高中数学选修4系列1-4-5知识点总结(全套)

1.课程内容：

必修课程由5个模块组成：

必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。

选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。

选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。

选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。

选修4—10：开关电路与布尔代数。

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解题基本方法

配方法 换元法 待定系数法 定义法 数学归纳法 参数法 反证法 消去法 分析与综合法 特殊与一般法 类比与归纳法 观察与实验法 常用的数学思想

数形结合思想 分类讨论思想 函数与方程思想 转化（化归）思想

2．重难点及考点：

重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点：

⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件

⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、

函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用

⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、

化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用

⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用

⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值

不等式、不等式的应用

⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与

圆的位置关系

⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹

问题、圆锥曲线的应用

⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱

锥、球、空间向量

⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算

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高中数学 选修4--5知识点

1、不等式的基本性质 ①（对称性）abba ②（传递性）ab,bcac

③（可加性）abacbc

（同向可加性）ab,cdacbd （异向可减性）ab,cdacbd ④（可积性）ab,c0acbc

ab,c0acbc ⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbd （异向正数可除性）ab0,0cdab

cd⑥（平方法则）ab0anbn(nN,且n1) ⑦（开方法则）ab0nanb(nN,且n1) ⑧（倒数法则）ab02、几个重要不等式 1111;ab0 ababa2b2. ①ab2aba，bR,（当且仅当ab时取\"\"号）. 变形公式：ab222②（基本不等式）

abab a，bR,（当且仅当ab时取到等号）. 22ab变形公式： ab2ab ab.

2用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式）等号）.

④abcabbccaa，bR

222abc3abc(a、b、cR)（当且仅当abc时取到3（当且仅当abc时取到等号）. ⑤abc3abc(a0,b0,c0) （当且仅当abc时取到等号）.

333ba2（当仅当a=b时取等号） abba若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）

abbbmana1，⑦（其中ab0，m0，n0)

aambnb⑥若ab0,则规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.

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⑧当a0时，xax2a2xa或xa;

xax2a2axa.

⑨绝对值三角不等式ababab.

3、几个著名不等式 2aba2b2①平均不等式：1，，当且仅当ab时取\"\"号）. （a,bRab1ab22（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.

变形公式：

22(ab)2abab22. ab; ab2222②幂平均不等式：

a12a22...an21(a1a2...an)2. n③二维形式的三角不等式：

x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2(x1,y1,x2,y2R).

④二维形式的柯西不等式：

(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).当且仅当adbc时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：

(a12a22a32)(b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2.

⑥一般形式的柯西不等式：

(a12a22...an2)(b12b22...bn2)(a1b1a2b2...anbn)2.

⑦向量形式的柯西不等式：

设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

设a1a2...an,b1b2...bn为两组实数.c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，则

，当a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancna1b1a2b2...anbn.（反序和乱序和顺序和）且仅当a1a2...an或b1b2...bn时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

f(

x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)则称f(x)为凸（或凹）函数.

).224

4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：

①舍去或加上一些项，如(a)②将分子或分母放大（缩小）， 如

12231(a)2; 4211112212 ,,, 22kk(k1)kk(k1)2kkkkkk112(kN*,k1)等. kkk15、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式ax2bxc0(或0)

(a0,b24ac0)解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.

7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)0f(x)g(x)0g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0“或” （时同理）

规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴

f(x)0 f(x)a(a0)2f(x)af(x)0⑵f(x)a(a0) 2f(x)a⑶f(x)0f(x)0 f(x)g(x)g(x)0或f(x)[g(x)]2g(x)05

⑷f(x)0 f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0 f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)⑸规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x) ⑵当0a1时, af(x)ag(x)f(x)g(x) 规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 f(x)0⑴当a1时, logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)f(x)0. ⑵当0a1时, logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法： a(a0)⑴定义法：a.

a(a0)⑵平方法：f(x)g(x)f(x)g(x). ⑶同解变形法，其同解定理有： ①xaaxa(a0); ②xaxa或xa(a0);

③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0) ④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)

规律：关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：

规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如axbxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：

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222

⑴讨论a与0的大小； ⑵讨论与0的大小； ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题 ⑴不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当a0时 b0,c0;

2②当a0时2a0

0.⑵不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当a0时b0,c0;

②当a0时a0

0.⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;

f(x)a恒成立f(x)maxa;

⑷f(x)a恒成立f(x)mina;

f(x)a恒成立f(x)mina.

15、线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断： 法一：取点定域法：

由于直线AxByC0的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点(x0,y0)（如原点），由Ax0By0C的正负即可判断出AxByC0(或0)表示直线哪一侧的平面区域.

即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.

法二：根据AxByC0(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，

AxByC0(或0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.

即：同号上方，异号下方. ⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数zAxBy(A,B为常数）的最值：

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法一：角点法：

如果目标函数zAxBy （x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值 法二：画——移——定——求： 第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l0:AxBy0 ，平移直线l0（据可行域，将直线l0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(x,y)；第四步，将最优解(x,y)代入目标函数

zAxBy即可求出最大值或最小值 .

第二步中最优解的确定方法：

利用z的几何意义：yAzzx,为直线的纵截距. BBB①若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；

②若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值. ⑷常见的目标函数的类型： ①“截距”型：zAxBy;

②“斜率”型：zyyb; 或zxxax2y2;

③“距离”型：zx2y2或zz(xa)2(yb)2或z(xa)2(yb)2.

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.

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选修4-4数学知识点 一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：

1．坐标系：

① 理解坐标系的作用.

② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.

④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.

② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

二、知识归纳总结：

xx,(0),1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换:的作用下，

yy,(0).点P(x,y)对应到点P(x,y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个

长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为M(,).

极坐标(,)与(,2k)(kZ)表示同一个点。极点O的坐标为(0,)(R).

4.若0,则0,规定点(,)与点(,)关于极点对称，即(,)与(,)表示同一点。

如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示；同时，极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化： 2x2y2,xcos, y

ysin,tan(x0) x

6。圆的极坐标方程：

在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 r；

在极坐标系中，以 C(a,0)(a0)为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是 2acos； 在极坐标系中，以 C(a,27.在极坐标系中，(0)表示以极点为起点的一条射线；(R)表示过极点的一条直线.

在极坐标系中，过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是cosa.

8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数

)(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2asin；

xf(t), 并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方yg(t),程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

xarcos,9．圆(xa)(yb)r的参数方程可表示为(为参数).

ybrsin.xacos,x2y2 椭圆221(ab0)的参数方程可表示为(为参数).

abybsin.222 9

x2px2,(t为参数). 抛物线y2px的参数方程可表示为y2pt.2 经过点MO(xo,yo)，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为xxotcos,（t为参数）.

yyotsin.10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.

选修4-1数学知识点

平行线等分线段定理

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理

平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

相似三角形的判定及性质

相似三角形的判定： 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法： （1）两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；

（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 相似三角形的性质：

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比；

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（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

直角三角形的射影定理

射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

圆周定理

圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形的性质与判定定理

定理1：圆的内接四边形的对角互补。

定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

圆的切线的性质及判定定理

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

弦切角的性质

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

与圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

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高中数学 选修4-1知识点

第一讲 相似三角形的判定及有关性质

1.平行线等分线段定理

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。 2.平分线分线段成比例定理

平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 3.相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法： （1）两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；

（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 相似三角形的性质：

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比；

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。 4.直角三角形的射影定理

射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

第二讲 直线与圆的位置关系

1.圆周定理

圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

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推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 2.圆内接四边形的性质与判定定理 定理1：圆的内接四边形的对角互补。

定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。 3.圆的切线的性质及判定定理

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 4.弦切角的性质

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 5.与圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 6.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 7.三角形的五心

(1)内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。性质：到三边距离相等。 (2)外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。性质：到三个顶点距离相等。

(3)重心：三条中线的交点。性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。 (4)垂心：三条高所在直线的交点。

(5)旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。 性质：到三边的距离相等。

第三讲 圆锥曲线性质的探究

1.平面与圆柱面的截线：

当平面与圆柱的两底面平行时，截面是个圆；当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是个椭圆； 定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆。

定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l’与l相交于O点，夹角为α，l’ 围绕l旋转得到以O为顶点，l’为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的夹角为β(当π与l平行时，记β=0)， 则截面不过顶点时：

(1)β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆； (2)β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线； (3)β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线； 截面过顶点时：

(1)截面和圆锥面只相交于顶点，交线为一个点。

(2)截面和圆锥面相交于两条母线，交线为两条相交曲线。 (3)截面和圆锥面相切，交线为两条重合直线。

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人教A选修4-1几何证明选讲

一、填空题选择题

1 ．（2012年高考（天津文））如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆

的切线与AC的延长线相交于D.过点C作BD的平行线与圆交于点E,与AB相交于点F,AF3,FB1,EF____________.

2 ．（2012年高考（陕西文））如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为

CAFEBD3,则线段CD的长为2E,EFDB,垂足为F,若AB6,AE1,则DFDB___ ______.

3 ．（2012年高考（广东文））(几何证明选讲)如图3所示,直线PB与圆O相切于

点B,D是弦AC上的点,PBADBA.若ADm,ACn,则

AB_______.

4 ．（2012年高考（江西理））在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为

线段CD的中点,则

|PA|2|PB|2|PC|2=

B．4 C．5 D．10

5 ．（2012年高考（北京理））如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E,则

（ ） A．CE·CB=AD·DB B．CE·CB=AD·AB

C．AD·AB= CD

6．（2012年高考（陕西理））如图,在圆O中,

2

（ ） A．2

D．CE·EB= CD

2CEADB直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EFDB, 垂足为F,若AB6,AE1, 则DFDB__________. 7．（2012年高考（湖南理））如图2,过点P的直线与圆O相交于A,B两点.若

PA=1,AB=2,PO=3,则圆O的半径等于_______. 8．（2012年高考（湖北理））(选修4-1:几何证明选讲)如图,点D在O的弦AB上

移动,AB4,连接OD,过点D 作OD的垂线交O于点C,则CD的最大值为__________. 9．（2012年高考（广东理））(几何证明选讲)如图3,圆O的半径为1,A、B、C是圆周上的三点,满足ABC30,过点A作圆O的切线与OC的延长

线交于点P,则PA__________.

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B D C O A .

二、解答题

10．（2012年高考（辽宁文））选修41:几何证明选讲

如图,⊙O和⊙O相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交⊙O于点E.证明

(Ⅰ)ACBDADAB; (Ⅱ) ACAE.

11．（2012年高考（课标文））选修4-1:几何选讲

/如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆与F,G两点,若CF∥AB,证明:

(Ⅰ) CD=BC;

(Ⅱ)△BCD∽△GBD.

A12．（2012年高考（新课标理））选修4-1:几何证明选讲

如图,D,E分别为ABC边AB,AC的中点,直线DE交

ABC的外接圆于F,G两点,若CF//AB,证明:

(1)CDBC;

(2)BCDGBD

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GEDFBC

13．（2012年高考（辽宁理））选修41:几何证明选讲

如图,⊙O和⊙O/相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交⊙O于点E.证明[

(Ⅰ)ACBDADAB; (Ⅱ) ACAE.

14．（2012年高考（江苏））[选修4 - 1:几何证明选讲]如图,AB是圆O的直径,D,E为圆上位于AB异侧

的两点,连结BD并延长至点C,使BDDC,连结AC,AE,DE. 求证:EC.

14. 【答案】证明:连接AD.

∵AB是圆O的直径,∴ADB900(直径所对的圆周角是直角).

∴ADBD(垂直的定义).

又∵BDDC,∴AD是线段BC的中垂线(线段的中垂线定义). ∴ABAC(线段中垂线上的点到线段两端的距离相等). ∴BC(等腰三角形等边对等角的性质). 又∵D,E为圆上位于AB异侧的两点,

∴BE(同弧所对圆周角相等). ∴EC(等量代换).

【考点】圆周角定理,线段垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的性质.

【解析】要证EC,就得找一个中间量代换,一方面考虑到B和E是同弧所对圆周角,相等;另 一方面由AB是圆O的直径和BDDC可知AD是线段BC的中垂线,从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到BC.从而得证. 本题还可连接OD,利用三角形中位线来求证BC.

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参考答案

一、填空题

1. 【解析】如图连结BC,BE,则∠1=∠2,∠2=∠A

A1,又∠B=∠B,CBF∽ABC,由平行线等分线段定理得

2CBBFCBCF,,代入数值得BC=2,AC=4,又ABBCABACACAF4,解得CD=. CDFB32. 解析:BE5,DEAEEB5,DE5,在

RtDDEB中,DFDBDE25

3. 解析:mn.PBAACBDBA,A是公共角,所以

ABC∽ADB,于是

ABAD,所以AB2ACADmn,所以ABmn. ACAB4. D【解析】本题主要考查两点间的距离公式,以及坐标法这一重要的解题方法和数形结合的数学思想.

不失一般性,取特殊的等腰直角三角形,不妨令ACBC4,则AB42,CD

11AB22,PCPD|CD|2,PAPB|AD|2|PD|2 2222222|PA|2|PB|2101010,所以10.

|PC|22【点评】对于非特殊的一般图形求解长度问题,由于是选择题,不妨尝试将图形特殊化,以方便求解各

长度,达到快速求解的目的.体现考纲中要求掌握两点间的距离公式.来年需要注意点到直线的距离公式.

5. 【答案】A

【解析】由切割线定理可知CECBCD,在直角ABC中,ACB90,CDAB,则由射影定

2理可知CDADDB,所以CECBADDB.

2【考点定位】 本题考查的是平面几何的知识,具体到本题就是射影定理的各种情况,需要学生对于垂直的变化有比较深刻的印象.

6.解析:BE5,DEAEEB5,DE7. 【答案】25,在RtDDEB中,DFDBDE25

D6 【解析】设PO交圆O于C,D,如图,设圆的半径为R,由割线定理知

OBCPAPAPBPCPD,即1(12)(3-r)(3r),r6.

【点评】本题考查切割线定理,考查数形结合思想,由切割线定理知PAPBPCPD,从而求得圆的半径. 8.考点分析:本题考察直线与圆的位置关系

解析:(由于ODCD,因此CDOC2OD2,线段OC长为定值,

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即需求解线段OD长度的最小值,根据弦中点到圆心的距离最短,此 时D为AB的中点,点C与点B重合,因此|CD|1|AB|2. 29.解析:3.连接OA,则AOC60,OAP90,因为OA1,所以PA3.

二、解答题

10. 【答案与解析】

【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握，难度较小。 证明：（1）由AC与O相切于A，得CAB=ADB，同理ACB=DAB，

ACAB=，即ACBD=ADAB „„4分 ADBD（2）由AD与O相切于A，得AED=BAD，又ADE=BDA，得EADABD

AEAD=从而，即AEBD=ADAB，综合（1）的结论，AC=AE „„10分 ABBD所以ACBDAB。从而

【点评】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质,考查推理论证能力和数形结合思想,重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握,难度较小.

11. 【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识,是简单题.

【解析】(Ⅰ) ∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE∥BC, ∵CF∥AB, ∴BCFD是平行四边形,

∴CF=BD=AD, 连结AF,∴ADCF是平行四边形, ∴CD=AF,

∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC; (Ⅱ) ∵FG∥BC,∴GB=CF, 由(Ⅰ)可知BD=CF,∴GB=BD,

∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD.

12. 【解析】(1)CF//AB,DF//BCCF//BD//ADCDBF

CF//ABAFBCBCCD (2)BC//GFBGFCBD

BC//GFGDEBGDDBCBDCBCDGBD

13. 【答案与解析】

【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握，难度较小。 证明：（1）由AC与O相切于A，得CAB=ADB，同理ACB=DAB，

ACAB=，即ACBD=ADAB „„4分 ADBD（2）由AD与O相切于A，得AED=BAD，又ADE=BDA，得EADABD

AEAD=从而，即AEBD=ADAB，综合（1）的结论，AC=AE „„10分 ABBD所以ACBDAB。从而

【点评】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质,考查推理论证能力和数形结合思想,重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握,难度较小.

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