专题一、含绝对值不等式的解法(含答案)

第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式

一、知识点回忆

1、绝对值的意义：〔其几何意义是数轴的点A〔a〕离开原点的距离OAa〕

a,a0a0,a0

a,a02、含有绝对值不等式的解法：〔解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号〕 〔1〕定义法；

〔2〕零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； 〔3〕平方法：通常适用于两端均为非负实数时〔比方fxgx〕；

〔4〕图象法或数形结合法； 〔5〕不等式同解变形原理：即

xaa0axa xaa0xa或xa

axbcc0caxbc axbcc0axbc或axbc fxgxgxfxgx fxgxfxgx或fxgx afxbba0afxb或bfxa

3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。 4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。〔见P8〕

5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。 6、解一元二次不等式的步骤：

〔1〕将不等式化为标准形式ax2bxc00或ax2bxc00 (2)解方程ax2bxc0

(3)据二次函数yax2bxc的图象写出二次不等式的解集。

一、 根本解法与思想

解含绝对值的不等式的根本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

〔一〕、公式法：即利用xa与xa的解集求解。 主要知识：

1、绝对值的几何意义：x是指数轴上点x到原点的距离；x1x2是指数轴上x1，x2两点间的距离.。

2、xa与xa型的不等式的解法。

当a0时，不等式x的解集是xxa,或xa

不等式xa的解集是xaxa;

当a0时，不等式xa的解集是xxR

不等式xa的解集是;

3．axbc与axbc型的不等式的解法。

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.

把 axb 看作一个整体时，可化为xa与xa型的不等式来求解。

不等式axbc的解集是xcaxbc;

当c0时，不等式axbc的解集是xxR

不等式abxc的解集是;

例1 解不等式x23

当c0时，不等式axbc的解集是xaxbc,或axbc

分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“x2〞 看着一个整体。答案为x1x5。(解略) 〔3〕2x35 (2) x29x3

2(1)解：原不等式等价于23x0，所以不等式解集为xx

3x290x290(2)解：〔1〕法一：原不等式2①或② 2x9x39xx3由①解得x3或3x4，由②解得2x3 ∴原不等式的解集是x2x4或x3

x3或x2法二：原等式等价于(x3)x29x3

3x4x3或2x4

∴原不等式的解集是x2x4或x3

3x3)，由x29x3解得非曲直法三：设y1x29,y2x（x14,x23,x32，在同一坐标系下作出它们的图象，由图得使y1y2的x的范围是

x3或3x4，

y ∴原不等式的解集是x2x4或x3 9 3 评析：数形结合策略运用要解出两函数图象的交点。 o 3 -3

a(a0),〔二〕、定义法:即利用a0(a0),去掉绝对值再解。

a(a0).x 例2。解不等式

xx。 x2x2分析:由绝对值的意义知，aaa≥0，aaa≤0。

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x＜0x(x+2)＜0-2＜x＜0。 x2练习：23x23x

解:原不等式等价于

(1)解：原不等式等价于23x0，所以不等式解集为xx

〔三〕、平方法:解f(x)g(x)型不等式。 例3、解不等式x12x3。

2 3解:原不等式(x1)2(2x3)2(2x3)2(x1)20

(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0(3x-4)(x-2)<0 4x2。 3说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式x1x25。

分析:由x10，x20，得x1和x2。2和1把实数集合分成三个区间，即x2，2x1，x1，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。

x2解:当x＜-2时，得，

(x1)(x2)52x1, 当-2≤x≤1时，得，

(x1)(x2)5解得：3x2 解得：2x1

x1,当x1时，得 解得：1x2

(x1)(x2)5.综上，原不等式的解集为x3x2。 说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;

(2)这种解法又叫“零点分区间法〞，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。

三、几何法：即转化为几何知识求解。

例5 对任何实数x，假设不等式x1x2k恒成立，那么实数k的取值范围为 ( )

(A)k<3

(B)k<-3

(C)k≤3

(D)

k≤-3

分析:设yx1x2，那么原式对任意实数x恒成立的充要条件是kymin，于是题转化为求y的最小值。

x-102实用文档.

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解:x1、x2的几何意义分别为数轴上点x到-1和2的距离x1-x2的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，应选〔B〕。

〔3〕分析：关键是去掉绝对值

方法1：零点分段讨论法〔利用绝对值的代数定义〕 ①当x1时，x30,x10

∴(x3)(x1)1 ∴ 4<1 x ②当1x3时

∴(x3)(x1)1x③当x3时

(x3)(x1)1-4<1xR ∴{x|x3}

11，∴{x|x3} 221综上，原不等式的解集为{x|x} 2也可以这样写： 解：原不等式等价于

x11x3①或②

(x3)(x1)1(x3)(x1)1x3或 ③，

(x3)(x1)1解①的解集为φ，②的解集为{x|∴原不等式的解集为{x|x>方法2：数形结合

从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点 1∴原不等式的解集为{x|x>

1} 2变式：〔1〕假设x2x1a恒成立，求实数a的取值范围。

解：由几何意义可知，x2x1的最小值为1，所以实数a的取值范围为,1。 〔2〕数轴上有三个点A、B、C，坐标分别为-1，2，5，在数轴上找一点M，使它到A、B、C三点的距离之和最小。 解：设M〔x，0〕

那么它到A、B、C三点的距离之和fxx1x2x5实用文档.

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3x6,x5x4,2x5即fx

x8,1x23x6,x1由图象可得：当x2时fxmin6

四、典型题型

1、解关于x的不等式x3x810

2解：原不等式等价于10x23x810，

x23x810即2x3x810x1或x2 6x3 ∴ 原不等式的解集为(6,2)(1,3)

12 2、解关于x的不等式

2x32x30 解：原不等式等价于12x323、解关于x的不等式2x1x2

3x2 57x44解：原不等式可化为(2x1)2(x2)2 ∴ (2x1)2(x2)20 即 (x3)(3x1)0

1 解得：x3

31 ∴ 原不等式的解集为(,3)

34、解关于x的不等式2x12m1(mR) 解：⑴ 当2m10时，即m1，因2x10，故原不等式的解集是空21，原不等式等价于2集。

⑵ 当2m10时，即m(2m1)2x12m1

解得：1mxm实用文档.

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11 综上，当m时，原不等式解集为空集;当m时，不等式解集为

22x1mxm

5、解关于x的不等式2x1xx31

x3解：当x3时，得(2x1)x(x3)1，无解

11313x 当3x，得，解得：x 2242(2x1)xx31111x 当x时，得，解得： x2222x1xx3131 综上所述，原不等式的解集为(，)

426、解关于x的不等式x1x25 〔答案：(,3][2,)〕 解：

五、稳固练习

1、设函数f(x)2x1x3,则f(2)＝ ;假设f(x)2，那么x的取值范围

是 .

2、aR，假设关于x的方程x2xa1a0有实根，那么a的取值范围 4是 ．

x11的实数解为 ． 3、不等式

x24、解以下不等式

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⑴

4x32x1； ⑵ |x2||x1|； ⑶ |2x1||x2|4；

2⑷ 4|2x3|7 ； ⑸ x142； ⑹ xaa〔aR〕 5、假设不等式ax26的解集为1,2，那么实数a等于 〔 〕

A. 8 B. 2 C. 4 D. 8 6、假设xR，那么1x1x0的解集是〔 〕

A.x0x1B.{xx0且x1}C.x1x1 D.{xx1且x1} 7、1对任意实数x，|x1||x2|a恒成立，那么a的取值范围是 ；

2对任意实数x，|x1||x3|a恒成立，那么a的取值范围

是 ；

3假设关于x的不等式|x4||x3|a的解集不是空集，那么a的取值范围是 ；

8、不等式x103x的解集为〔 〕

A. x|2x10 B. D.2x|2x5 C. x|2x5

x|10x5

9、解不等式：x12x2

x2x2xx210、方程2的解集为 ，不等式的解集

x3xx3x2x2x是 ；

12、不等式x(12x)0的解集是〔 〕

111A.(,) B.(,0)(0,) C.(,)

2221D. (0,)

211、不等式352x9的解集是

7, B. 1,4 C.2,14,7

D.2,14,7

12、 不等式x2a(a0)的解集为xR|1xc，求a2c的值

A.,213、解关于x的不等式：①解关于x的不等式mx13；②2x31a(aR) 14、不等式1|x1|3的解集为〔 〕.

A.(0,2) B.(2,0)(2,4) C. (4,0) D. (4,2)15、 设集合Axx22,xR，Byyx,1x2，那么CRAB等于

( )

A. R B.xxR,x0 C. 0

D.

16、不等式2x1x1的解集是 ．

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2(0,2)

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17、设全集UR，解关于x的不等式： x1a10xR

〔参考答案〕

1、 6 ；  ； 2、 [0,4] 3、(,2)(2,)

321114、⑴ xx或x2 ⑵ xx ⑶ xx或x1

322⑷ x2x或⑹ 当a0时，x127x5 ⑸ x5x1或3x7 22ax2a；当a0时，不等式的解集为

5、C 6、D 7、⑴ a3 ； ⑵ a4 ； ⑶ a7 ； 8、C 9、xxxx2或x0

15a或x 10、x3x2或x0；2211、D 12、 15

2442x；当m0时，x mmmmaa② 当a10，即a1时，不等式的解集为xx1；

22 当a10，即a1时，不等式的解集为； 14、D 15、B 16、(0，2)

17、当1a0，即a1时，不等式的解集为xxa或x2a；

当1a0，即a1时，不等式的解集为xx1； 当1a0，即a1时，不等式的解集为R；

13、① 当m0时，xR；当m0时，本文档局部内容来源于网络，如有内容侵权请告知删除，感谢您的配合！

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