、判断题（对打“V”错打“x”每小题2分，共20分）
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
( ( ( ( ( ( ( (
）循环群的子群是循环子群。
）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。 ）存在一个4阶的非交换群。
）素数阶的有限群 G的任一子群都是 G的不变子群。 ）无零因子环的特征不可能是 2001。 ）无零因子环的同态象无零因子。
）模97的剩余类环Z97是域。
）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
( ）域是唯一分解整环。 9.
( ）整除关系是整环 R的兀素间的一个等价关系。 10.
、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）
1•设A、B是集合，| A |= 3, | B |= 2，则共可定义 __________ 个从A到B的映射，其中 有 ______ 个单射，有 ______ 个满射，有 ______ 个双射。
2. ___________________________________________________________ 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6,则元素a2的阶为 ____________________________________ ，子群H=< a3>的 在G中的指数是 ____________________ 。
3. 设G= < a>是10阶循环群，则 G的非平凡子群的个数是 ___________________ 。
4. 在模 12 的剩余环 R= {[0], [1],……,[11] }中，[5] + [ 10]= ________________ , :5: • [10] _____________ ，方程x2= [1]的所有根为 ______________________ 。 5. 环Z6的全部零因子是 __________________________________ 。 6. 整环Z[ V-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素％ = 质不同的分解a = 得分 _______ 在Z[ V-3 ]中有两种本
评卷人 复查人 解答题（共30分）
1. 设S3是3次对称群，a= （123）€ S3.
（1） 写出H = < a>的所有元素.
（2） 计算H的所有左陪集和所有右陪集. （3） 判断H是否是S3的不变子群，并说明理由.
2. 求模18的剩余类加群（Z18,+,[0]）的所有子群及这些子群的生成元。
1
3.在整数环Z中，求由200 4, 125生成的理想 A= (2004, 125)。
四、证明题(共30 分)
1. 设G是一个阶为偶数的有限群，证明
(1) G中阶大于2的元素的个数一定为偶数; (2)
G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。
2•设 $ 是环(R, + , •, 0, 1)到环(R , + , • 0/ , 1/)的同态满射。N=Ker $ ={x|x € 0( x) =0/},证明：$是同构映射当且仅当 N={0}。
-2 -
且R
3.在整数环Z中，求由200 4, 125生成的理想 A= (2004, 125)。
3. 证明：非零整环 R只有有限个理想当且仅当-3 -
是域。
R
《近世代数》试卷2 （时间120分钟）
（共20分）
一、填空题
1. _____________________________________________________ 设G=（ a）是6阶循环群，则 G的子群有 ________________________________________________ 。
2•设A、B是集合，| A |= 2, | B |= 3，则共可定义 __________ 个从A到B的映射，其中 有 ___________ 个单射，有 ___________ 个满射，有 _______ 个双射。
3. 在模 12 的剩余环 R= {[0], [1],……,[11] }中，[10] + ： 5]= _______________ , : 10] • :5]
= _____________ ，方程x2= [1]的所有根为 ______________________ 。
4. 在 5 次对称群 S5 中，（12） （145）= ____________ , （4521 ） = _______________ , （354）的阶为 ____________ 。
5. 整环Z中的单位有 _______________________________ 。
6. 在多项式环 Z11 :x]中，（[6] x +： 2] 11 = ___________________________ 。
二、判断题（对打“错打“X”，每小题2分，共20分）
1. 2. 3.
( ( (
）若群G的每一个元满足方程 x2=e（其中e是G的单位元），则G是交换群。
）一个阶是13的群只有两个子群。
）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则 H2是G的不 ）主理想整环 R上的一兀多项式环 R[x]是主理想整环。 ）存在特征是2003的无零因子环。
）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。 ）模21的剩余类环Z21是域。
）整除关系是整环 R的兀素间的一个等价关系。 ）除环只有零理想和单位理想。
( 4.
变子群。
5. 6. 7. 8. 9. 10.
( ( ( ( ( (
三、解答题（共30分）
1. 设H = { （1） , （ 123） , （ 132）}是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪 集，问H是否是S3的不变子群？为什么？
-4 -
2. 设G是一交换群，n是一正整数，H是G中所有阶数是n的因数的元素的集合。 试问: H是否是G的子群？为什么？
-5 -
3.在整数环Z中，求由2004 , 19生成的理想 A= (2004, 19)。
四、证明题(共30分)
1. 设 li={4k|k € Z}, I 2={3k|k € Z}，试证明:
(1 ) Il,l2都是整数环Z的理想。 (2) I1A 12=(12)是Z的一个主理想。
2•设R、R都是环，f是环R到R的满同态映射， A是R的理想，试证明：A ={ a | a € R且f (a)€ A }是R的理想。
3. 证明，设S是环(R,+, • 0, 1)的子环，N是R的理想，且SA N ={ 0},则剩余 类环R/N有子环与S同构。
-6 -
《近世代数》试卷3 （时间120分钟）
、填空题（共20 分）
1. 设G=（ a）是6阶循环群，则 G的子群有 ___________________ 。
2. 设A、B是集合，| A |=| B |= 3,则共可定义 ___________ 个从A到B的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。
3. 在4次对称群S4中, (132) 的阶为
(24) (231)=
,(4321 ) r= 。
,
。
4. 整环Z中的单位有
5. 环Z6的全部零因子是
。 a2的阶为
，子群H=< a3>的
6. 设群G是24阶群， G中兀素a的阶是6,则兀素 在 G中的指数是 ____________________
、判断题（对打“/,错打“X”，每小题2分,共20分）
1.
(
）一个阶是11的群只有两个子群。
）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则 H2是G的不 ）素数阶群都是交换群。
）循环群的商群是循环群。 ）模27的剩余类环Z27是域。
）存在特征是2004的无零因子环。
）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。 ）域是主理想整环。
）域只有零理想和单位理想。
）相伴关系是整环 R的兀素间的一个等价关系。
( 2.
变子群。
3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
( ( ( ( ( ( ( (
10.
三、解答题（共30分）
1.
H ={ （1）, （ 12）}是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问 是否是S3的不变子群？为什么？
设H
-7 -
《近世代数》试卷3 （时间120分钟）
2. 求模12的剩余类加群（Z12,+,[0]）的所有子群及这些子群的生成元。
四、证明题(共30 分)
1•设 li={2k|k € Z}, I 2={3k|k € Z}，试证明: (1 ) Il,l2都是整数环Z的理想。
(2) I1A 12=(6)是Z的一个主理想。
2. 设$是群G到群H的同态满射,H1是H的子群。证明：G1= {x|x € G且$( x)€ H1} 是G的子群。
3. 项式环 设环(R,+, • 0, 1)是整环。证明：多R[x]能与它的一个真子环同构。
-8 -
《近世代数》试卷4（时间120分钟）
一、 填空题（共20分，每空2分）
1. ________________________________________________ 设A、B是集合，| A |= 2, | B |= 3，则共可定义 ______________________________________________ 个从A到B的映射，其中 有 _____ 个单射，有 _______ 个满射，有 ______ 个双射。
2•设G=（ a）是6阶循环群，则 G的子群的个数是 ____________________________ 。 3. 在剩余类环 Zi8 中，[8] + [ 12]= ___________ , : 6: • :7]= _________ 。 4. 环Z6的全部零因子是__________________________________ 。
5. 在多项式环 Zi7 :x]中，（[6] x +[ 7]） 17= ____________________________。 6. 在模7的剩余类环 Z7中，方程x2= 1的所有根是 _________________________ 。 二、 判断题（对打“V”错打“x”每小题2分，共20分）
1. ( ）交换群的子群是不变子群。
2. ( ）一个阶是11的群只有两个子群。 3. ( ）无零因子环的特征不可能是 2004。 4. ( ）有单位兀且满足消去律的半群是群。 5. ( ）模21的剩余类环Z21是域。
6. ( ）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。 7. ( ）若R是主理想整环，则一兀多项式环 R :x]是主理想整环。
8.
(
）除环只有零理想和单位理想。
9.
( ）欧氏环是唯一分解整环。 10. (
）无零因子环的同态象无零因子。 三、解答题（第
1小题15分，第2、3小题各10分，共35分） 1.
H =｛（ 1）, （ 12）是对称群S3的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，试问 是否是S3的不变子群？为什么？
2. 求模12的剩余类环Z12的所有理想。
-9 -
设H
3.在整数环Z中，求由2005 , 6生成的理想（2005, 6）。
四、证明题（第1、2小题各10分，第3小题5分，共25分）
1. 设〜是整数集Z上的模7同余关系，试证明〜是 Z上的等价关系，并求所有等价类。
2•设R、R都是环，f是环R到R的满同态映射, A是R的理想，试证明A ={ a | a€
R且f （a）€ A }是R的理想。
3.
一、 填空题（共20分，每空2分）
证明，非零整环 R只有有限个理想当且仅当
R是域。
-10 -
《近世代数》试卷 5 （时间120分钟）
1. 在对称群 S4 中，（134） （12）= ____________ , （2143） _____________________ 。 2. 在多项式环 Z11 :x］中，（［6: x +［ 2］） 11 = ______________________ 。 3•设G=（ a）是6阶循环群，则 G的非平凡子群的个数是 _____________________ 。 4. 在模6的剩余环Z6中，方程x2= 1的所有根为 ______________________ 。 5. 环Z10的所有零因子是 _______________________________ 。
6•设A、B是集合，| A |= 3, | B | = 2，则共可定义 __________ 个从A到B的映射，其中有 个单射，有 ___________ 个满射，有 ________ 个双射。 二、 判断题（对打“错打“X”，每小题2分，共20分）
1. ( ）循环群的子群是循环群。
2.
( ）若H1、H 2都是群G的子群，则 H1 U H 2也是群G的子群。 3. ( ）交换群的子群是不变子群。 4. ( ）一个阶是11的群只有两个子群。 5. ( ）模15的剩余类环Z15是域。 6. ( ）无零因子环的同态象无零因子。 7. ( ）欧氏环上的一兀多项式环是欧氏环。
8.
( ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。 9. ( ）整除关系是整环 R的兀素间的一个等价关系。
10.
(
）域是主理想整环。
三、解答题（第1小题15分，第2、3小题各10分,共35分）
1.
H =｛（ 1）, （ 13）｝是对称群S3的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，试问 是否是S3的不变子群？为什么？
2. 求模18的剩余类环Z18的所有理想。
-11 -
设H
3.在整数环Z中，求由2004 , 125生成的理想（2004, 125）。
四、证明题（第1、2小题各10分,第3小题5分，共25分）
1. 设〜是整数集Z上的模6同余关系，试证明〜是 Z上的等价关系，并求所有等价类。
2.
n）= 1,试证：H1d H 2={ e}。
设H1和H2分别是群（G, :■, e）的子群，并且| H1 |= m, |H2 | = n, m、n有限，（m,
3. 证明，设S是环（R,+, • 0, 1）的子环，N是R的理想，且SA N ={ 0},则剩余 类环
R/N有子环与S同构。
一、 填空题(每空2分，共20分)
1、 设有集合A和B, |A|=3,|B|=2,则共可定义 _____ 个从A到B的映射，其中有 ______ 个单射， ____ 个满射， _______ 个双射。
12 -
《近世代数》试卷6
2、 设G = (a)是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数为 ___________ .
3、 _____________________________________ 在 5次对称群 S5 中，(12)(135)= ___________ , (5132)的阶是 ___________________________ ,(43125)'= __________ 。
13
4、 在模13的剩余类环Z13的多项式环Z13[x]中，([7]x+[3]) = ______________ 。
2
5、 在模6的剩余类环Ze中，方程x =[1]的所有根是 _______________ . 二、 判断题(对打“/ ，错打“X”，不说明理由，每小题 2分，共20分) 1、 ()模99的剩余类环Z99是域。
2、 ()主理想整环R上的一元多项式环 R[x]是主理想整环。 3、 ()域有且仅有两个理想。
4、 ()在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。 5、 ()无零因子环的特征不可能是 93。
6、 ()无零因子环的同态象无零因子。 6、()欧氏环一定是唯一分解整环。
8 ()整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。 9、 ()循环群有且仅有一个生成元。 10、 ()循环群的子群是不变子群。
三、 解答题(第1题15分，第2, 3题各10分，共35分)
1、设H ={(1), (12)}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问
S3的不变子群？为什么？
2、设a,b是群G的两个元，ab二ba, a的阶是m , b的阶是n , m,n有限且
(m,n) =1, H =(a), K -(b)，求 H K。
13
是否是
H
3、求模12的剩余类环Z12的所有理想。
四、证明题（第1, 2题各10分，第3题5分，共25分）
1、证明：在整数环 Z中由34和93生成的理想（34,93）就是Z本身。
2、设
H是群G的子群，对 a,b • G，定义a〜b二ab，• H，证明：〜是
价关系。
3、设R1, R2都是环，’是环R1到R2的满同态映射， 01和02分别是环 N二ker二｛x|x・ R「（x）=02｝，证明：「是同构映射当且仅当 N二｛0』。
14 -
G上的一个等1和R2的零元,
R
《近世代数》试卷7
一、 判断题（对打“/ ，错打“X”，不说明理由，每小题 2分，共20分） 1、 （）一个阶是11的群只有两个子群。
2、 （）设G是群，A是G的不变子群，B是A的不变子群，则 B是G的不变子群。 3、 （）循环群的商群是循环群。 4、 （）素数阶的群都是交换群。 5、 （）存在特征是2007的无零因子环。
6、 （）有乘法单位元的环的同态象也有乘法单位元。 7、 （）满足左、右两个消去律的有单位元的半群是群。 8 （）域只有零理想和单位理想。
9、 （ ）主理想整环 R上的一元多项式环 R[x]是主理想整环。 10、 （）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。 二、 填空题（每空2分，共20分）
1、 设有集合A和B，|A|=|B|=3,则共可定义 ______ 个从A到B的映射，其中有 ________ 个单射，
_____ 个满射， _____ 个双射。
2
3
2、 设群G是12阶群，G中元素a的阶是6,则元素a的阶是 _____________ ，子群H = （a ）在G
中的指数是 ______ .
3、 整数环Z中的单位有 _______ .
4、 模6的剩余类环Z6的所有零因子是 ____________ .
13
5、 Z13是模13的剩余类环，在一元多项式环 6、 ______ 是整数环的商域.
Z13[x]中，（[3]x+[6]） = __________ .
三、 解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）
1、设H =｛（1）,（23）｝是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问 H是否是
S3的不变子群？为什么？
3、在整数环Z中，求由182和51生成的理想 A= （182,51）。
2、求模12的剩余类加群 乙2的所有子群。
15 -
四、证明题（第1, 2题各10分，第3题5分，共25分）
1、设Z是整数集，A二{3k |k • Z}, B ={2k |k • Z},证明：（1）A, B都是整数环Z的理想; （2）A「B是Z的由6生成的主理想（6 ）。
2、设G和H是两个群， f是群G到H的满同态映射， B是H的子群，试证明:
A 二{a |a • G, f （a） • B}是 G 的子群。
3、设Z是整数环，证明：多项式环 Z[x]能与它的一个真子环同构。
16 -
《近世代数》试卷8
一、 填空题（每空2分，共20分）
1
1、 4次对称群S4的阶是 _____ ，在S4中，（14）（312）= __ ,（1423） = ______ ,元素（132）的
阶是 ______ .
2、 整数加群Z是一个循环群，它有且仅有两个生成元是 __________ 和 _____ . 3、 模6的剩余类环Z6的全部零因子是 _____________ .
4、 在模 12 的剩余类环 Z12 中，[6]+[8]= ________,[8][6]= _____ . 5、 Z17是模17的剩余类环，在一元多项式环
乙7[x]中，（[6]x + [8]）17 = _________________ .
二、 判断题（对打，错打“X”，不说明理由，每小题 2分，共20分）
1、（ ）交换群的子群是不变子群。
2、（ ）若H1,H2是群G的子群，贝y H1TH2也G是的子群。 3、（ ）任意两个循环群冋构。 4、（ ）模27的剩余类环Z27是域。 5、（ ）一个阶是19的群只有两个子群。 6、（ ）欧氏环上的一兀多项式环是欧氏环。
7、（ ）在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。
& （ ）域是唯一分解环。 9、（ ）存在特征是143的无零因子环。
10、（ ）只有零理想和单位理想的环是域。
三、解答题（第1题15分，第2, 3题各10分，共35分）
1、设H -｛（1）,（123）, （132）｝是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集， 试问H 是否是S3的不变子群？为什么?
2、求模12的剩余类环Z12的所有理想。
17 -
3、设G是交换群，e是G的单位元，n是正整数，H =｛a | a • G,an =e｝，问：H是否是G 的子群？为什么？
四、证明题(第1, 2题各10分，第3题5分，共25分)
1、证明：整数环 Z中由34和15生成的理想(34，15)就是Z本身。
2、设G和H是两个群，e和e分别是G和H的单位元，f是群G到H的满同态映射,
B是H的子群，证明：A二｛a | a • G, f (a) • B｝是G的子群。
R
3、设S是环(R, •, ;0,1)的子环，N是R的理想且S「N二｛0｝，证明：剩余类环 N有子 环与S同构。
18 -
《近世代数》试卷9
一、 填空题(每空2分，共20分)
1、 设G = (a)是15阶循环群，则G的子群的个数为 __________ .
2、 整数加群Z是一个循环群，它有且仅有两个生成元是 __________ 和 _____ .
3、 4次对称群S4的阶是—，在S4中，(134)(12)= _________ ,(1324)二= ________ ,元素(1234)的阶 是 ______ .
4、 在剩余类环 Z18 中，[11]+[8]= _______ ,[5][6]= ______ .
5、 整数环Z上的一元多项式环 Z[ x]中的理想 ________ 不是一个主理想. 6、 ______ 是整数环Z的一个商域.
二、 判断题(对打“/ ，错打“X”，不说明理由，每小题 2分，共20分) 1、 ()一个阶是13的群只有两个子群。 2、 ()交换群的子群是不变子群。
3、 ()全体整数的集合对于普通减法构成一个群。 4、 ()无零因子环的特征不可能是
2007。
5、 ()群G的指数是2的子群一定是不变子群。 6、 ()模15的剩余类环Z15是域。
7、 ()在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。 & ()除环的中心是域。
9、 ()欧氏环— -定是 主理想整环。
10、 ()无零因子环的同态象无零因子。
三、 解答题(第1题15分，第2, 3题各10分，共35分)
1、设H -{(1), (13)}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问
S3的不变子群？为什么？
2、求模18的剩余类环Z18的所有理想。
19 -
是否是
H
3、在整数环Z中，求由2007和5生成的理想（2007, 5）。
四、证明题（第1, 2题各10分，第3题5分，共25分）
1、设〜是整数环 Z上的模5同余关系，试证明：〜是 Z上的一个等价关系并写出这个等价 关系所决定的等价类。
2、设Ri, R2都是环，f是环Ri到R2的满同态映射，B是R2的理想，试证明：
A 二｛a |a R, f （a） B｝是 R1 的理想。
3、证明：非零整环 R只有有限个理想当且仅当 R是域。
20 -
《近世代数》试卷10
一、 判断题（对打“/ ，错打“X”，不说明理由，每小题 2分，共20分） 1、 （）若A, B都是群G的子群，则 ATB也是G的子群。 2、 （）交换群的子群是循环群。 3、 （）循环群的同态象是循环群。 4、 （）一个阶是11的群只有两个子群。 5、 （）有单位元且满足消去律的有限半群是群。 6、 （）存在特征是1005的无零因子环。
7、 （）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。 8 （
）域是主理想整环。
9、 （）模2007的剩余类环Z2007是域。
10、 （）整除关系是整环 R的元素间的一个等价关系。 二、 填空题（每空2分，共20分）
1、 设G = （a）是10阶循环群，则G的子群的个数为 ________ . 2、 在 5 次对称群 S5 中，（13）（125） = ,（15423）' = _____ .
3、 设有集合A和B，|A|=2,|B|=3,则共可定义 ______ 个从A到B的映射，其中有 ________ 个单射， _____ 个满射， ______ 个双射。
4、 模6的剩余类环Z6的全部零因子是 ______________ .
5、 设R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想且I严R，则R |是域当且仅当I是R 的一个 . 6、 在多项式环 Zn［x］中，（［61X+I2］）11 = _______ 。 三、 解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）
1、设H -｛（1）,（123）, （132）｝是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，
是否是S3的不变子群？为什么？
3、设H是群G的子群，对a,b • G，定义a〜b = b」a • H，试问：〜是否是 G上的等 价关系？为什么?
试问H
2、求模18的剩余类环Z18的所有理想。
21 -
四、证明题（第1, 2题各10分，第3题5分，共25分）
1、证明：在整数环 Z中由26和33生成的理想（26, 33）就是Z本身。
2、设Gi, G2是两个群， f是群Gi到G2的满同态映射， B是G2的子群，试证明:
A 二｛a |a f （a） B｝是 G1 的子群。
R
3、设S是环（R, , ；0,1）的子环，N是R的理想且S . N二｛0｝，证明：剩余类环 N有子
环与S同构。
-22 -
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