氢原子光谱和里德伯常量的测量..

氢原子光谱和里德伯常量测定 —-以及实验数据处理方法的选择

北京航空航天大学

摘要： ................................................... 3 Abstract:Key words: ...................................... 3 1.实验背景 ............................................... 3 2. 实验要求 .............................................. 3 2.1实验重点 .......................................... 3 2.2实验要点 .......................................... 3 3.实验原理 ............................................... 4 3.1光栅及其衍射....................................... 4 3.2光栅的色散本领与色散分辨本领 ....................... 5 3.3氢原子光谱 ........................................ 6 4．测量结果的加权平均 .................................... 7 5.实验仪器介绍 ........................................... 8 6.实验内容 ............................................... 8 7.实验数据记录及处理 ..................................... 8 1.光栅常数测量 ........................................ 9 2.氢原子光谱测里德波尔常数 ........................... 10 3.色散率和色分辨本领 ................................. 12 8.不同的数据处理方法 .................................... 13 8. 1 波数为因变量的一般直线拟合 ...................... 13 8.2波长为因变量的直线拟合 ............................ 14 8.3加权平均法求RH ................................... 14 8. 4 波数为因变量的过原点直线的加权拟合 .............. 14

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9．实验感想与总结 ....................................... 14 10．参考文献 ............................................ 15

摘要： 关键字： Abstract: Key words: 1.实验背景

衍射光栅在现代光谱分析中具有重要应用。无论发射光谱仪器，还是吸收光谱仪器中的色散元件，大多使用性能优良的光栅。光栅的刻槽密度可达4800条/mm。进入纳米科学范围，属于光、机、电结合的高科技领域。衍射光栅作为各种光谱仪器的核心元件，广泛应用于石油化工、医药卫生、食品、生物、环保等国民经济和科学研究的诸多部门。光谱分析就是利用物质发射的光谱对其元素组成做出分析和判断，它在诸如地质找矿、冶金成分的分析、材料的超纯检测或微量元素识别等国民经济和教学科研各部门被广泛才用。在高科技领域，如各种激光器特别是强激光核聚变、航空航天遥感成像光谱仪、同步辐射光束线等，都需要各种特殊光栅。现代高科技的发展，使光栅有了更广泛的重要应用，许多高科技项目应用的特种光栅还有待于进一步开发。 发射光谱有三种类型：线状光谱、带状光谱和连续光谱。氢原子光谱是一种典型的线状光谱，它是量子力学理论得以建立的最重要的是要基础之一。把作为分光元件的光栅和精密测角仪器的分光仪结合起来进行氢原子光谱的测量和观察，不仅可以巩固和强化光学实验的基础训练，还可以了解现代光谱仪器的基本知识，增加有关量子物理的一些感性知识和基本概念。

2.实验要求

2.1实验重点

①巩固、提高从事光学实验和使用光学仪器的能力（分光仪的调整和使用）； ②掌握光栅的基本知识和使用方法；

③了解氢原子光谱的特点并用光栅测量巴耳末系的波长和里德伯常数；

④巩固与扩展实验数据处理的方法，即测量结果的加权平均，不确定度和误差的计算，试验结果的讨论等。

2.2实验要点

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①如何由1出发证明：在两个相邻的主极大之间有N1个极小、N2个次级大；N越大，主极大的角度宽度越小。

②氢原子里德伯常数的理论值等于什么？氢原子光谱的额巴耳末系中对应n3,4,5的三条谱线，应当是什么颜色？

③总结分光仪调整的关键步骤，在调整望远镜接受平行光、望远镜光轴垂直仪器主轴、平行光管出射平行光、平行光管光轴垂直仪器主轴的过程中应分别调节什么？调整完成的标志又是什么？

④光栅位置的调整和固定要达到什么目的？通过什么螺钉来进行？ ⑤导出加权平均及其不确定度的计算公式

⑥巴耳末系中不同波长的不确定度u如何计算？如何由不同算得里德伯常数通过加权平均获得RH的最佳值？

3.实验原理

3.1光栅及其衍射

波绕过障碍物而传播的现象称之为衍射。衍射是波动的一个基本特征，在声学、光学和围观世界都有重要的基础研究和应用价值。具有周期性的空间结构（或性能）的衍射屏称为“栅”。当博远与接收器距离衍射屏都是无限远时所产生的衍射称之为夫琅和费衍射。

光栅是使用最广泛的一种衍射屏。在玻璃上刻画一组等宽度、等间距的平行狭缝就形成了一个透射光栅；在铝膜上刻画出一组端面为锯齿形的刻槽可以形成一个反射光栅；而晶格原子的周期排列则形成了天然的三维光栅

本实验才用的是通过明胶复制的方法做成的透射光栅。它可以看成是平面衍射屏上开有宽度为a的平行狭缝，缝间额不透光部分的宽度为b，dba称为光栅常数。有关光栅夫琅禾费衍射的理论已经在《大学物理》的学习中进行过讨论，其主要的结论是：

①光栅衍射可以看是单缝衍射和多缝干涉的综合。当平面单色光正入射到光栅上时，其

sinNsinu衍射光振幅的角分布正比于单缝衍射因子u和缝间干涉因子的乘积，即沿着方向的衍射光强

I()I0(sinu2sinN2)()u

u式中，

asindsin,，N是光栅的总缝数。

sinN当sin=0时，sinN也等于0，

=N，I()形成干涉极大；当sinN=0，但

sin0时，I()，为干涉极小。它说明：在相邻的主极大之间有N1个极小，N2个

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次极大；N数越多，主机大的角宽度越小。

②正入射时，衍射的主机大位置有光栅方程

dsink(k0,1,2,...)

sinu决定，单缝衍射因子u不改变主极大的位置，只影响主极大的强度分配。

③当平行单色光斜入射时，对入射角和衍射角作以下规定：以光栅面发现为准，由法线为准，由法线到光线逆时针为正，顺时针为负。这时光栅相邻狭缝对应点所产生的光

程差d(sinsin)

光栅方程应写成

d(sinsin)k(k0,1,2,...)

类似的结果也适用于平面反射光栅。

不同波长的光入射到光栅上时，由光栅方程可知，其主极强位置是不同的。对同一级的衍射来讲，波长越长，主极大和衍射角越大。如果通过透镜接收，将在其焦面上形成有序的光谱排列。如果光栅常数已知，就是通过衍射角测出波长。

3.2光栅的色散本领与色散分辨本领

和所有的分光元件一样，反应衍射光栅色散性能的主要指标有两个，一是色散率，而是色分辨本领。他们都是为了说明最终能够被系统所分辨的最小的波长差。 色散率

色散率讨论的是分光元件能把不同波长的光分开多大的角度。若两种光的波长差为，

他们颜射的角间距为，则角色散率定义为

D。D可由光栅方程dsink导

出：当波长由时，衍射角由，于是dcosk,则

Dkdcos

D上式表明，越大，对相同的的两条光线分开的角度也越大，实用光栅的d值

与色散率类似的另一个指标是线色散率。它指的是对波长差为的两条谱线，在观察

很小，所以有很大的色散能力。这一特性使光栅成为一种有两的光谱分光元件。

屏上分开的（线）距离l有多大。考虑到光栅后面望远镜的物镜焦距f即可，lf，于是线色散率

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DllkffDdcos

色分辨率本领

色散率只反映了谱线（主极强）中心分离的程度，它不能说明两条谱线是否重叠。色分辨本领是指分辨波长很接近的两条谱线的能力。由于光学系统尺寸的限制，狭缝的像因衍射而展宽。光谱线表现为光强从极大到极小逐渐变化的条纹。波长差为d的两条谱线，因光栅的色散而分开d，即三种情况下它们的色散本领是相同的，但是如果谱线宽度比较大，就可能因互相重叠而无法分辨。

根据瑞利判据，当一条谱线强度的极大值刚好与另一条谱线的极小值重合时，两者刚好分辨。由dcosk可知，波长差为的两条谱线，其主极大中心的角距离

kdcos，而谱线宽度Ndcos；当两者相等时，刚可被分辨：

kdcosNdcos，由此得

光栅的色分辨本领定义为

kN

RkN

上式表明光栅的色分辨率本领与参与衍射的但愿总数N和光谱的级成正比，而与光栅

常数d无关。注意上式中的N是光栅衍射时的有效狭缝总数。由于平行光管尺寸的限制，本实验中的有效狭缝总数ND/d，其中D2.20cm，是平行光管的通光口径。

角色散率，线色散率以及色分散本领都是光谱仪器的重要性能指标，三者不能代替，应当选配得当。

3.3氢原子光谱

原子的线状光谱是微观世界量子定态的反映。氢原子光谱是一种最简单的原子光谱，它的波长经验公式首先是有巴耳末从实验结果中总结出来的。之后玻尔提出了原子结构的量子理论，它包括3个假设。①定态假设：原子中存在具有确定能量的定态，在改定态中，电子绕核运动，不辐射也不吸收能量；②跃迁假设：原子某一轨道上的电子，由于某种原因发生跃迁时，原子就从一个定态En过渡到另一个定态Em，同时吸收或者发散一个光子，其频率

满足hEnEm，式中h为普朗克常量；③量子化条件：氢原子中容许的定态是电子绕

核圆周运动的角动量满足Lnh，式中n成为主量子数。从上述假设出发，玻尔求出了原子的能级公式

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1me4En2(22)

n80h于是得到原子由En跃迁到Em时发出的光谱线波长满足关系

1RH(11)(nm1,m2,m3,...) m2n2式中，RH称为里德伯而常数。

当m取不同值时，可得到一系列不同线系： 赖曼系 巴耳末系 帕邢系 布喇开系 芬德系

1111111RH(22)(n2,3,...)

1n11RH(22)(n3,4,...)

2n11RH(22)(n4,5,...)

3n11RH(22)(n5,6,...)

4n11RH(22)(n6,7,...)

5n本实验利用巴耳末系来测量里德波尔常数。巴耳末系是n3,4,5,6...的原子能级跃迁到主量子数为2的定态是所发射的光谱，其对应的光谱其波长大部分落在可见光范围内。若已知n，利用光栅衍射测得，就可以算出RH的实验值。

光栅夫琅禾费要设的角分布可通过分光仪测出。分光仪是一种精密的测角仪器，其工作原理详见《分光仪的调节和使用》一节的相关内容。夫琅禾费衍射的实验条件应通过分光仪的严格调整来实现；平行光管用来产生来自“无穷远”的的入射光；望远镜用来接收“无穷远”的衍射光；垂直入射则可能通过对光栅的仔细调节来完成。

4．测量结果的加权平均

在等精度测量中，如果测量X的n此结果为

x1，

x2，

x3，…，但次测量结果的不确定

i度

u(x1)u(x2)...u(xn)u(x)，则应取平均值

u(x)u(x)n作为x的不确定度。

xxn作为测量结果，并按照平均

值的标准差

如果进行的不是等精度测量，观测X的n次测量结果为

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x1u(x1)，x2u(x2)，…，

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xnu(xn)，则X的最佳测量值和不确定度可由下式得到：

xiu2(x)ix1u2(x)iu2(x)11u2(x)i

5.实验仪器介绍

主要仪器：分光仪，透射光栅，钠灯，氢灯，会聚透镜。 1.分光仪

用来在实验中，准确测量衍射角 2.透射光栅

空间频率约为600/mm、300/mm的黑白复制光栅 3.钠灯及电源

会发出平均波长为589.3nm的强黄光，本实验中用作标准谱线来校准光栅常数 4.氢灯及电源

使用时电压极性不能接反，直视时呈淡红色，主要包括巴尔末系中n3,4,5,6...的可见光

6.实验内容

通过测定巴耳末线系的2~3条谱线，获得里德伯常数的最佳实验值，计算不确定度和相对误差，并对实验结果进行讨论。具体内容如下： （1）调节分光仪

使望远镜聚焦于无穷远，其光轴垂直于仪器主轴；平行光管出射平行光，其光轴垂直于仪器主轴。

（2）调节光栅

调节光栅的要求是光栅平面（即光栅刻度所在平面）与仪器主轴平行，且光栅平面垂直平行光管；光栅刻线与仪器主轴平行。 （3）测光栅常数

用钠黄光589.3nm作为标准谱线校准光栅常数d。

（4）测氢原子里德伯常数

测定氢原子光谱中2~3条可见光波长，并由此测定氢原子的里德波尔常数。

7.实验数据记录及处理

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1.光栅常数测量

钠光光谱数据 +1级 -1级 1 65°10′ 6°12′ 74°20′ 142°5′ +2级 1 245°12′ 186°10′ 254°22′ 322°5′ 2 113°50′ 44°53′ 345°54′ 53°55′ 121°15′ -2级 2 293°52′ 224°51′ 165°54′ 233°53′ 301°18′ 12[(12)2(12)]20°24′30″ 20°19′00″ 20°17′00″ 20°27′00″ 20°28′00″ 1 10°13′ 10°10′ 10°9′ 10°14′ 10°14′ 134°14′ 314°17′ 1 142°5′ 1 324°58′ 2 103°22′ 2 283°29′ 12[(12)2(12)]41°31′ 2 20°45′30″ 1 10°12′

由dsink得（K1），

d1光栅常数

ksin13.327785m

1iUa(1)Ub(1)

180(1)2543.051×10

4111803601.6794×104

U(d)(d22cos1226)u(1)u()u()0.00644110ma1b12sin1

6所以可得d的最终表达式：du(d)(3.3280.006)10

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将

2带入得到

d23.325msin2 验证d正确。

2.氢原子光谱测里德波尔常数

①红光 +1级 -1级 1 143°15′ 192°00′ 240°50′ 可以得到：②蓝光 +1级 1 323°16′ 372°02′ 60°48′ 2 120°20′ 169°05′ 217°45′ 2 300°21′ 349°05′ 37°45′ 12[(12)2(12)]22°55′00″ 22°56′00″ 23°00′ 1 11°27′30′′ 11°28′ 11°30′ 1=11°28′30″ 于是可得波长：dsin662.1nm

11-1级 1 140°20′ 189°12′ 237°55′ 1 320°20′ 369°14′ 57°55′ 2 123°28′ 172°14′ 221°00′ 2 303°25′ 352°15′ 41°02′ 12[(12)2(12)]16°53′30″ 16°58′30″ 16°54′00″ 2 8°26′45″ 8°29′15″ 8°27′00″ 则可以得到：③紫光 +1级 2=8°27.5′ 于是可得波长：dsin489.5nm

22-1级 1 139°24′ 188°10′ 236°58′

1 319°23′ 368°13′ 57°55′ 2 124°30′ 173°16′ 222°05′ 2 304°28′ 353°17′ 42°03′ 12[(12)2(12)]14°54′30″ 14°55′00″ 14°52′30″ 2 7°27′15″ 7°27′30″ 7°26′15″ 3=7°27′ 可得波长：dsin431.5nm

331继而由

RH(112)22n 红光时取n=3，蓝光时取n=4，紫光取n5

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则可得到：RH

11i()4(2i)21代入数据有RH11.0874107m1（红光）

RH21.0895107m1（蓝光）

RH31.1036107m1（紫光）

计算不确定度：

u(1)ua(1)ub(1)

22ua(1)180(1i1)322.223104

ub()111.679104 360180代入数据有u(1)2.786104

u(2)2.319104

u(3)2.013104

则可以得到：

u()u(d)u()sin2u2(d)d2cos2u2()

d同理得到： u(1)1.404nm

22u(2)1.17nm u(3)1.027nm

1u(1)6621nm

1由2u(2)4901nm 3u(3)4321nm

RH(11)22n2可得，合成不确定度有：

u(RH1)u(RH1)u(1)10.0023107m1

71同理可得： u(RH2)0.002610m

u(RH3)0.0026107m1

RH1u(RH1)1.0870.002m1 RH2u(RH2)1.0900.003m1

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RH3u(RH3)1.1040.003

则有加权平均可得：

RHi2(RHi)RH1.093107m1

1u2(R)Hiuu(RH)10.00144107m1

111u2(RH1)u2(RH2)u2(RH3) 则有：RHu(RH)(1.0930.001)107m1

3.色散率和色分辨本领

D1钠光第一级： 色分辨率： R12305306D2642682dcos()dcos() 第二级：

DK,D2.20cm ddR1D6610.6 d2D13221 d钠光第一级： 第二级： 由

R2R可以得出：

11当K1时，18.9110m

角距离2.7210rad 半角宽度2.7210rad

5511一级恰能分辨

当K2时，角距离

22Dcos2

半角宽度

2Dcos2

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可见22 二级谱线不能分辨

8.不同的数据处理方法

不同的里德伯常量的数据处理算法, 测量结 果和标准差如表1 所示. 下面对不同的算法进行 详细说明.

8. 1 波数为因变量的一般直线拟合

波数为因变量的一般直线拟合方法见表1 中算法6~ 8. 这类算法均以波数量, 并采用因变量等精密度的假定. 具体有: 算法7 或8 以

1

为因变

1为自变量, 由直线2i11RHRH2的截距或斜率求出RH ; 算法6 以(2)为自变量, 由直线

4i4i111qRH(2)的斜率求RH .

4i1它们均以波数为因变量作最小二乘拟合, 因变量的标准差ssi2. 对于常用的光栅光

谱仪器或装置, 可见光波段的线色散率近似不变, 因而教学中将s 近似看作为常量是教学中可以采用的合理假设. i等精密度时因变量i明显不等精密度, 一般最小二乘直线拟合的前提不满足. 至于

1RHRH2方程 , 则是人为地拆分成两项, 截距b0 与斜率b1 成比4i13

例, 分别计算还会得出有些互相矛盾的结果. 当i= 3, 4, 5, 6 时, 分别由4 倍截距4b0 与

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sm1621斜率b1 算得的R H 的标准差之比为(4xi)3.664

4sb1n3以波数为因变量的等精密度直线拟合算法原则上是不宜采用的. 在设波长的总体标准

差sK=0. 15 nm 的情况下, 以波数为因变量的几种拟合结果的标准差见表1, 不确定度的概率密度分布曲线见图1. 对于以波数为因变量不过原点直线拟合, 表1 中算法7 与8 的标准差的期望值及散布范围都很大, 表明该方法是错误的. 按如下讨论的一些方法处理数据较为合理

8.2波长为因变量的直线拟合

波长为因变量的直线拟合如表1 中算法3 所示, 取i为因变量, 自变量X(11)1，

i24i11)i2, 在i等权的假定下,

S1得到斜率b 及其标准偏差sb , 进而可得RHb1 , 其标准偏差为sRHb, 根据数理统

b计理论, 斜率标准差分布属于自由度为3的分布

111bxb()i如果对方程i4i2拟合时错用了不过原点的直线拟合程序或算式( 算法4) ,

bxib(i3,4,5,6 根据巴耳末线系的规律, 拟合直线i14斜率标准差分布属于自由度为2 的分布, 结果RHb11的标准差的期望值及散布性都很大( 表1 中算法4) , 结果显然错误.

8.3加权平均法求RH

加权平均法求RH如表1 中算法1 所示, 由测得的各个波长i 可以分别求出

11RH1(2)1. 在i 等精密度, 即波长标准差s近似为常量时, 可得sRs。

RHH4i经计算知：如果只是简单地作一般的等权平均, 也是一种工科可用的简化算法( 表1 中算法

2) .

8. 4 波数为因变量的过原点直线的加权拟合

上文已经说明了以波数为因变量的等精密度直线拟合式因变量i不等精密度, 因此需对过原点直线模型法5) .

RHRH2欠当, 并指出4i2

1RHRH24i作加权直线( 表1 中算

9．实验感想与总结

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这个学期实验的综合性明显增强了，只要将每个基础的部分认真做好还是可以很顺利地完成实验的。

调节等高共轴。实验前要先将所有实验要用到的光学元件检查一下，看其螺钉的松紧程度是否适中、看元件的高度是否可以调节。在实验前先大致判断情况，先做粗略调整，做到胸有成竹，这是实验基本素养，也可以说是快速调整好光路的一个小窍门吧。

熟悉核心光学元器件的使用要点，遵循调整好一个就固定一个元件的原则。每个光学元件都有值得注意的使用特点，操作和读数都要事先预习好；从光源开始调起，调整好一个元件就固定一个，避免后续的操作对原来调整好的位置再造成影响；

轻拿轻放，避免震动。物理实验所实用的很多都是非常精密的光学仪器或者实验本身对震动的敏感度非常高。桌子上少许轻微的震动都会对效果产生严重干扰，甚至看不出实验的结果来，所以爱护光学仪器，不触摸镜片，轻拿轻放，可以避免一些意想不到的实验误差；

深刻理解光路形成规律，遵循调节顺序，掌握调节技巧。只有将对光路形成规律的深刻理解和实践中调节技巧相结合，才不会盲目机械地调节，同时出现不同现象时，也可以先分析产生原因，才能真正提高自己的实验能力。

我们不仅回顾加强了对光学实验的经验，还对于这个学期的知识进行了拓展。我们回顾了数据的处理方法，用一元线性回归和逐差法对于纷繁的数据进行处理，并得到我们所要求的量。我们通过理论学习，综合了分光仪实验原理，法布里干涉仪的实验原理以及阿贝尔滤波的实验原理，使得各个部分能够起到各自的作用，尽量的减少了实验中可能出现的误差原因，从而使得实验的准确性能够得到提高。

这个学期的物理实验让我们了解到：做实验前必须要弄懂实验的原理。弄懂实验原理才能体会到实验的操作能力是靠自己亲自动手，亲自开动脑筋，亲自去请教别人才能得到提高的；对于实验我们要有自己的理解，这样我们就要有充分的准备，知道实验时将要测量什么物理量，写报告时怎么处理这些物理量，这也是减少操作的盲目性以及提高实验效率的保证。

另外，我们做实验不要一成不变和墨守成规，应该有改良创新的精神。实际上，在弄懂了实验原理的基础上，我们可以通过整合各试验中的误差可能，提出改进方案，或者通过理论分析提出新的实验方案。因此在实验的过程中我们也培养自己的独立分析问题，和解决问题的能力。

10．参考文献

[1] 普通高等教育十一五国家级规划教材:基础物理实验(修订版),李朝荣,出版日期： 2010年09月01日，ISBN：751240208，出版社： 北京航空航天大学出版社； [2] 氢原子光谱实验求里德伯常量的数据处理方法岳峻峰、常缨、朱鹤年。

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