第六章随机信号通过非线性系统得分析

第九讲 随机信号通过非线性系统分析

9.1 无惰性非线性系统输出概率密度的计算

（一） 无惰性非线性系统

通常把非线性系统分成无惰性和有惰性两大类。本章假定所研究的系统是无惰性（或无记忆）的时不变非线性系统。设下图所示非线性系统的传输特性为y=g(x) （9.1）

x(t)g(x)y(t)

在某一给定时刻，非线性系统得输出y(t)只取决于同一时刻的输入x(t),而与x(t)的过去或未来值无关。与线性系统比较，非线性系统具有下述特点：（1）叠加原理已不适用，故当信号与噪声共同通过非线性系统时，不能像线性系统那样将它们分开研究；（2）会在输出端产生输入信号中不含有的新频率分量；（3）其分析方法繁杂。

（二） 非线性系统输出概率密度的计算

由传输特性及输入随机信号的概率密度确定非线性系统输出概率密度函数，可根据第一章中介绍的随机变量函数的原理来求解，其步骤为：

1

（1） 写出输入随机信号的一维概率密度函数

fx(x;t)或二维概率密度

f(x,x;t,t)；

x1212（2） 写出非线性系统得传输特性y=g(x)，并求其反函数；

（3） 根据反函数的单值性或多值性求雅可比因子。若求输出的一维概率密度，当反函数具有单值性时，雅可比因子J=dx/dy;当反函数具有n个值时，雅可比因子

Jdx/dy(i1,2,...,n)。若求输出的二维概率密度，并假定反函数具有单值性，则雅可比

ii因子为

J(y,y)12(x1,x2)y0x110x22

y （9.2）

y式中

1g(x1),yg(x2),x1x(t1),x2x(t2)2。

（4） 写出相应得输出的概率密度。输出的一维概率密度为

2

dxfX(x;t), 当g(x)单调时 (9.3)dyfY(y;t)ndxif(x;t), 当g(x)非单调时 (9.4)Xii1dy

式中二

xi表示t时刻一个y值对应n个x值中的第i个x值（注意同二维的记法区别开）。维

的

功

率

密

度

为

fY(y1,y2;t1,t2)JfX(x1,x2;t1,t2) (9.5)（9.2）。

J的表达式见式

9.2 计算非线性系统输出统计特性的各种方法

下面介绍四种求解非线性系统输出统计特性的方法。假设输入随机信号X(t)的二维概

(x,x;),f率密度函数为于是，无惰性非线性系统的输出随机信号是宽平稳的。

x12（一） 直接法

采用直接法计算非线性系统的传输统计特性的步骤：

（1） 写出非线性系统的传输特性和输入随机信号的一维概率密度或二维概率密度;

（2） 根据下式计算输出的均值

3

m

yE[Y(t)]g(x)fx(x)dx （9.6）

（3） 根据下式计算输出的自相关函数

R()g(x)g(x)f(x,x;)dxdxY12X1212 （9.7）

（4） 根据下式计算输出的平均功率

E[Y(t)]2g2(x)fX(x)dx （9.8）

（5） 对RY()进行傅立叶变换的输出功率谱密度表达式和和非线性系统的传输特性

都比较简单时，这种方法相当有效。否则，直接求二重积分将会遇到困难。

（二） 特征函数法

1 特征函数法 利用特征函数法求解输出自相关函数的步骤：

（1）写出非线性系统的传输特性，并求出其傅立叶变换

4

F(W)换

g(x)ejwxdx (9.9) 或双边拉普拉斯变

F(S)机

信

号

g(x)edx (9.10) （2）计算输入随

的

二

维

特

征

函

数

sxCX(u,v;)E[eXjux1jvx2] (9.11)或

Cs1x1s2x2(s1,s2;)E[e] （9.12）

式中u，v为实变量，s1,s2为复变量；X1X(t1),X2X(t2)。

（3）输出的自相关函数可通过计算下列积分的得到。

RY()142F(u)F(v)cX(u,v;)dudv (9.13) 或

5

RY()142F(s)F(s)c(s,s;)dsds 12X1212 9.14平面上的积分路线。

（5）对RY式中D表示复

()作傅立叶变换便得到输出功率谱密度SX()。

这种方法可以在一定程度上解决直接法遇到的计算积分的困难，类似于把“时域”中难处理的问题变换到“频域”里来处理。但当特征函数和转移函数较复杂时，仍然会产生求解积分的困难。

（三） 多项式变换的矩函数法

多项式变换的矩函数法是将非线性系统的传输函数展开成级数（即多项式），以使系统输出y(t)的矩函数能用输入随机信号的各阶导数的线性组合来表示。用这种方法求系统输出均值和自相关函数的步骤如下

（1） 若非线性系统的传输特性g(x)在0

处各阶导数存在，则将其按马克劳林级数展开为

g(x)bkx (6.17)k0k

6

式中

bk1dg(x)|x0kk!dxk

（2）计算输入k阶原点距E[

Xk(t)](k0,1,2,...),代入下式的输出均值

myE[Y(t)]E[g(X(t))] bkE[x(t)] (9.18)k0k

jkEX(t)X(t)(j,k0.1.2.)（3）计算输入各阶联合原点矩，并代入

下式，可得输出Y(t)的自相关函数：

jkRY()bjbkEX(t)X(t) (9.19)j0k0

S()，这种方法的特点是，

(4) 求输出自相关函数的傅立叶变换得输出功率谱密度Y非线性系统输出端得统计特性可以用输入随机信号各阶矩函数得线性组合来表示。其缺点是，当展开式中项数超过三项时，计算就显得十分复杂。

（四）包线法

7

若非线性系统的输入是平稳窄带随机过程，则采用包线法求解该系统输出的均值、方差和自相关函数的步骤如下：

（1） 写出输入窄带随机过程的表达式，即

X(t)A(t)cos0t(t)和非线性系统输出表达式

Y(t)g(X(t)A(t)cos0t(t))Ytg(Atcos) (6.20)记输出

Y(t)某时刻t的采样值为

式中

0tt，

Att、

分别为

A(t)和(t)在某一时刻t的采样值。

（2） 将式（9.20）展成如下的傅立叶级数形式

Ytgm(At)cosm (9.21)m0式中：

g0(At)g(Acos)d (9.22)t01 8

gm(At)出均值；

g(Acos)cosmd (9.23)t02（3）由下式计算输

E[Y(t)]E[g0(At)]g0(At)fA(At)dAt (9.24)0式中

fA(At)为

瑞利分布。

（3） 输出低频分量的方差由下式计算：

E[g(At)]g(At)fA(At)dAt (9.25)02020E[g(At)]E[g0(At)] (9.26)（5）

计算：

2L202

am()gm(At)gm(Atr)fA(At,At;)dAdAttr ( 9.27)0式中

fA(At,At;)数：

是包络A(t)的二维联合概率密度。把

am()

代入下式得输出的自相关函

9

RY()am()cosm0 (9.28)m0（6）对式(9.28)作傅

立叶变换得输出功率谱密度

 利用此法求解输入为窄带高斯随机过程时的线性包络检波器和平方律包络检波器的输出统计特性相当便利。对于线性检波器，输出Y(t)表达式为：

Y(t)KdA(t) (9.29)式中

Kd为线性包络检波器的输出系数。输出的均值为：

E[Y(t)]KdE[A(t)]Kd方差为：

2X (9.30)

2KE[A]K{E[A]}(2)(XKd) (9.31)2自相关函数：

2Y2d22d2RY()KRA()2d K

2dAAt0trfA(At,At;)dAtdAtr (9.32)对

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于平方律检波器，输出Y(t)的表达式为：

Y(t)bA(t) (9.33)

式中b为常数。输出的均值为

22E[Y(t)]bE[A2(t)]2bX (9.34)

输出的方差：

σbE[A(t)]b{E[A(t)]}4bσ (9.35)数：

2Y2422224X输出的自相关函

RY()bE[A(t)A(t)]222 b2AAf(A,A;)dAdA (9.36)Atttt02t2t三、

非线性系统输出信噪比的计算原则

一般来说，信号和噪声同时作用于非线性系统的输入端，其输出平均功率由三部分组成：

(QS)0

――信号自身各频率分量间差拍所得到的输出平均功率；

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(QN)0――噪声自身各频率分量间差拍所得到的输出平均功率；

(QSN)0――信号与噪声各频率分量间差拍所得到的输出平均功率。

对于通信系统中的非线性系统，计算其输出信噪比的公式为：

S(QS)0N (9.38)0(QN)0(QS)0

对于雷达中的非线性系统，计算其输出信噪比的公式为：

S(QS)0N(QSN)0 (9.39)0(QN)0

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