直线的参数方程及应用

直线的参数方程及应用

① 当t>0时，点P在点P0的上方；

基础知识点击： ② 当t＝0时，点P与点P0重合； 1、 直线参数方程的标准式 ③ 当t<0时，点P在点P0的下方； (1)过点P0(x0,y0)，倾斜角为的直特别地，若直线l的倾斜角＝0时，线l的参数方程是 xx0t直线l的参数方程为

xxtcos0yy0  （t为参数）t的几何yy0tsin④ 当t>0时，点P在点P的右侧；

yP意义：t表示有向线段P0P的数量，

P(x,y)

P0P=t ∣P0P∣=t

为直线上任意一点.

(2)若P1、P2是直线上两点，所对应的

参数分别为t1、t2，

则P1P2=t2－t1 ∣P1P2∣=∣t 2－t

1∣

(3) 若P1、P2、P3是直线上的点，所对

应的参数分别为t1、t2、t3

则Pt1P2中点P3的参数为t3＝1t22,∣P0P3∣=t1t22 (4)若P0为P1P2的中点，则t1＋t2＝0，

t1·t2<0

2、 直线参数方程的一般式

过点P,yb

0(x00)，斜率为ka

的直线的参数方程是

xx0aty （t为参数）

y0bt点击直线参数方程：

一、直线的参数方程

问题1：（直线由点和方向确定）

求经过点P0(x0,y0)，倾斜角为的直线l的参数方程. xx0tcos是所求的直线lyy0tsin的参数

方程

∵P0P＝t，t为参数，t的几何意义是：有向直线l上从已知点P0(x0,y0)到点 P(x,y)的有向线段的数量，且|P0P|

0⑤ 当t＝0时，点P与点P0重合； ⑥ 当t<0时，点P在点P0的左侧； 问题2：直线l上的点与对应的参数t是

一一对应关系.

问题3：P1、P2为直线l上两点所对应的参

数分别为t1、t2 ，

则P1P2＝？，∣P1P2∣=？

P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝

t2－t1，

∣P1P2∣=∣ t2－t1∣

问题4：

一般地，若P1、P2、P3是直线l上

的点， 所对应的参数分别为t1、t2、t3， P3为P1、P2的中点

则t3＝t1t22 基础知识点拨：

1、参数方程与普通方程的互化 例1：化直线l1的普通方程x3y1＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t∣的几何意义. 点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.

例2：化直线lx3t2的参数方程（t

y为参数）为普通方程，并求倾斜角，yP(13 tx,y 说明∣t∣的几何意义.

点拨：注意P在例01、例Q 2中，参数t的几何意义是不同的，直线0l1的参数方程 你会区分直线参数方程的标准形式？ 例3：已知直线l过点M0（1，3），倾斜角

0为

，判断方程31x1t（t

23为参数）和

( )

A 65° B 25° y32t方程x1ty33 t（t为参数）是否为直线

l的参数方程？如果是直线l的参数方程，指出方程中的参数t是否具有标准形式中参数t的几何意义.

点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.

问题5：直线的参数方程x1t能否

y33 t化为标准形式？

是可以的，只需作参数t的代换.(构造勾股数，实现标准化)

2、直线非标准参数方程的标准化 一般地，对于倾斜角为、过点M0(x0,y0)直线l参数方程的一般式为，. 例4：写出经过点M0（－2，3），倾斜角为34的直线l的标准参数方程，并且 求出直线l上与点M0相距为2的点的坐标.

点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦， 而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较 容易.

例5：直线x3tsin20y4tcos20（t为参数）的倾斜角 .

基础知识测试1：

1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是32的直线l的标准参数方程.

、 直线l的方程：x1tsin252y2tcos25（t为参数），那么直线l的倾斜角

C 155° D 115°

x113、 直线5ty2（t为参数）的斜

15t率和倾斜角分别是( )

A) －2和arctg(－2) B) －

12和arctg(－12)

C) －2和－arctg2 D) －

1和－arctg122 4、 已知直线xx0tcosyy0tsin （t为参

数）上的点A、B 所对应的参数分别为t1,t2，点P分线段BA所成的比为（≠－1），则P所对应的参数是 .

5、直线l的方程： xx0atbt （t为

yy0参数）A、B是直线l上的两个点，分别对应参数值t1、t2，那么|AB|等于( )

A ∣t 1－t 2∣ B a2b2∣t 1－t 2∣

C t1t2 D ∣t 1∣+∣tb 2∣

a226、 已知直线l：x1ty53 t (t为参数)与直线m：xy230交于P点，

求点M(1,－5)到点P的距离. 二、直线参数方程的应用 例6：已知直线l过点P（2，0），斜率为43，

直线l

和抛物线y22x相交于A、B两点，

设线段AB的中点为M,求：

(1)P、M两点间的距离|PM|； (2)M点的坐标； (3)线段AB的长|AB| 点拨：利用直线l的标准参数方程中参数

y 0 A t的几何意义，在解决诸如直线l上两点间的距离、直线l上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l的普通方程来解决显得比较灵活和简捷. 例7：已知直线l经过点P（1,－33）,倾斜角为3，

(1)求直线l与直线l：yx23的交点Q与P点的距离| PQ|；

(2)求直线l和圆x2y2＝16的两个交点A，B与P点的距离之积.

点拨：利用直线标准参数方程中的参数t的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便. 例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x轴平行，开口向右， 直线y=2x+7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.

点拨：(1)（对称性） 由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P一个未知量，由弦长AB的值求得P）.

(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些.

例9：已知椭圆(x1)24y231，AB是通过左焦点F1的弦，F2为右焦点， 求| F2A|·| F2B|的最大值.

点拨：求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解 题，此题中两定点F1(0,0),F2(2,0),显然F1坐标简单，因此选择过F1

的直线的参数方程，

利用椭圆的定义将| F2A|·| F2B| 转化为| F1A|·|F1B|. 一般地，把l的参数方程代入圆锥曲线C：

F(x,y)=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，f(t)=0,

1、(1)当Δ<0时，l与C相离；(2) 当Δ＝0时，l与C相切；(3) 当Δ>0时， l与C相交有两个交点；

2、 当Δ>0时，方程f(t)=0的两个根分

别记为t1、t2，把t1、t2分别代入l的参数方程即可求的l与C的两个交点A和B的坐标.

3、 定点P0(x0,y0)是弦AB中点 t1+t2=0

4、 l被C截得的弦AB的长|AB|＝|t1－

t2|；P0A·P0B= t1·t2；弦AB中点M

点对应的参数为t1t22；| P0M

|=t1t22

基础知识测试2：

7、 直线x1t(t为参数)y2 t与椭圆

x22y28交于A、B两点，则|AB|

等于( )

A 22 B 433 C 2 D

63 8、直线xx0tcosytsin （t为参数）与

y0二次曲线A、B两点，则|AB|等于( ) A |t1+t2| B |t1|＋|t2|

C |tt1t21－t2| D 2

19、 直线x22t(t为参数)与圆y1 12tx2 y2 1有两个交点A、B，若P点的坐

标为(2,-1),则|PA|·|PB|=

2tx67710、过点P(6, )的直线(t为y t22参数)与抛物线y2=2x相交于A、B两点，

则点P到A,B距离之积为 .