概率统计
（本小题 13 分） 1（2017 北京文）
某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方
法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：[20,30），[30,40），
┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相
等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
（12 分） 2（2017 新课标Ⅱ理）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100
个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于 50kg，
新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率；
1
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有
关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）．
附
： ，
2 n(ad bc)
K 2
(a b)(c d )(a c)(b d )
（本小题满分 13 分） 3（2017 天津理）
从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的
1 1 1
概率分别为 , , .
2 3 4
（Ⅰ）设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.
（12 分） 4（2017 新课标Ⅲ理数）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，
未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求
量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最
高气温位于区间[20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为
了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的
2
进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？
（本小题满分 12 分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不 5（2017 山东理）
同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种
心理暗示，另一组接受乙中心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价
两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5，A6 和 4 名 B1，B2，
B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示。 （I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B3 的频率。
（II）用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与数学期望 EX。 （12 分） 6（2017 新课标Ⅰ理数）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个
零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下
生产的零件的尺寸服从正态分布 N (, 2 ) ．
（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 )
之外的零件数，求 P( X 1) 及 X 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
9.95
10.1
2
9.96
9.96
10.0
1
9.92
9.98
10.0
4
10.2
111
16 16 x2 16x 2 )2 0.212 ，
x 2 经计算得 x 9.97 ，s ( x x )( i i i 16 16 16
i1
6
9.91
10.1
10.0
3 2
9.22
10.0
10.0
4 5
9.95
i1 i1
其中 x 为抽取的第 i 个零件的尺寸， i 1,2, ,16 ．
i
ˆ，利用估计值 用样本平均数 x 作为 的估计值 ˆ ，用样本标准差 s 作为 的估计值
3ˆ 3ˆ 之外的数据，用剩下的数据 判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(ˆ , ˆ )
估计 和 （精确到 0.01）．
附：若随机变量 Z 服从正态分布 N (, 2 ) ，则 P( 3 Z 3 ) 0.997 4 ，
0.997 4 16 0.959 2 ， 0.008 0.09 ．
3
（2017 新课标Ⅱ文）12 分） 7（
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网 箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：
（1）记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，估计 A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较 .
附：
P（
）
k
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
2 n(ad bc)
K 2 .
(a b)(c d )(a c)(b d )
（本小题 13 分） 8（2017 北京理）
为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另
一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其中“*”
表示服药者，“+”表示为服药者.
4
（Ⅰ）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；
（Ⅱ）从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7
的人数，求 的分布列和数学期望 E（ ）；
（Ⅲ）试判断这 100 名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.
（只需写出结论）
（12 分） 9（2017 新课标Ⅲ文数）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，
未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求
量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最
高气温位于区间[20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为
了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量
为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率．
（12 分） 10（2017 新课标Ⅰ文数）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽
取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的
尺寸：
5
抽取次序
1 9.95
2 10.1 2 10 9.91
3 9.96 11 10.1 3
4 9.96 12 10.0
5 10.0 1 13 9.22
6 9.92 14 10.0 4
2
7 9.98 15 10.0
8 10.0 4 16 9.95
零件尺寸
抽取次序
9 10.2 6
零件尺寸
2 5
16
2
i
i1
2
x 9.97 ， s 经计算得 x
16
1
1
16
i1
i
16
( x x ) 1 ( x 16x ) 0.212 ，
16
i
i1
16
(i 8.5)
16
i1
2
18.439
16
，
i1
( xi i x )(i 8.5) 2.78 ，其中 x 为抽取的第 i 个零件的尺寸，
i 1,2, ,16 ．
(i ,2,1 16), （1）求 ( x , )i i
的相关系数 r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺
寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若| r | 0.25 ，则可以认为零件的尺寸不随生
产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( x 3s, x 3s) 之外的零件，就认为这条
生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在 ( x 3s, x 3s) 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天 生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到 0.01）
n ( x x )( y y )
附 ： 样 本 ( x , y ) (i 1,2, , n) 的 相 关 系 数 r
i
i
n n ( x x ) ( y y )i1
i1
i i
2
i i
i1
2
，
0.008 0.09 ．
11（2017 山东文）(本小题满分 12 分)
某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1,A2,A3 和 3 个欧洲国家 B1,B2,B3 中选择 2 个国家去
旅游.
6
（Ⅰ）若从这 6 个国家中任选 2 个,求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；
（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个,求这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率.
12（2017 浙江）已知随机变量 i 满足 P（ i =1）=pi，P（ i =0）=1–pi，i =1，2． 若 0 ，则 2 A． E ( ) < E ( ) ， D( ) < D( ) 1 2 1 2 B． E ( ) < E ( ) ， D( ) > D( ) 1 2 1 2 2 1 2 C． E ( ) > E ( ) ， D( ) < D( ) 1 D． E ( ) > E ( ) ， D( ) > D( ) 1 2 1 2 13（2017 新课标Ⅲ文数）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并 整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了 下面的折线图. 根据该折线图，下列结论错误的是（ A．月接待游客逐月增加 ） B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 14（2017 新课标Ⅲ理数）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并 整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下 面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是 7 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 15（2017 新课标Ⅱ文）从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽 取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A． 1 10 1 B． 5 3 C． 10 2 D． 5 ____________． 16（2017 新课标Ⅱ理）一批产品的二等品率为0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放 回地抽取100 次， X 表示抽到的二等品件数，则 DX 17（2017 新课标Ⅰ文数）为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田.这 n 块地的 亩产量（单位：kg）分别为 x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物 亩产量稳定程度的是 A．x1，x2，…，xn 的平均数 B．x1，x2，…，xn 的标准差 C．x1，x2，…，xn 的最大值 D．x1，x2，…，xn 的中位数 18（2017 新课标Ⅰ文数）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切 圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此 点取自黑色部分的概率是 1A． 4 π 1 ．BC． 8 2 π D． 4 19（2017 新课标Ⅰ理数）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切 圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此 点取自黑色部分的概率是 8 1 A． 4 π B． 8 1 C． 2 π D． 4 20（2017 天津文）有 5 支彩笔（除颜色外无差别）， 颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫 .从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 3 2 1 （A） （B） （C） （D） 5 5 5 5 21（2017 山东文）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位： 4 件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则 x 和 y 的值分别为 （A）3，5 （B）5，5 （C）3，7 （D）5，7 23（2017 山东理）为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的 关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关 10 10 ˆ 关系，设其回归直线方程为 yˆ bx aˆ ．已知 x 225 ， y 1600 ，b 4 ．该班某 i1 i1 i i 学生的脚长为 24，据此估计其身高为 （A）160 （B）163 （C）166 （D） 170 24（2017 山东理）从分别标有1 ， 2 ， ， 9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽 取 1 张．则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A） 5 18 （B） 4 9 （C） 5 9 7 （D） 9 25（2017 江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品， 量分别为200，400，300， 件进行检验，现100 件．为检验产品的质量， 用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件． 【答案】18 9 26（2017 江苏）记函数 f (x) 6 x x2 的定义域为 D ．在区间 [4,5] 上随机取一个数 x ， 则 x D 的概率是 ▲ ． （本小题满分 10 分） 27（2017 江苏） 已知一个口袋中有 m 个白球，n 个黑球( m, n N *,n ≥ 2 )，这些球除颜色外全部相同．现 将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1, 2, 3, , m n 的抽屉内，其 中第 k 次取出的球放入编号为 k 的抽屉 (k 1, 2, 3, , m n) ． 1 2 3 m n （1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p ； （2）随机变量 X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数， E ( X ) 是 X 的数学期 望，证明： E ( X ) n(m n)(n 1) ． 10 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容