行列式初步1-高中数学专题复习

知识精要

1、二阶行列式概念：形如

a11a12的式子称为二阶行列式；

a21a22数学规定

a11a12a21a22a11a22a12a21；

（1）只有两行两列；

（2）右边的式子称为行列式；左边的式子称为行列式的展开式； （3）行列式的展开式的结果称为行列式的值； （4）aij(i,j1,2)称为行列式的元素；

（5）展开式的方法称为对角线法则；

（6）右边的代数式也可视为左边二阶行列式按第一行展开的展开式； 2、二阶行列式与二元一次方程组的解的关系： 设二元一次方程组（*）a1xb1yc1

a2xb2yc2（其中x,y是未知数，a1,a2,b1,b2是未知数的系数且不全为零，c1,c2是常数项．） 用加减消元法解方程组（*）:

c1b2c2b1xa1b2a2b1当a1b2a2b10时，方程组（*）有唯一解：，

ya1c2a2c1a1b2a2b1引入记号

a1a2

b1b2表示算式a1b2a2b1，即

a1a2

b1b2a1b2a2b1．

从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等． 记Da1a2

b1b2，Dxc1c2

b1b2，Dya1a2

c1c2，

①则当Da1a2

b1b2=a1b2a2b10时，方程组（*）有唯一解，

x可用二阶行列式表示为yDxD． DyD②当D=0时,DxDy0 无穷组解； ③当D=0时,Dx0,orDy0 无解。

a1系数行列式Da2

3、三阶行列式

b1也为二元一次方程组解的判别式。 b2（1）三阶行列式的展开方法： ①对角线方式展开

②按某一行(或列)展开法

a11a21a31=a11a12a22a32a13a23 =a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31 a33a22a32a23a21-a12a33a31a22a32a22a32

a23a21+a13a33a31a22a32

记 M11a23a3311 ，A11(1)M11；M12a21a31

a23a33 ， A12(1)12M12；

M13a21a31

13 ， A13(1)M13 。

称M1j为元素a1j的余子式，即将元素a1j所在的第一行、第j列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称A1j为元素a1j的代数余子式，

A1j(1)1jM1j（j1,2,3)。

a11则三阶行列式就可以写成D=a21a12a22a32a13a23 =a11A11a12A12a13A13,

a33a31这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。上式称为三阶行列式按第一行展开的展开式。类似地，若将D按别的行或列的元素整理，同样可得行列式按任一行(列)展开式。

（2）三阶行列式的性质

① 行、列依次对调,行列式的值不变,即

② 两行(或两列)对调,行列式的值变号,例如

③ 某行(或列)所有元素乘以数k,所得行列式的值等于原行列式值的k倍,例如

④ 某两行(或两列)的元素对应成比例,行列式的值为零,例如

⑤ 某行(或列)的元素都是二项式,该行列式可分解为两个行列式的和,例如

⑥ 某行(或列)的所有元素乘以同一个数,加到另行(或列)的对应元素上,行列式的值不变,例如

性质：如果将三阶行列式的某一行（或一列）的元素与另一行（或一列）的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零。

4、用三阶行列式求三角形的面积：若ABC三个顶点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、

(x3,y3)，则SABCx11x22x3y11y21 y31x1y11y210 y31A、B、C三点共线的充分必要条件为x2x35、三元一次方程组的解法

a1xb1yc1zd1设三元一次方程组 (﹡)a2xb2yc2zd2，其中x,y,z是未知数，

axbyczd3333ai、bi、ci、(i1,2,3)是未知数的系数，且不全为零，di(i1,2,3)是常数项。

下面用加减消元法解方程组(﹡)：

a1我们把方程组(﹡)的系数行列式记为Da2b1b2b3c1c2，用D的元素a1、a2、a3的代数余子c3a3式A1、A2、A3依次乘以方程组(﹡)的各方程，得

a1A1xb1A1yc1A1zd1A1

a2A2xb2A2yc2A2zd2A2， a3A3xb3A3yc3A3zd3A3

将这三个式子相加，得：

(a1A1xa2A2a3A3)x(b1A1b2A2b3A3)y(c1A1c2A2c3A3)zd1A1d2A2d3A3①

其中①式中x的系数恰为(﹡)的系数行列式D．

由于y与z的系数分别是D的第一列元素的代数余子式的乘积之和，因此y与z的系数①都为零．

d1①式的常数项可表示为 Dxd2b1b2b3c1c2 c3d3于是①式可化简为D٠x=Dx。

类似地，用D的元素b1、b2、b3的代数余子式B1、B2、B3依次乘以方程组（*）的各方程，可推得D٠y=Dy；用D的元素c1、c2、c3的代数余子式C1、C2、C3依次乘以方程组（*）的各方程，可推D٠z=Dz ，其中

a1Dya2a3d1d2d3c1a1b1b2b3d1a2 d3c2 Dza2c3a3DxDx由方程组DyDy

DzDz可见， 对于三元一次方程组（*），其系数行列式为D。

x（i）当D0时，方程组（*）有唯一解yzxyz1例如，方程组xyz3 ___无解___

xyz5DxDDyDDzD

（ii）当D=0时，方程组（*）无解，或者有无穷多解，

xyz1xyz1而方程组3x3y3z3，和x2yz3___有无穷多解__ 5x5y5z52x3y2z4 热身练习

1．展开并化简行列式：

cos22sin23sin22cos23__________

2 22.下列各式可用行列式表示为： (1)mnxy____________

mx yn(2)b4ac____________

2b2c2ab

3.计算行列式

652210023b1b2b3c1_____40

a14. 行列式a2a3c2中，元素b1的余子式是______________.a3c3元素b1的代数余子式是______________.a2c2c3a2a3

c2c3

a1xb1yc1(其中a1，a2，b1，b2不全为0)axbyc225. 二元一次方程组2无解的充要条件是

（ B ）

D0且Dx,Dy中至少有一个不为0A. D0 B.

C.

DDyDx0 D. D0

6. 解不等式

4x2x541的解集为__________x|x2或x0

精解名题

例1.计算：

becafdcababfdede111c f解：原式(bfce)(afcd)(aebd)bfaecdbdafce0

be练习：

cfadcfabde

例2.用行列式解下列方程组： (1)11x2y502lgy5lgx10 (2) 

2x7y2403lgx4lgy511x2y5

2x7y24解：（1）11252115，，D830Dx83Dy249

37247324DyDx3 x1，yDD2lgy5lgx10（2）

3lgx4lgy5换元lgxu,lgyv，D523414，Du125114，Dv28 5435uDuD111，vv2，得x,y DD10100xyz1例3. 关于x,y,z的方程组xym2zm有唯一解，求m满足的条件，并求出唯一解。

xz2m

x14 例4. 若函数f(x)m1m的最小值是非负数，求符合条件的整数m值的集合。

21x

axyz4例5. 解关于x、y、z的方程组xbyz3(a、bR)

x2byz4a解：D11b141b1a411b(1a)，Dx3434b2ab1

12b1aDz11b112b，Dy1311a，

14142b112b112bxb(1a)1（1）当b0且a1时，有惟一解 ybz4b2ab1b(1a)（2）当b0时，D0,Dx0，原方程无解

xt1（3）当a1,b时，DDxDyDz0，原方程有无穷解y2(tR)

2z2t（4）当a1,b

1时，D0,Dx0，原方程组无解 2 例6. 在ABC中，A、b、c，已知a23,c2，且 B、C所对的边分别为a、sinCsinB00b2c0，求ABC的面积。 cosA01

备选例题

x11例1. 已知函数f(x)1x1在区间[1,2]上是单调函数，求取数a的实质范围

a11解：f(x)x(a1)xa，对称轴方程为x2a1 2f(x)在区间[1,2]上单调，

a1a11或2 22a1或a3

a11a12a1na21a22a2nA2*aaan(n4,nN)个正数排成一个n行n列的矩阵n1n2nn， 例2.

其中aik(1in,1kn)表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数列每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a238,a3420（1）求a11，

；

aika11（2）计算行列式（3）设

a12a22a21和aimajmaikajk；

。

Ana1na2(n1)a3(n2)an1;当n是3的倍数时，Ann能被21整除解：（1）由

a3420得a2410.由a238,得第二行的公差d2,a214,a112.；

a214,d2,得a2k2k2,aika2k2i1(k1)2i1a11（2）（3）

a12a22a210,aimajmaikajk0

，

当

An(n1)n2(n1)2n22n3(2n1)时，再用数学归纳法证明

n3m,Ann3(8m1) 方法提炼

1.正确理解行列式的相关概念；

2.掌握方程组的行列式判别式D,Dx,Dy,Dz等的求法和方程组解的分类情况； 巩固练习 1．计算：

cos275ocos152osin275osin152o____________.

2x4ykz0x02．已知方程组xkyz0的解为y0,则实数k的取值范围是

xy3z0z0_______________.

3. 已知三元一次方程组

xymz1xmyzmxyz3有唯一解，则m的取值范围是_________m1

asinAbc4．三角形ABC,边a,b,c所对的角是A,B,C,求行列式bsinBba的值。 csinCab 解：0 自我测试

132a1. a1是行列式3a10成立的 （ D ）

113A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.不充分不必要条件

2. 设二元一次方程组a1xb1yc15ax2b1y3c1恰有一组解(,)，则方程组1的

a2xb2yc25a2x2b2y3c2 解(x,y)是 （ A ）

33(A)(,) (B)(,) (C)(3,) (D) (15,6)

5252a1xa2ya3za43． 已知数列an是首项为a1，公差d0的等差数列，则方程组a5xa6ya7za8

axayaza1011129 解的情况必为 （ C ）

(A)唯一解 (B)无解 (C)无穷多解 (D)以上均有可能

x24. 关于x的方程xa2a1b2b0,(ab0)的解是_______________.aorb 11 4． 把

a2a3b2a21b3a3b1a31b3a2b1表示成三阶行列式 ； b2解：

a1xxxx5. 不等式

x21x对于任意的xR恒成立，求实数a的取值范围

111解：12a12

6. 设a,b,c,d依次成等比数列，公比为q,

（1）求

acaxcy3的值；（2）试就q的不同取值情况，讨论方程组何时无解，bdbxdy2何时有无穷多解。

ac解：（1）=0

bdDx（2）

32cd3d2caq(3q2)Dy2ab322a3ba(23q)；

q当 当

23时，有无穷多解；

当q0时，无解。