两自由度单边刚性约束碰撞系统的混沌演化

・机械研究与应用・２０１２年第４期（总第１２０期）　研究与分析　两自由度单边刚性约束碰撞系统的混沌演化　苏芳，王晨升　７３００７０）　（兰州交通大学机电工程学院，甘肃兰州摘要：建立了一类两自由度单边刚性约束碰撞系统的力学模型，通过理论分析和数值仿真结合，推导了系统周期运　动的解析解和Ｐｇｉｎｅａｒ６映射，分析了系统周期运动的稳定性及系统在适当参数下发生分岔与混沌的现象，为　实际动力学系统优化提供了理论依据。　关键词：碰撞振动；Ｐｏｉｎｃａｒ６映射；分岔；混沌　中图分类号：０３２２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７－４４１４（２０１２）０４－００６９－０３　Ｃｈａｏｓ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｗｏ—ｄｅｇｒｅｅ—ｏｆ—ｆｒｅｅｄｏｍ　ｉｍｐａｃｔ　ｓｙｓｔｅｍ、】．ｒｉｔｈ　ｕｎｉｌａｔｅｒａｌ　ｒｉｇｉｄ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ　Ｓｕ　Ｆａｎｇ，Ｗａｎｇ　Ｃｈｅｎ—ｓｈｅｎｇ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ａｎｄ　ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｌａａｚｈｏｕ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ　Ｇａｎｓｕ　７３００７０，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｋｉｎｄ　ｏｆ　ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｔｗｏ－ｄｅｇｒｅｅ－ｏｆ－ｆｒｅｅｄｏｍ　ｉｍｐａｃｔ　ｓｙｓｔｅｍ　ｗｉｔｈ　ｕｎｉｌａｔｅｒａｌ　ｒｉｇｉｄ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ　ｉｓ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．Ｔｈｒｏｕｇｈ　ａ　ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｐｏｉｎｅａｒ６　ｍａｐ—　ｐｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｍｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ａｒｅ　ｄｅｄｕｃｅｄ，ｔｈｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｍｏｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ　ｏｆ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｃｈａ－　ＯＳ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｅｒ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ａｒｅ　ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｉｔ　ｐｒｏｖｉｄｅｓ　ａ　ｔｈｅｏｒｙ　ｂａｓｉｓ　ｆｏｒ　ｐｒａｃｔｉｃａｌ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｖｉｂｒｏ－ｉｍｐａｃｔ；Ｐｏｉｎｅａｒ￣ｍａｐ；ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ；ｃｈａｏｓ　１　引　言　采用的模型为两自由度的碰撞振动系统，这类模　２力学模型及周期运动　图１为两自由度单边刚性约束系统的力学模型，　型的应用非常广泛，如振动筛等。两自由度碰撞振动　系统中的两个振子因耦合而求解比较困难。具有耦　合特征的碰撞振动系统参数比较多，且由于耦合的存　在，系统周期运动会发生复杂动力学行为，从而产生　分岔混沌现象，因此对此类系统的动力学行为进行更　全面的了解和研究具有重要的理论和实际意义。　Ｃ．Ｂｕｄｄ　ａｎｄ　Ｆ．Ｄｕｘ…研究了单自由度弹簧振　子在简谐力作用下的碰撞振动模型，证明了当碰撞恢　复系数小于１时，振子的周期运动不存在Ｈｏｐｆ分岔。　质量为　和　：的质块分别由刚度为Ｋ　、　和　的　线性弹簧和阻尼系数为Ｃ　Ｃ：和Ｃ，的线性阻尼器连　接，两质块只作水平运动，并分别受到简谐激振力Ｐ　＝ｓｉｎ（Ｑ　＋ｒ）（ｉ＝１，２）的作用。当质块Ｍ１的位移　＝Ｂ时，质块　将于刚性约束发生碰撞，改变速度　方向后，又以新的初值运动，直至然后再与约束碰撞，　如此反复。假设力学模型中的阻尼是Ｒａｙｌｅｉｇｈ型比　例阻尼，碰撞过程由碰撞恢复系数为Ｒ。　李万祥等　通过对单自由度弹性约束碰撞系统的计　算机仿真，揭示了系统不仅存在权式分岔、倍周期分　岔，而且还存在Ｈｏｐｆ分岔，并且给出了发生Ｈｏｐｆ分　岔的具体系统参数以及Ｈｏｐｆ分岔与混沌的形成过　程。谢建华、乐源等分别对对周期运动在擦切碰撞前　后的稳定性问题Ｌ３　和一定参数条件下系统存在的周　期倍化分岔和Ｈｏｐｆ分岔以及不变圈表示的概周期响　应　等作了研究。徐慧东等　研究了一类两自由度　分段线性非光滑系统周期运动的分岔现象和？昆沌行　为。　图１系统的力学模型　在任意连续两次碰撞之间（Ｘ　＜Ｂ），系统的运动　微分方程为：　笔者建立了一类两自由度单边刚性约束系统的　力学模型，推导了系统周期运动的解析解和Ｐｏｉｎｃａｒ６　映射，分析了系统周期运动的稳定性及系统在适当参　数下发生分岔及通向混沌的演化路径。　收稿日期：２０ｌ２—０６—２９　二】｛　）＋【２　‘　＋一／￣ｂｃ２ｌ　＋　ｃ３　一　】　作者简介：苏芳（１９８６一），女，山西朔州人，硕士，主要从事非线性动力学方面的研究。　・６９・　研究与分析　２０１２年第４期（总第１２０期）・机械研究与应用・　点，可解出扰动运方程：　｛　：）＋【　＋　，＋　妇　－ｌ　］｛　）　＝２．．．．　互　＝∑　［ｅ一　（　ｃｏｓ∞　ｔ＋ｂ￣ｓｉｎ∞　ｔ）＋　Ｊ＝１　｛　０一厶）ｓｔｎ　ｃ　ｃ　ｔ＋．ｒ　ｃ　Ａｊｓｉｎ（ｃｏｔ＋．ｒ０＋△　）＋￣ｃｏｓ（ｏ）ｔ＋　丁０＋△．ｒ）］　（９）　其中：“・”表示对无量纲时间ｔ求导数。无量纲量如　下：　Ｍ２　Ｋ１　Ｃ１　ｍ　’　’　ｃ　Ｃ３　Ｐ２　ｂ　’　’，　。　６＿－。６。　。ＢＫ２＋　＋Ｐ：’　铲撬…ｎ’　√层　　＝—　２厕　（２）一　　用ｔ　Ｏ］表示碰撞振动系统微分方程的正则模态　矩阵，∞　和∞　为没发生碰撞时系统的固有频率。　将【　】作为方程（１）的变换矩阵，进行坐标变　换：　Ｘ＝　（３）　方程可以解耦为：　＋ＣＮ　＋ＫｌＮ　＝Ｆｓｉｎ（ｔｏｔ＋丁）　（４）　其中：Ｘ＝（　１，　２）　，亭＝（　，亭　）　，，为２ｘ２单　位矩阵，ＣＮ和　是２　ｘ２阶对角矩阵，Ｋ　＝Ａ＝ｄｉａｇ　［∞　，∞　］，Ｃ　＝２　＝ｄｉａｇ［２￣　，２　］，Ｆ＝（厂　，厂２）　＝　Ｐ，Ｐ＝（　。　）　。　则通过正则模态叠加法可以得到式（１）的通解：　ｉ＝∑　［ｅ一呼（　ｃｏｓ∞　ｔ＋　ｓｉｎ　ｄ，￡）＋　ｓｉｎ（∞ｔ＋．ｒ）＋　ｃｏｓ（ｃｃＪｔ＋７．）］　（５）　ｉ＝∑　｛ｅ一　［（　∞ｄ『一　）ｃｏｓ∞　ｔ一　（　＋　∞　）ｓｉｎ∞　ｔ］）＋Ａｊｃｏｃｏｓ（　￡＋　）一￣ｏｓｉｎ（　￡＋　）｝（ｉ＝１，２）　（６）　其中：　＝　，∞　＝√　；一　２，（　＝１，２，３，４），　和　为振幅常数（　＝１，２）：　两　（７）　一两　（８）　３碰撞振动系统的Ｐｏｉｎｃａｒ６映射及稳定性分析　通过选择截面：　＝｛（　ｌ，　１，　２，　２，０）Ｅ　Ｒ　ｘＳｘ　Ｉ　ｌ＝６｝，其中０＝ｏ）ｔｍｏｄ２，ｒｒ。贝０　Ｘ　＝（　１ｏ，　１＋，　２ｏ，互２ｏ，　）　表示系统在Ｐｏｉｎｃａｒ６截面上周期ｎ一１运动不动　・７０・　（￡）＝∑　｛ｅ一　［（６，　一￣）ｅｏｓ　ｄ，ｔ—　Ｊ　１　（　６　＋ａｆｒｏ　ｄｊ）ｓｉｎ∞　ｔ）］＋　Ａｊｏ）ｃｏｓ（ｃｏｔ＋丁ｏ＋△．ｒ）一　￣ｏｓｉｎ（ｃｏｔ＋丁０＋△．ｒ）｝，（ｉ＝ｌ，２）　（１Ｏ）　对于受扰运动，质块　。与刚性约束Ａ碰撞后瞬　时时间ｔ＝０，两者再次碰撞前瞬时ｔ＝ｔ。＝（２叮Ｔ＋　Ａ０）／ｗ，△　＝△丁　一△　＝∞（Ａｔ１＋Ａｔ２）。则连续两次碰　撞扰动边界条件可为：　（０）＝ｂ，　ｌ（ｔ　）＝ｂ，　（０）＝　＋＋　ｌ＋，　（ｔ　）＝　．．＋　ｌ，　ｌ（￡　）＝　ｌ＋＋　。＋　２（０）＝　２０＋Ａｘ２ｏ，　２（ｔ　）＝　２０＋△　２０　，　２（０）＝　２０＋△　２０，　２（ｔ。）＝　２０＋△　２０　ｌ＋＋△　ｌ＋　＝一Ｒ（ｘ，一＋△互　一　）　（１１）　将上面的边界条件代人到扰动解式（１Ｏ），可以　解出系统周期运动Ｐｏｉｎｃａｒ６映射在不动点处的线性　化矩阵。通过分析如果线性化矩阵的特征值穿越单　位圆的情况分析系统分岔和混沌演化过程。　４碰撞振动系统的分岔及混沌　８　—０．８　Ｏ　Ｏ．８　１．２　－０．４　０　０．４　０．８　Ｘ，　Ｉ　（ａ）∞＝０．￣￣４４Ｂ　（ｃ）∞：０．０７８８　｛　－０．８　０　０．８　Ｉ．２　（ｄ）∞：０．６７７０　图２　Ｐｏｉｎｅａｒ６截面　取一组参数：　＝１．２，　＝０．０，　＝２．０，　ｋ３＝２．　０　。＝０．０，Ｒ＝０．８，ｂ＝１．５。将系统激励频率　作为　系统周期运动的分岔参数。当∞较小时，系统具有　稳定的ｑ＝１／１周期运动，在Ｐｏｉｎｃａｒ６截面上产生１　个ｑ＝１／１吸引的不变圈，如图２（ａ）；随着激励频率　的　的增大，系统ｑ＝１／１不变圈开始膨胀并变得不　光滑，如图２（ｂ）；随着参数∞继续增大，系统从周期　・杌械研究与应用・２０１２年第４期（总第１２０期）　研究与分析　ｇ＝１／１运动逐渐演变为ｑ＝３／３的不动点，如图２　开始膨胀变形，如图３（ｂ）；参数ｃｃ，继续增大，系统从　（Ｃ）；参数∞继续增加，ｑ＝３／３不动点逐渐从焦点逐　周期ｑ＝１／１运动逐渐演变为ｑ＝４／４的运动，如图３　渐演变为Ｈｏｐｆ圈，如图２（ｄ）；参数∞继续增加，系统　（Ｃ）；参数　继续增加，ｑ＝４／４经锁相图３（ｄ）逐渐进　经局部环面倍化进人完全混沌状态，如图２（ｅ）。　人混沌状态，如图３（ｅ）。　２　２ｌ、，　　ｊ５　总　结　ｏ．　｛　本文用解析解求出一类两自由度单边刚性约束　Ｊ　碰撞系统的周期运动及Ｐｏｉｎｃａｒ６映射，分析了系统周　．２ｋ　．　期运动的稳定性及系统在适当参数下发生分岔及演　（ａ）ｍ：０　６５８９　（ｂ）ｃ０＝０．６６３１　（Ｃ）∞：０　６６３９ｌ５　变为混沌的过程。　参考文献：　Ｃ．Ｂｕｄｄ　ａｎｄ　Ｆ．Ｄｕｘ．Ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔ　ｏｆｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ａｎｄ　ｃｌｅａｒａｎｃｅ　ｖｉｂｒａ・　ｒ　ｒ　ｔｉｏｎｓ　ｏｎ　ｓｉｎｇｌｅ－ｄｅｇｒｅｅ－ｏｆ－ｆｒｅｅｄｏｍ　ｉｍｐａｃｔ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　（ｄ】∞＝０．６６４０５　（０）∞＝０　６６４０６　ｓｏｕｎｄ　ａｎｄ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，１９９５，１８４（３）：４７５—５０２．　图３　Ｐｏｉｎｃａｒ６截面　李万祥，牛卫中．一类含间隙系统的分岔与混沌的形成过程　［Ｊ］．振动与冲击，２００５，２４（３）：４７－４９．　选取两自由度碰撞系统的一组无量纲系统参数：　Ｘｉｃ　Ｊｉａｎｈｕａ．Ｃｏｄｉｍｃｎｓｉｏｎ　ｔｗｏ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｈｏｐｆ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｎ　／１，　＝１．６，　＝Ｏ．０，ｂ＝１．５，　＝２．０，／１，Ｉ【３＝２．０　¨　］０＝０．０，］，　　１Ｊ　ｉｍｐａｃ１Ｊｔ　ｉｎｇ　ｖｉｂｒ］ａ　ｔｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ　ｍａｔｈｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　ｍｅｃ１ｌ二．Ｊｈａｎ　ｉｃｓ，］Ｊ　　Ｒ＝Ｏ．８。将间隙　作为系统周期运动的分岔参数，　１９９６（１７）：６５－７５．　当∞较小时，系统具有稳定的ｑ：１／１周期运动，在　乐源，谢建华，丁旺才．一类两自由度碰撞振动系统的Ｈｏｐｆ　Ｐｏｉｎｃａｒ６截面上产生１个ｑ＝１／１稳定的不变圈，如图　分岔和混沌［Ｊ］．动力学与控制学报，２００４，２（３）：３６－４１．　徐慧东，谢建华．一类两自由度分段线性非光滑系统的分岔与　３（ａ）；随着激励频率的∞的增大，系统ｑ＝１／１不变圈　混沌［Ｊ］．振动工程学报，２００８，２１（３）：２７９—２８５．　（上接第６８页）　４　总　结　一Ｏ　９５　一０．９　一Ｏ．９　本文建立了一类三自由度含间隙系统的力学模　—１　１　—－１　－１．０５　型，用数值模拟分析了系统在一定参数下的周期倍化　——１．１　１　１　－１　Ｉ　１．２　——１．２　１　１　５　分岔，叉式分岔及混沌的演化路径。　１．４　１．５　１　６　ｌ　７　１．８　１　５　１　５５　１　６　１　６５　（ａ）　（ｂ）　（ｃ）　参考文献：　ｌｖａｎｏｖ　ＡＰ．Ｉｍｐａｃｔ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｌｉｎｅａｒ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，１９９４，　１７８（３）：３６１－３７８．　Ｓｕｎ　Ｚｈｅｎｇｃｅ，Ｘｕ　Ｊｉｎａｘｕｅ　ａｎｄ　Ｚｈｏｕ　Ｔ０ｎｇ．Ａｎａｌｙｓｉｓｏｎ　ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ・　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ａｈｉｇｈ—ｓｐｅｅｄｒｏｔｏｒ　ｓｙｓｔｅｍ　ｗｉｔｈ　ｒｕｂ—Ｉｍｐａｃｔ［Ｊ］．　Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ａｎｄ　ｍａｃｈｉｎｅ　ｔｈｅｏｒｙ．２００２，３７（７）：６５９－６７２．　２　Ｘｉｅ　Ｊｉａｎｈｕａ．Ｃｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎ　ｔｗｏ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｈｏｐｆ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　１　３　０　１　ａｎｉｍｐａｃｔｉｎｇ　ｖｉｂｒａｔｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｄｅ　ｍａｔｈｍａｔｉｃｓ　ｎａｄ　ｍｅｃｈａｎ－　—１　—１　ｉｃｓ，１９９６（１７）：６５－７５．　—２　－—３　３　乐源，谢建华，丁旺才．一类两自由度碰撞振动系统的Ｈｏｐｆ分　Ｏ　２　４　６　８　（ｈ）　岔和混沌［Ｊ］．动力学与控制学报，２００４，２（３）：３６—４１．　周伟，褚衍东，俞建宁，等．一类两自由度含间隙系统的Ｈｏｐｆ　图４　Ｐｏｉｎｃａｒ￣截图　分岔［Ｊ］．动力学与控制学报，２００８，６（３）：２３５—２３８．　潘利平．一类两自由度碰撞振动系统的分岔与混沌演化［Ｊ］．机　械研究与应用。２０１０（６）：１２一ｌ５．　・７ｌ・　１Ｊ