2020年河南省中考数学压轴题专题08圆中证明及计算问题

专题08圆中证明及计算问题

【例1】（2019·叶县一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点

D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．

（1）求证：PD是⊙O的切线； （2）求证：AB•CP＝BD•CD；

（3）当AB＝5 cm，AC＝12 cm时，求线段PC的长．

【答案】见解析.

【解析】（1）证明：连接OD．

∵∠BAD＝∠CAD， ∴弧BD=弧CD， ∴∠BOD＝∠COD＝90°，

∵BC∥PA，

∴∠ODP＝∠BOD＝90°， 即OD⊥PA， ∴PD是⊙O的切线． （2）证明：∵BC∥PD， ∴∠PDC＝∠BCD． ∵∠BCD＝∠BAD， ∴∠BAD＝∠PDC，

∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°， ∴∠ABD＝∠PCD， ∴△BAD∽△CDP， ∴

ABBD， CDCP∴AB•CP＝BD•CD． （3）∵BC是直径， ∴∠BAC＝∠BDC＝90°， ∵AB＝5，AC＝12， 由勾股定理得：BC＝13，

由（1）知，△BCD是等腰直角三角形， ∴BD＝CD＝132， 2∵AB•CP＝BD•CD． ∴PC＝

169． 10【变式1-1】（2018·焦作一模）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC到点D，使CD=CA，连接

AD交⊙O于点E．

（1）求证：△ABE≌△CDE； （2）填空：

①当∠ABC的度数为 时，四边形AOCE是菱形； ②若AE=6，BE=8，则EF的长为 ．

9【答案】（1）见解析；（2）60；.

2【解析】（1）证明：连接CE，

∵AB=AC，CD=CA， ∴∠ABC=∠ACB，AB=CD， ∵四边形ABCE是圆内接四边形， ∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°， ∴∠ECD=∠BAE， 同理，∠CED=∠ABC， ∵∠ABC=∠ACB=∠AEB， ∴∠CED=∠AEB， ∴△ABE≌△CDE； （2）①60；

连接AO、OC，

∵四边形ABCE是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠AEC=180°， ∵∠ABC=60，

∴∠AEC=∠AOC=120°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°， ∵AB=AC，

∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，

∵∠ACB=∠CAD+∠D，AC=CD， ∴∠CAD=∠D=30°， ∴∠ACE=30°， ∴∠OAE=∠OCE=60°， 即四边形AOCE是平行四边形， ∵OA=OC，

∴四边形AOCE是菱形； ②由（1）得：△ABE≌△CDE， ∴BE=DE=8，AE=CE=6，∠D=∠EBC， 由∠CED=∠ABC=∠ACB， 得△ECD∽△CFB， ∴

CECF6=， DEBC8∵∠AFE=∠BFC，∠AEB=∠FCB， ∴△AEF∽△BCF， ∴即

EFCF， AEBCEF6， 689∴EF=．

2【例2】（2019·省实验一模）如图，AB为⊙O的直径，点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E．

（1）求证：△CDE≌△CBE； （2）若AB＝4，填空：

①当弧CD的长度是 时，△OBE是等腰三角形； ②当BC＝ 时，四边形OADC为菱形．

【答案】（1）见解析；（2）

2；2．

【解析】（1）证明：延长AD交直线l于点F，

∵AD垂直于直线l， ∴∠AFC＝90°， ∵直线l为⊙O切线， ∴∠OCF＝90°， ∴∠AFC＝∠OCF＝90°， ∴AD∥OC， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠OEB＝90°， ∴OC⊥DB，

∴DE＝BE，∠DEC＝∠BEC＝90°， ∵CE＝CE， ∴△CDE≌△CBE； （2）①如图2，连接OD，

由（1）知∠OEB＝90°， 当△OBE是等腰三角形时， 则△OEB为等腰直角三角形， ∴∠BOE＝∠OBE=45°， ∵OD＝OB，OE⊥BD， ∴∠DOC＝∠BOE＝45°， ∵AB＝4， ∴OD＝2， ∴弧CD的长=

452=； 1802②当四边形OADC为菱形时， 则AD＝DC＝OC＝AO＝2， 由（1）知，BC＝DC， ∴BC＝2.

【变式2-1】（2019·河南南阳一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则弧AC的长为（

）

A. 2π B. π C.

2 D.

3

【分析】根据弧长公式lnr，需先确定弧AC所对的圆心角∠AOC的度数，再根据同弧所对的圆心角180是圆周角的2倍得到∠AOC=2∠D，根据圆内接四边形对角互补，求出∠D=180°－∠B=45°，再代入弧长公式求解即可.

【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠D=180°－∠B=45°，

∴弧AC所对圆心角的度数为：2×45°=90°， ∵⊙O的半径为2， ∴弧AC的长为：l故选B.

nr902=π， 180180

1.（2018·洛阳三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，与斜边AB交于点D，E为BC边的中点，连接DE.

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）填空：①若∠B=30°，AC=23，则BD= ②当∠B=

时，以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）连接OD，

∵AC为直径，

∴∠ADC=90°，∠CDB=90°， ∵E是BC的中点， ∴DE=CE=BE， ∴∠DCE=∠EDC， ∵OD=OC， ∴∠OCD=∠ODC，

∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=90°， 即∠ODE=90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）3；45°，理由如下：

①∵∠B=30°，AC=23，∠BCA=90°， ∴BC= AC÷tan30°=6， ∴DE=3，

②由∠B=∠A=45°，

OA=OD，得∠ADO=∠AOD=45°，

∴∠AOD=90°， ∴∠DOC=90°， 又∠ODE=90°， ∴四边形ODEC是矩形， ∵OD=OC，

∴四边形ODEC是正方形.

2.（2018·河南第一次大联考）已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，且DA∶AB=1∶2．

（1）求∠CDB的度数；

（2）在切线DC上截取CE=CD，连接EB，判断直线EB与⊙O的位置关系，并证明．

【答案】见解析.

【解析】解：（1）如图，连接OC，

∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°． ∵DA：AB=1：2， ∴DA=OC，DO=2OC．

1在Rt△DOC中，sin∠CDO=，

2∴∠CDO=30°， 即∠CDB=30°．

（2）直线EB与⊙O相切． 证明：连接OC，

由（1）可知∠CDO=30°， ∴∠COD=60°， ∵OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB=30°， ∴∠CBD=∠CDB， ∴CD=CB，

∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCE=90°， ∴∠ECB=60°， 又∵CD=CE， ∴CB=CE，

∴△CBE为等边三角形， ∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°， ∴EB是⊙O的切线．

3.（2019·偃师一模）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O与斜边AB交于点D，E为BC边上一点，且DE是⊙O的切线．

（1）求证：BE=EC；

（2）填空：①若∠B=30°，AC=23则DE= ②当∠B=

；

°时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．

【答案】（1）见解析；（2）①3；②45. 【解析】解：

（1）证明：如图，连接OD，

∵∠ACB=90°，AC为⊙O的直径， ∴EC为⊙O的切线， ∵DE为⊙O的切线， ∴EC=ED， ∵∠EDO=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°， ∵OD=OA， ∴∠ADO=∠A， ∴∠BDE+∠A=90°， ∵∠A+∠B=90°， ∴∠BDE=∠B， ∴BE=EC；

（2）①3；②45，理由如下：

①在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=23， ∴BC=6，

由（1）知，E是BC中点，

1∴DE=BC=3；

2

②∵ODEC为正方形， ∴∠DEC=90°，

DE=CE=BE，

∴∠B=45°， 故答案为：3；45.

4.（2017·新野一模）如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一动点，过点C作⊙O的切线l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F．

（1）求证：△CDE≌△EFC； （2）若AB=4，连接AC．

①当AC= 时，四边形OBEC为菱形； ②当AC= 时，四边形EDCF为正方形．

【答案】见解析． 【解析】（1）证明：如图， ∵BD⊥CD， ∴∠CDE=90°， ∵AB是直径， ∴∠AEB=90°， ∵CD是切线， ∴∠FCD=90°， ∴四边形CFED矩形， ∴CF=DE，EF=CD， ∵CE=CE， ∴△CDE≌△EFC．

（2）解：①当AC=2时，四边形OCEB是菱形．

理由：连接OE．

∵AC=OA=OC=2， ∴△ACO是等边三角形， ∴∠CAO=∠AOC=60°， ∵∠AFO=90°， ∴∠EAB=30°， ∵∠AEB=90°， ∴∠B=60°， ∵OE=OB，

∴△OEB是等边三角形， ∴∠EOB=60°，

∴∠COE=180°﹣60°﹣60°=60°， ∵CO=OE，

∴△COE是等边三角形， ∴CE=CO=OB=EB， ∴四边形OCEB是菱形． 故答案为2．

②当四边形DEFC是正方形时，

∵CF=FE，

∵∠CEF=∠FCE=45°，

∵OC⊥AE， ∴弧AC=弧CE， ∴∠CAE=∠CEA=45°， ∴∠ACE=90°， ∴AE是⊙O的直径， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴AC=22．

∴AC=22时，四边形DEFC是正方形． 故答案为22．

5.（2019·三门峡二模）如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接AD，过点O作AD的垂线，交半圆O的切线AC于点C，交半圆O于点E．连接BE，DE．

（1）求证：∠BED＝∠C． （2）连接BD，OD，CD． 填空：

①当∠ACO的度数为 时，四边形OBDE为菱形； ②当∠ACO的度数为 时，四边形AODC为正方形．

【答案】（1）见解析；（2）30；45． 【解析】解：

（1）证明：设AD，OC交于点P，

∵OC⊥AD，

∴∠APC＝90°． ∴∠C+∠CAP＝90° ∵AC是半圆O的切线， ∴∠CAO＝∠CAP+∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝∠C， ∵∠BED＝∠BAD， ∴∠BED＝∠C； （2）①30，理由如下： 连接BD，如图：

∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠DAB＝∠ACO＝30°， ∴∠DBA＝60°， ∵OE⊥AD， ∴弧AE=弧AD， ∴∠DBE＝∠ABE＝30° ∵∠DEB＝∠DAB＝30°， ∴∠DEB＝∠ABE，DE∥AB

∵∠ADB＝90°，即BD⊥AD，OE⊥AD， ∴OE∥BD，

∴四边形OBDE 是平行四边形 ∵OB＝OE

∴四边形OBDE是菱形； 故答案为30°； ②45，理由如下：

连接CD、OD，

∵∠BED＝∠ACO＝45°， ∴∠BOD＝2∠BED＝90°， ∴∠AOD＝90°， ∵OC⊥AD， ∴OC垂直平分AD， ∴∠OCD＝∠OCA＝45°， ∴∠ACD＝90°， ∵∠ACO＝90°， ∴四边形AODC是矩形， ∵OA＝OD，

∴四边形AODC是正方形， 故答案为45°．

6.（2019·开封模拟）如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为A、B．

（1）连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形； （2）填空：

①当弧AB的长为 cm时，四边形AOBD是菱形； ②当DP＝ cm时，四边形AOBP是正方形．

【答案】（1）见解析；（2）

2；21. 3【解析】解：（1）连接AO，

∵PA是⊙O的切线， ∴∠PAO＝90°， ∵∠APO＝30°， ∴∠AOP＝60°， ∵OA＝OC，

∴∠C＝∠CAO＝30°， ∴∠C＝∠APO=30°， ∴△ACP是等腰三角形；

（2）①若四边形AOBD是菱形，则AO＝AD， ∵AO＝OD，

∴△AOD是等边三角形，∠AOD＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∵CD=2，

∴圆O的半径为1，

120122∴弧AB的长为：=.

1803②若四边形AOBP为正方形时，则PA＝AO＝1， 则OP=2， ∵OD=1， ∴PD=2－1， 所以答案为：2－1．

7.（2019·西华县一模）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．

（1）求证：AC∥DE；

（2）连接CD，若OA=AE=2时，求出四边形ACDE的面积．

【答案】见解析．

【解析】证明：（1）∵F为弦AC（不是直径）的中点， ∴AF=CF，OD⊥AC， ∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∴AC∥DE． （2）连接CD，

∵AC∥DE， OA=AE=2， ∴OF=FD，

∵AF=CF，∠AFO=∠CFD， ∴△AFO≌△CFD， ∴S△AFO=S△CFD， ∴S四边形ACDE=S△ODE ∵OD=OA=AE=2， ∴OE=4，

由勾股定理得：DE=23， ∴S四边形ACDE=S△ODE

1= ×OD×OE 2=

1×2×23 2=23．

8.（2019·郑州联考）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙

O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

（1）求证：∠DAC＝∠DBA； （2）求证：P是线段AF的中点；

（3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长．

【答案】见解析．

【解析】（1）证明：∵BD平分∠CBA， ∴∠CBD＝∠DBA，

∵∠DAC与∠CBD是弧CD所对的圆周角， ∴∠DAC＝∠CBD， ∴∠DAC＝∠DBA； （2）证明：∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∵DE⊥AB于E， ∴∠DEB＝90°，

∴∠ADE+∠BDE＝∠DBE+∠BDE＝90°， ∴∠ADE＝∠DBE＝∠DAC， ∴PD＝PA，

∵∠DFA+∠DAF＝∠ADE+∠BDE＝90°， ∴∠PDF＝∠PFD， ∴PD＝PF，

∴PA＝PF，即P是线段AF的中点； （3）解：∵∠CBD＝∠DBA，CD＝3， ∴CD＝AD＝3，

由勾股定理得：AB＝5， 即⊙O的半径为2.5， 由DE×AB＝AD×BD， 即：5DE＝3×4， ∴DE＝2.4． 即DE的长为2.4．

9.（2019·安阳二模）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE．

（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

1（2）若tan∠ACB＝，BC＝4，求⊙O的半径．

2

【答案】见解析．

【解析】（1）直线CE与⊙O相切，

证明：连接OE， ∵OA＝OE， ∴∠EAO＝∠AEO， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠AEO＝∠ACB＝∠DCE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD，

∴∠ACB＝∠DAC， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠DAC＝∠DCE，

由∠D＝90°，得：∠DCE+∠DEC＝90°， ∴∠AEO+∠DEC＝90°， ∴∠OEC＝90°，即OE⊥EC， ∵OE为半径， ∴直线CE与⊙O相切；

1（2）解：在Rt△ACB中，AB＝tan∠ACB×BC=×4＝2，

2由勾股定理得：AC＝25， ∵∠ACB＝∠DCE，

1∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝，

21在Rt△DCE中，CD＝AB＝2，DE＝DC×tan∠DCE＝2×＝1，

2由勾股定理得：CE＝5，

在Rt△COE中，CO＝CE+OE，OE=OA， （25﹣OA）＝OA+（5），

2

2

2

2

2

2

35， 435即⊙O的半径是．

4解得：OA＝10.（2019·平顶山三模）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为点D，直线AC交⊙C1于点E、F，且CF=AC，

2（1）求证：△ABF是直角三角形；

（2）若AC＝6，则直接回答BF的长是多少．

【答案】见解析.

【解析】（1）证明：连接CD，则CF＝CD，

∵AB是⊙C的切线．

∴CD⊥AB，∠ADC＝∠BDC＝90°，

1在Rt△ACD中，CF=AC，

21∴CD＝CF=AC，

2∴∠A＝30° ∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠A＝30°，

∴∠ACB＝120°，∠BCD＝∠BCF＝60°， ∵BC＝BC， ∴△BCD≌△BCF， ∴∠BFC＝∠BDC＝90°， ∴△ABF是直角三角形．

（2）解：由（1）知：AC＝BC，CD⊥AB， ∴AD＝BD＝BF，

在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝6， ∴CD＝3，

∴AD=3CD＝33． ∴BF＝33.