第五章：角动量、关于对称生
我们将在本章，讨论动量和能量之外的另一个重要的守恒量，即角动量，认识这一概念，它的变化规律和它的守恒，动量和能量不能反映运动的全部特点。
本章介绍经电动力学的适用范围，第六章再、介绍万有引力定律哦的适用范围。
§5.1 质点的角动量
一、 质点的角动量
开普勒描述行星运动时曾谈到行星沿平面轨道运行，开普勒三个定律如下：
1.第一定律；行星都沿着椭圆轨道运动太阳位于椭圆的一个焦点处，如图（5-1.1）所示。
图5-1.1 2.第二定律；在航行运动时，联结行星和太阳的线，在相等时间内永远扫出同样大小的面积，图（5-1.2）。 3.第三定律：行星公转周期（公转一次的时间）T的平方与它们
T21a13的轨道长半轴a的立方成正比，即 2=3；
T2a2vvv将行星视为质点分别用r和u表示行星的位置失量和速度。udt图5-1.2 vvdt表示质点在时间dt内的位移dt内位置矢量扫过面积的大小可用r´u表示，掠面速度大
2vvvuvu小则等于r´，r´的方
22向恰与纸面垂直，它的方向不变正可用来表示轨道在一平
urAu0vvu面内，于是称矢量。r´为
2掠面速度上述行星的运动规
oror图5-1.3 vvu律可写作， r´=恒矢量。
2它既能说明行星掠面速度大小不变又能指明轨道总在同一平面上。图（5-1.3）所示。
uvvvvv质点A的质量为 m, 速度 u位置矢量r，质点A的矢径r与质点动量P=mu的矢积vuvuvuv称为质点（矢量乘积）A对O点的动量矩，用l表示L=g?Puvuvuv图(5-1.4)上，矢量L垂直与由g组成的平面矢量L的大小为
uvvg mu；
L=pgsina=mugsina
uvuv为矢量的正方向和矢量角动量的大单位为kg.m2/s.量纳agp的正方向之间的夹角，
为[L]=LMT2-1，图（5-1.5）所示。
L prT o 图5-1.4 rrF图5-1.5 二、 为对以叁考点的力矩；
uvO唯恐建一叁考点，F为了研究质点对某叁考点的角动量如何发生变化引入为矩概念，vuv为作用为A表示受力，质点相对于o占的位置矢量g与力F矢量的积uvuvL叫作用力F对参考点o的力矩记做，
Tuvuvuv L=g F 图（5-1.6）所示。
力矩L的方向垂直于g´F平面（g和F组成的平面）枸成一右手
ArFOFrsinauvuvuvuvuv图5-1.6 uv累旋系统，其大小第于 L=gFsina。
v受力点的位置矢量r，所以同一个力对空间不同点的力矩不同，力矩单位N×m，量纲
为 [L]=L2MT-2。
若有几个力F1,F2,F3,F4,LFn作用于受力质点则质点n个力矩的时量和，因有
uvuuvuuvuuvuuvuvuv邋g?Fiuvuvuvuuvuvuuvuvuuvg?F1g?F2g?F3L+g?Fnuvg uvFi （5-1.4）
这式表明诸力矩的时量和等于合力对叁考点的力矩。 三、 质点对叁考点的角动量定力和守恒定律。 现在从质点动力学方程（3-3.3）
åFi=d(mu)出发研究角动量的定理，用自叁考点dtv指向质点的位置矢量r对方程两侧作矢积。
uvdvg (mu)。 ådtuvdv(mu)先将质点的角动量对时间求导数，得下面讨论g´dtvvvvvvvdmudLddrdr其中即质点速度u，上式右方等一项=(r?mu)?mur dtdtdtdtdtuvg?uvFivvu?muuvdvvd(r mu)。于是有 0。故g?(mu)dtdtuvuuvuvuvuvuvuvuvuvdvL=M=g?邋Fig?Fig? Fig创(rmu) （5-1.5）
dtuvuvvvuvdL或写作 L= ， QL=r mu （5-1.6）
dt即质点对叁考点O的角动量对时间的变化率C等于作用于质点的合力对该点的力矩，
叫做质点对叁考点O的角动量定理。
uvuv若L=0时，L=恒矢量。
即若作用于质点的合力对叁考点O的力矩总保持为0，则质点对该点的角动量不变，称为质点对叁考点O的角动量守恒定律。
四、质点对轴的角动量守恒定律和守恒定律。在惯性系中，取叁考点O，过O点取Z坐标轴，质点对叁考点O的角
ZF F2r2F1r1roo¢uvuvuvuuvuvdLdL动量定理L=的Z轴的投影为 LZ=MZ=；称
dtdt 图5-1.7为质点对轴Z的角动量定律。图）（5-1.7）所示，先看某力F对O点力距在Z轴上的投影，
vF是作用于质点的力，r是质点的位置矢量。r的分解为r1和r2，分别和Z轴垂直和平行，
力F分解为平面内的力F1,F2，F2是平行于Z轴，力F对叁考点O的力矩为
uvuvuvvuvL=r?Fuvuvuvuuvuvuvuvuuvuvuvuvuuv(r1+r2)?(F1F2)=r1?F1r1?F2r2?F1r2 F2；
uvuuvuvuuvuv所以r2与F2互相平行，故 g2?F20,g1?F20,g2?F1uvuvuvuvuuv故仅余 L=g1 F1 （L=M）
uv；0
uvuvuvuvuv由g1逆时计转至F1转过的角度，则g´F在Z轴上的投影为 LZ=rsinq 1F（5-1.9）
这便是力对轴z的力矩，它等于受力质点到轴的垂直距离与力在与轴垂直的平面上的分力以接前文定义的a角正弦的乘积。
uvuv总之，力F对z轴上o点上的力矩在z轴上的投影就等于力F对z轴的力矩，将叁考
uvuv¢点o沿z轴移至o点，g虽然予以前不同，但g1依旧，因而投影亦不变。
这表明某力对z轴上不同点得力局势不同的，但它们在z轴上的投影却相等。力对z轴上任意一点力矩在z轴上的投影等于力对z轴的力矩。
若质点位置矢量g和力F恰在与z轴垂直的平面上，则力对z轴的力矩为
uvuvuvLt=rFsinq （5-1.10）
uvuvuvdL这是中学见到的力矩概念，式Lz=中的Lz可视为合力
dt对叁考点O的力矩，在Z轴的投影的和；
当研究质点对轴上某叁考点的动量距在轴上的投影时，亦
ZP P1 P 2r2uvuv可依照前文研究力矩的方法，将动量P分解为类似于图中F1和
rr1oo¢uvF2那样的分矢量，于是得角动量在轴上投影。
vuvLt=(r?P)Zr1p1sina （5-1.11）
图5-1.8vuvuv图(5-1.8)r为自z轴端观察自g1，设逆针转至p1的 角度。若r和P均在与z轴垂直的
平面内则Lz=rPsina （5-1.12） 以上给出质点对轴动量定力的确切意义。
§5.2质点系的动量定理及角动量守恒定律
一、质点系队叁考点的角动量定律家动量守恒定律
质点系内各质点对于叁考点o的角动量的矢量和叫做质点系对o点的角动量。设由n个质点组成质点系，在惯性叁考系内，各质点的速度分别用u1,u2,u3,L,un表示，相对于叁考点o的位置矢量分别为r1,m2,m3,L,mn将质点系的角动量记作1,r2,r3,L,rn质量分别为muvuvL，则 L=åvvri miui （5-2.1）
uvuvuuvdLi现在把质点对叁考点o的角动量定理用于质点系内的质点i，Li=Mi=；Li表
dt示质点i的角动量，质点i所受的力距可以分为内力距Li内和外力距Li外，于是
uvuvuvdLi，将上式用于质点系内各质点并对所有制点求和则 Li内+Li外=dtuv 邋Li内+uvLi外= uvdLi （5-2.2） dtv根据牛顿第三定律，质点i与质点j间的相互作用力
FijairiFiv=-Fji，目二力作用在一条直线上。 j可见成对出现的内力对o点的力距矢量和为0。
\\odrjajjFji图5-2.1 åuvLi内=0；
QåuvdLidåLidLi==； dtdtdt将以上结果代入（5-2.2）式得
åuvuvdLi （5-2.3） Li外=dt即质点系对叁考点o的角动量随时间的变化率等于外力对该点力距的矢量和，称为质点系对叁考点o的角动量定律。
\\åuvuvLi外=0时，L=恒矢量
即若外力对叁考点o力矩的矢量和，始终为0，则质点系对该点的角动量保持不变，称为质点系对叁考点o的角动量守恒定律。
二、质点系对轴的角动量定理及守恒律
为简单起见，仅研究几个质点，均分别在与z轴垂直的平面内运动的情况，将（5-1.8）
uvdLzd=(rm式Liz=iiuisingi); dtdt质点i所受的合力对z轴的力距可分为内力距Liz内和外力距Liz外故上式可以写作
Liz=Liz内+Liz外 \\Liz内+Liz外=由于
dLizd=(rmni；) iiuisigdtdtåLiz内=0，åLiz内在z轴上的投影也心等于0，即åLiz内=0再将求和与求
导运算交换循序，上式可以写为
邋Liz外=ddt(rmiiuisingi)=dLZ； dtåZLiz外表示质点系所受一切外力对Z轴的力距之和å(rmiiuisingi)为质点系对
轴的角动量，对时间的变化率等于质点系所受一切外力对Z轴的力距之和，叫做质点系对Z轴的角动量定理。
根据（5-2.5）式
åLiz外=0时，LZ=å(rmiiuisingi)，即若质点系所受一切外力
p，singi=1质点系对Z轴角动量2对Z轴的力距之和等于恒量。始终为0，则质点系对Z轴的角动量是守恒定律。
设各质点绕共同的Z轴作圆周运动，这时gi= 写作LZ=邋(rmu)=iii2mri iiiwi Qui=rwwi质点的角速度，显然若质量一定各质点离轴越运，轴速
越快，则角动量越大。当角动量守恒时ri变小，则wi增大，ri变
(a)(b)图5-2.2 大，则wi减小。图（5-2.2）所示。
[例1]. 装置如图（5-2.3）所示，滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相同而处于平衡，现有距盘底高为h质量为m¢的胶泥自由下落，求胶泥粘在盘上时盘获得的初速度。滑轮和绳质量不计，不计轴承摩擦及绳的伸长。
解：胶泥自由下落至盘面速度为u0=R O R O r1m¢hr2 2gh。物
mm图5-2.3 体m和盘受力也相等。它们对轴心o的力距之和为0。故质点所受外力对o的力距之和就等于胶泥的重力距，不等于0，但在碰撞时碰撞前后的角动量 Qu1=u2=u； Rmⅱu0=R(m+m)u1+Rmu2\\?Rmⅱu0Rmu+Rmu+Rmu=(2m+m )Ru
m¢2ghRmⅱu0mu0； 轡u===R(2m+mⅱ)2m+m2m+m
§5.3 质点系对质心的角动量定理和守恒定律
前文给出的角动量定理和角动量守恒定律都相对于惯性系而言。现在研究质心叁考系中质点系角动量的变化规律下图（a）c-xⅱyz ,即质心叁考系c为质心x¢，y¢和z¢坐标轴
v与惯性叁考系o-xyz的x,y和z轴总保持平行，而质心具有加速度ac。
uv¢uv¢上图表示质心叁考系中的情况，诸质点相对c系的角动量用L表示，又用åLi外表
示作用于质点诸力对c点外力距的矢量和。此处，所有质点各惯性力-miac根据（5-1.6）
uvduvL再考虑到诸质点受惯性力的力距，即得 式L=dtuvⅱ邋Li外+uv¢vvdLri?(miac)=； （5-3.1）
dtv¢ri表示质点i在c-xⅱyz 系中质心的位置矢量，当然为0，于是（5-3.1）变为
åuv¢uv¢dLLi外= （5-3.2）
dtz¢z m1z¢m1y¢ ac-m1acc x¢ mnmimiy y¢ x¢ mn(b) -miac-mnacx 系特殊性和重要性的。
(a) 图5-3.1 此即质点系对质心的角动量与惯性系中角动量定理，具有完全相同的形式是表明质心
思 考 题
5.1．下面的叙述是否正确，试作分析，并把错误的叙述改正过来：
1.一定质量的质点在运动中某时刻的加速一经确定，则质点所受的合力就可以确定了，同时，作用于指点的力矩也就被确定了。
uvdL答：首先确定，然后L确定。
dt2.质点作圆周运动必定受到力矩的作用；质点作直线运动必定不受力距作用。 答：不一定，若L=0时，也是圆周运动；不一定，因为运速直线运动，但它受力矩为0，它也是直线运动。但它受力距。
3.力F1与z轴平行，所以力矩为零；力F2与z轴垂直，所以力矩不为零。
Z轴平行的，所以力矩为0，F2^Z，不一定力矩为0，若F2与Z轴它的力距力F1与
也0。
4.小球与放置在光滑水平面上的轻杆一端连结，轻杆另一端固定在铅直轴上，垂直于杆用离推小球，小球受到该力力矩作用，由静止而绕铅直轴转动，生产了角动量。所以，力矩是生产角动量的原因，而且力矩的方向与角动量方向相同。
答：力矩不是产生角动量的原因而且改变角动量是原因。
5.作匀速圆周运动的质点，其质量m，速度u及圆周半径r都是常量。虽然其速度方向
时时在改变，但却总与半径垂直，所以，其角动量守恒。
uv答：不一定，它受的L=0时L守恒L¹0不守恒。
5.2回答下列问题，并作解释；
1.作用于质点的力不为零，质点所受的力矩是否也总不为零？ 答：不一定，质点光滑水平面作圆周运动。质点所受力的力距L=0。
2. 作用于质点系的外矢量和为零，是否外力距之和也为零？ 答：不一定;QåF¹0，但质点所受一切力
åuvuvF=0,但Li=2Fr；
3.质点的角动量不为零，作用于该质点上的力是否可能为零？ 答：L¹0，不可能，一定受向心力；
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