2003年高考理科数学试题及答案

密★启用前

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理工农医类）（北京卷）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：

三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式

11sincos[sin()sin()] S台侧(cc)l

221cossin[sin()sin()] 其中c、c分别表示上、下底面

21周长，l表示斜高或母线长. coscos[cos()cos()]

214sinsin[cos()cos()] 球体的体积公式：V球R3，其中

23R表示球的半径.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合要求的. 1．设集合A{x|x10},B{x|log2x0|},则AB等于

A．{x|x1} C．{x|x1}

0.92（ ）

B．{x|x0} D．{x|x1或x1}

D．y1>y3>y2

（ ）

2．设y14

1,y280.44,y3()1.5，则

2B．y2>y1>y3

C．y1>y2>y3

A．y3>y1>y2

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53”是“3．“c os2k,kZ”的

212 A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 4．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是 ．

（ ）

（ ）

A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α

C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β

2B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n D．若m⊥α，m，则α⊥β

D．双曲线 D．5

（ ） （ ）

5．极坐标方程cos22cos1表示的曲线是

A．圆

B．椭圆

C．抛物线

6．若zC且|z22i|1,则|z22i|的最小值是

A．2

B．3

C．4

7．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （ ）

A．2

B．

32C．

23 3D．

128．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上， 其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有

A．24种

B．18种

C．12种

D．6种

（ ）

3n2n(1)n(3n2n),n1,2,，则 9．若数列an的通项公式是an2 lim(a1a2an)等于

n C．

（ ）

A．

11 24B．

17 2419 24D．

25 2410．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的

编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 aij号同学当.选1,第i号同学同意j第j号第同学当.选0,第i号同学不同意

其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）

A．a11a12a1ka21a22a2k

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B．a11a21a1ka12a22ak2 C．a11a12a21a22ak1ak2 D．a11a21a12a22a1ka2k

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.

x1.x2,2|x|1.11．函数f(x)lg(1x),g(x)0x2,x1.是偶函数.

h(x)tg2x中，

x2y21右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 12．以双曲线16913．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，

剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么 圆柱被截后剩下部分的体积是 . 14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形

和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正

方形的周长应为 .

三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）

已知函数f(x)cosx2sinxcosxsinx. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）若x[0,442]，求f(x)的最大值、最小值.

. 16．（本小题满分13分）

已知数列an是等差数列，且a12,a1a2a312. （Ⅰ）求数列an的通项公式；

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n （Ⅱ）令bnanx(xR).求数列bn前n项和的公式.

17．（本小题满分15分）

如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=点，且BD=BC.

（Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D； （Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小； （Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积. 18．（本小题满分15分）

33,D是CB延长线上一2

如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（br0). （Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；

（Ⅱ）直线yk1x交椭圆于两点C(x1,y1),D(x2,y2)(y20);直线yk2x交椭圆于两

点G(x3,y3),H(x4,y4)(y40).求证：

kxxk1x1x2234；

x1x2x3x4 （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q. 求证：|OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）

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19．（本小题满分14分）

有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中

心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图） （Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，

点P应位于何处？

（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小， 点P应位于何处？

20．（本小题满分14分） 设yf(x)是定义在区间[1,1]上的函数，且满足条件： （i）f(1)f(1)0;

（ii）对任意的u,v[1,1],都有|f(u)f(v)||uv|. （Ⅰ）证明：对任意的x[1,1],都有x1f(x)1x; （Ⅱ）证明：对任意的u,v[1,1],都有|f(u)f(v)|1;

（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数yf(x)，且使得

1|f(u)f(v)||uv|.当u,v[0,].2 

1|f(u)f(v)||uv|,当u,v[,1].2七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

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若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.

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2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.

1．A 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C 9．C 10．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.

11．

f(x);g(x) 12． y236(x4) 13．

124

r(ab) 14．

24

三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分

13分. （Ⅰ）解：因为f(x)cos4x2sinxcosxsin4x

(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin2xcos2xsin2x2cos(2x所以

4

)f(x)的最小正周期T22. 2444（Ⅱ）解：因为0x所以5 ,2x. 当2x时，cos(2x)取得最大值2；当2x44442时，cos(2x)取得最小

4值－1. 所以

f(x)在[0,]上的最大值为1，最小值为－2.

2a1a2a33a13d12,又a12,d2.

16．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分. （Ⅰ）解：设数列{an}公差为d，则

所以an2n.（Ⅱ）解：令Snb1b2bn,则由bnanxn2nxn,得

Sn2x4x2(2n2)xn12nxn,① xSn2x24x3(2n2)xn2nxn1,②

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当x1时，①式减去②式，得 (1x)Sn2(xxx)2nx2nn12x(1xn)2nxn1,

1xnn1 所以S2x(1x)2nx.

n1x(1x)2当x 当x1时, Sn242nn(n1)综上可得当x1时,Snn(n1)

1时，Sn2x(1xn)2nxn1 .1x(1x)217．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和

逻辑推理能力. 满分15分.

（Ⅰ）证明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1， ∴ 四边形BDB1C1是平行四边形， ∴BC1//DB1.

又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D. （Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1，

∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD ， ∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角， ∵BD=BC=AB，

∴E是AD的中点， BE1AC3.

22在Rt△B1BE中，

33B1B2tgB1BE3.∴∠B1EB=60°。即二面角B1—AD—B的大小为60°

3BE2 （Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，

∴AF⊥平面BB1C1C，且AF=

3333, VCABBVABBC1SBBCAF 22311111111 1(1333)3327.即三棱锥C1—ABB1的体积为27.

322288 解法二：在三棱柱ABC—A1B1C1中，SABB1SAABVC1ABB1VC1AA1B1VAA1B1C1

111323327即三棱锥C—ABB的体积为27 1S11(43)..A1B1C1AA133428818．本小主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.

22x(yr) （Ⅰ）解：椭圆方程为焦点坐标为F1(a2b2,r),F2(a2b2,r), 1,a2b2 离心率ea2b2.

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（Ⅱ）证明：将直线CD的方程

yk1x代入椭圆方程，得b2x2a2(k1xr)2a2b2,

整理得(b2a2k12)x22k1a2rx(a2r2a2b2)0.根据韦达定理，得

2k1a2ra2r2a2b2 所以x1x2r2b2 ①

x1x22,x1x22ba2k12ba2k12x1x22k1r将直线GH的方程

22yk2x代入椭圆方程，同理可得x3x4rb，

x3x42k2rk1x1x2r2b2k2x1x2由①，②得x1x22rx1x2所以结论成立.

（Ⅲ）证明：设点P（p,0），点Q（q,0），由C、P、H共线， 得

(k1k2)x1x2x1pk1x1p解得， ,kxkxx2pk2x21122(k1k2)x2x3k1x1x2kxx由234,

k1x2k2x3x1x2x3x4x2x3x1x4 k1x2k2x3k1x1k2x4 由D、Q、G共线，同理可得 q 变形得 即(k1k2)x2x3(k1k2)x1x4

k1x2k2x3k1x1k2x4 所以|p||q|,即|OP||OQ|.

19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）解：由题设可知，a平方和为数

，则P至三镇距离的b0,记ha2b2,设P的坐标为（0，y）

时，函

hh2f(y)2(b2y2)(hy)23(y)2h22b2. 所以，当y33312ab2). 3f(y)取得最小值. 答:点P的坐标是(0,b2y2,当b2y2|hy|,（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为 g(x) 22|hy|,当by|hy|. 由

h2b2h2b2*,记y,于是 by|hy|解得y2h2h22七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

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22*h2b2nby,当yy, g(y) 当y0,即hb时，b2y2在[2h*|hy|,当yy.y*,)上是增函

数，而|h*y|在(-,y*]上是减函数. 由此可知,当yyn时,函数g(y)取得最小值. 当

,而

h2b2y0,即

2hhb时,函数

b2y2在[

y*,)上,当y0时,取得最小值b|hy|在(-,y*]上为减函数,且|hy|b. 可见, 当y0时, 函数g(y)取得最小值. 答

当hb时,点P的坐标为(0,a22b22a2b2);当hb时,点P的坐标为(0,0),其中ha2b2,

b2y2,当b2y2|hy|, 解法二:P至三镇的最远距离为 g(y)由b2y2|hy|解得 22|hy|,当by|hy|.h2b2h2b2*,于是 y,记y2h2h2*2 g(y)by,当yy,

*|hy|,当yy. 当 当

y*0,即hb时,zg(y)的图象如图(a)，因此，当yy*时，函数g(y)取得最小值.

yy*,即hb时,zg(y)的图象如图(b)，因此，当y0时，函数g(y)取得最小值.

答：当hb时，点P的坐标为(0,a22b22a2b2);当h22，其中hab. b，点P的坐标为（0，0）

22解法三：因为在△ABC中，AB=AC=a,所以△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为(0,a2b)，

222ab 且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，

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若h，则点M在线段AO上， a2b2b（如图1）

这时P到A、B、C三点的最远距离为

P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M 重合时，P到三镇的最远距离最小. 若ha2b2b(如图2),则点M在线段AO外,这时

P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，

且P1C≥OC，P2A≥OC，所以点P与BC边中点O重合时， P到三镇的最远距离最小为b. 答：当h(0,a22b22a2b2a2b2b时，点P的位置在△ABC的外心

)；当ha2b2b时，点P的位置在原点O.

20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.

（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当x[1,1]时，有|即x1f(x)|f(x)f(1)|x1|1x,

f(x)1x.

时,有|f(u)-f(v)||u-v|1. （Ⅱ）证法一：对任意的u,v[1,1],当|uv|1时,uv当|u-v|1所以，|0,不妨设u0,则v0且v-u1,

f(u)f(v)||f(u)f(1)||f(v)f(1)||u1||v1|

f(u)f(v)|1.

1u1v2(vu)1.综上可知，对任意的u,v[1,1],都有|证法二：由（Ⅰ）可得，当x[0,1]时,f(x)1-x,x[1,0]时,|f(x)||f(x)f(1)1x1|x|.

所以，当x[1,1]时,|f(x)1|x|.因此，对任意的u,v[1,1],

当|uv|1时，|f(u)f(v)||uv|1.当|uv|1时，有uv0 且1|uv||u||v|2.

所以|f(u)f(v)||f(u)||f(v)|1|u|1|v|2(|u||v)1. 综上可知，对任意的u,v[1,1],都有|f(u)f(v)|1.

（Ⅲ）答：满足所述条件的函数不存在. 理由如下，假设存在函数

f(x)满足条件，则由|1f(u)f(v)||uv|,u,v[,1],

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得|11111f()f(1)||1|. 又f(1)0,所以|f()|.①

22222f(x)为奇数，所以f(0)0.由条件|1f(u)f(v)||uv|,u,v[0,],

2 又因为

得

111|f()||f()f(0)|.② ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.本试卷来

222源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn

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