

C.

17 3

D．－

17 3

11

解析：由sin θ＋cos θ＝可得1＋2sin θcos θ＝，

398π

∴sin 2θ＝－<0，则－<θ<0，

92∴sin θ－cos θ＝－答案：D

ππ1

－，，则tan α＝________. 3．(2019·石家庄模拟)已知sin α＝，α∈223

128－π，π，解析：根据三角函数的基本关系式可得cos2α＝1－sin2α＝1－＝，又因为α∈392222sin α2

所以cos α＝，所以tan α＝＝.

3cos α4

答案：

2 4

[题后悟通]

1．同角三角函数基本关系式的应用技巧 知弦求弦 利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解 常通过平方关系、对称式sin α＋cos α，sin α－cos α，知弦求切 sin α注意tan α＝的灵活应用 cos α通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式，然后用平方关系求解 如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化 11＋2 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θtanθsin α建立联系，cos αsin θ－cos θ2＝－

8171＋＝－.故选D. 93

知切求弦 和积转换法 巧用“1” 的变换 2.利用诱导公式进行化简求值的步骤 利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(注意“奇变偶不变，符号看象限”)

三角函数的性质

授课提示：对应学生用书第15页

考情调研 以考查三角函数的性质为主，题目涉及三角函数的对称1.三角函数的单调性． 性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度. [题组练透]

π2π

ωx＋－1(ω>0)的最小正周期为，则f(x)图象的一1．(2019·合肥质检)若函数f(x)＝sin33条对称轴为( )

π

A．x＝－

187π

C．x＝

18

5π

B．x＝－ 2π

D．x＝ 2

2.三角函数的最值与值域． 3.三角函数的奇偶性与对称性． 4.三角函数的周期性. 考向分析 2π2π

解析：函数f(x)的最小正周期为T＝＝，解得ω＝3.

ω3

πππkππ

3x＋－1，令3x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)， f(x)＝sin3323187π

取k＝1，可得f(x)图象的一条对称轴为x＝.故选C.

18答案：C

π

ω>0，|φ|<图象的相邻两条对称轴之间的2．(2019·蚌埠模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)2ππ

距离为，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)为偶

23ππ

－，上的值域是( ) 函数，则函数f(x)在区间661

－1， A.21－1， C.2

B．(－2,1) D．[－2,1]

ππ

ω>0，|φ|<图象的相邻两条对称轴之间的距离为，解析：因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)所222ππ

以T＝π，而ω>0，T＝⇒ω＝2，又因为函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数

|ω|32π2ππ

2x＋＋φ，由函数g(x)为偶函数，可得＋φ＝kπ＋(k∈Z)，而g(x)的图象，所以g(x)＝2sin332

πππππππππ

2x－，x∈－，⇒2x－∈－，⇒sin2x－∈|φ|<，所以φ＝－，因此f(x)＝2sin666626626－1，1，所以函数f(x)在区间－π，π上的值域是[－2,1]，故选D.

266答案：D

πππ

－<φ<的图象关于直线x＝对称，则φ的3．(2019·武汉质检)已知函数y＝2sin(2x＋φ)226值为________．

ππkπφ

解析：2x＋φ＝＋kπ(k∈Z)⇒x＝＋－(k∈Z)，

2422πkπφ

∴y＝2sin(2x＋φ)的对称轴为x＝＋－(k∈Z)．

422π

又x＝为对称轴，

6

φπkππ

∴＝＋(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z)． 21226ππ又－<φ<，

22π∴k＝0，即φ＝.

6π答案： 6

[题后悟通]

1．求三角函数单调区间的方法

(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．

(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法

利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．

3．求三角函数周期的常用结论

(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为π. |ω|

1

(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对211

称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.

42

2π

，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为|ω|

三角函数的图象

授课提示：对应学生用书第16页

考情调研 以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为选择题和填空题，中档难度. [题组练透]

π3x＋π的图3x－的图象，1．(2019·云南质检)为得到函数y＝2sin只需要将函数y＝2sin32象( )

π

A．向左平行移动个单位长度

6π

B．向右平行移动个单位长度

65π

C．向左平行移动个单位长度

185π

D．向右平行移动个单位长度

18

πππ15ππ3x＋向右平移＋×＝个单位长度，得到y＝2sin3x－的解析：依题意y＝2sin2323318图象．

答案：D

π5ππ

，1，Q，－1分别是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)2．(2019·南宁模拟)已知P12122图象上相邻的最高点和最低点，则ωφ＝( )

π

A. 23πC．－

4

πB．－ 23πD. 4

1.由图象求解析式． 2.图象的平移、变换. 考向分析

5πππ2π

－＝T＝，所以ω＝3，把P，1的坐标代入y＝sin(3x＋φ)，得解析：因为2×121212ωπππ3π

φ＝＋2kπ(k∈Z)，因为|φ|<，所以φ＝，ωφ＝.故选D.

4244

答案：D

π

A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，3．(2019·南昌模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)2π

若将f(x)图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区

4间是( )

7ππ

kπ－，kπ－(k∈Z) A.1212

π5π

kπ－，kπ＋(k∈Z) B.1212

5π7π

kπ－，kπ＋(k∈Z) C.2424

11ππ

kπ－，kπ＋(k∈Z) D.2424

T5πππ2π

解析：由图可得＝－＝，故T＝π＝，解得ω＝2，

41264ω

πππ

，A代入函数f(x)＝Asin(2x＋φ)，即A＝Asin＋φ，故sin＋φ＝1. 将点633πππ

2x＋， 因为|φ|<，所以φ＝，故函数f(x)＝Asin626

π

因为将f(x)图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，

4ππ2πx＋＋＝Asin2x＋， 所以g(x)＝Asin2346π2ππ

当－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z时

2327ππ

解得－＋kπ≤x≤－＋kπ，k∈Z，

1212

7ππ

－＋kπ，－＋kπ，k∈Z时，g(x)单调递增，故选A. 故当x∈1212

答案：A

π

4x－的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵4．(2019·海口质检)将函数f(x)＝sin6坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的最小正周期是________．

π2π

2x－，所以g(x)的最小正周期是T＝＝π. 解析：依题意可得g(x)＝sin62答案：π

[题后悟通]

1．由“图”定“式”找“对应”的方法

由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．

(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝

M＋mM－m，A＝. 22

2π2π

(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.

ωT

(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”．

2．关于三角函数的图象变换的方法 平移变换 伸缩变换

沿x轴 由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移 由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不1变，横坐标变为原来的倍 |ω|沿y轴 由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移 由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍