第1章习题解答(韩)

习题一

12gt2（设重力加速度g是准确的），设t的测量误

1.考虑真空中自由落体运动时间t与距离h的关系

h差t1s，证明当t增加时，h的绝对误差增加，而相对误差减少。

12ˆ1g(tt)2(t1)gth22，测量值，则绝对误差为

解 设t时刻的准确值为

hˆ)1g(tt)21gt21g(2ttt2)e(h222

由此可知，当t增加时，h的绝对误差e(h)增加。

ˆ相对误差为

ˆ)e(htt2ˆer(h)22htt

ˆ)e(hhtr由此可知，当增加时，的相对误差减少。

2.在尾数位t5的机器下，

（1）设下面各近似值均具有4位有效数字：

ˆ0.14280102,yˆ0.13521102,zˆ0.23000102 x１

试指出它们的绝对误差限和相对误差限。

1103（2）设下面各近似值的绝对误差限均为2：

ˆ0.2000210,yˆ0.32000101,zˆ0.52000103 x试指出它们各有几位有效数字。

ˆ,yˆ,zˆ绝对误差限分别为 解 （1）根据有效数字的定义，x111ˆ)106,e(yˆ)102,e(zˆ)106e(x222；

1103相对误差限均为2。

（2）根据假设

11ˆ)10310410e(x22 11ˆ)103102101e(y22 11ˆ)103100103e(z22

２

ˆ,yˆ,zˆ分别有4，2，0位有效数字。 故x3.下面是计算7的迭代法

17(xk)(k1,2,)2xk

x02,xk1证明：若xk是7的具有n位有效数字的近似值，则xk1是7的具有2n位有效数字的近似值。

证明 由

xk17171721(xk)7(xk)(xk7)202xk22xkxk

知xk72.5(k1,2,)，又

12(xk7)02xk

xkxk1x(k1,2,)说明k单调递减，所以

2.5xkx12.75(k2,3,)，

xk0.2101(k1,2,)

11n|x7|10k2由假设xk是7的具有n位有效数字的近似值，则有，因此

３

xk171(xk7)21(1101n)211012n2xk22.522

上式说明xk1是7的具有2n位有效数字的近似值。

4.已知

122132263997021232213199702

请指明用哪一个公式进行计算误差较小，并说明理由。

解 最后一个计算误差较小。因为运算步骤少，避免了相近的数相减。

5.对下面表达式进行恒等变换，使计算结果更精确：

1cosx,x0,xsinx11x,x12x1x(1)1

(2)1

(3)x11x,xxx1

(4)x1xdt,x21t1

1cosxxtan,(x0,x2解 sinx1)；

11x2x2,(x12x1x2x23x11)；

４

x1xx12x,(x1)xx11xxx；

x1dtx1t2arctan(x1)arctan(x)arctantan(arctan(x1)arctan(x)) arctan1x2x1,(x1)

6.（1）设x(1,0,5,2)T，试求x1,x2,x

400A044（2）设

02，试求A1,A2,A,AF 解

x18,x230,x5;A16,A218265,A8,AF52.；

7. 证明Cauchy-Schwarz不等式（见定理5.1式错误!未找到引用源。证明 作辅助函数

F(x)(x,x)(,)x22(,)x(,) 因为二次多项式函数F(x)0且(,)0

５

。）

2所以4(,)4(,)(,)0，得证。

n8．设xR，证明向量范数x1,x2,x有如下等价关系式

xx1nx,xx2nx,x2x1nx2

证明 由定义

xmaxxixix1maxxinx1ini1i11innn

xmaxxi1inxi1n2ix2maxxni11ini2nx

x2xi1n2ixix1i1n

下面证明

x1nx2：

当n1时，结论显然成立；

假设nk时结论也成立，即

x1xikxi1k2kk2kxxkxiii1i1i1，亦即

2ik2６

k1kk2xx2xxxiiik1k1i1i1i1nk1则当时，

22kkx2xi2ikk1k1k2222xk1xk1(k1)xi(xixk1)(k1)xii1i1i1i1所以x1nx2。

i1

７