涉及无穷小的几种求极限方法

作者：周思中

来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》 2013年第7期

周思中

（江苏科技大学数理学院，江苏镇江212003）

摘要：极限是高等数学中最重要的概念之一，求极限的方法是多种多样的，本文总结了涉及无穷小的几种求极限方法。并对常见的等价无穷小和带佩亚诺型余项的麦克劳林展开式进行了推广，便于学生更好地掌握这部分内容。

关键词：无穷小；极限；方法

中图分类号：G421文献标识码：A文章编号：1671—1580（2013）07—0148—02

极限是研究高等数学的有力工具。求解极限，是微积分学学习中要掌握的基本技能之一。求极限的方法有很多种，例如：利用夹逼准则、单调有界准则、洛必达法则、拉格朗日中值定理、泰勒公式、无穷小替换、级数收敛性、无穷小因子消去法、定积分定义和导数定义等方法可求相应的极限。这里，主要介绍涉及无穷小的几种求极限方法。

一、利用等价无穷小替换求极限

注：在利用等价无穷小替换时，只能用分子分母整体部分去代换，或是把函数化成积的形式，再施行等价无穷小替换。而在和、差式中用等价无穷小替换时，需小心谨慎。

二、利用洛必达法则求极限

最后，我们通过典型例题来加深对洛必达法则求极限方法的理解。这里，主要以0/0型未定式为例。

洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但它不是万能的，对洛必达法则使用不当，就会导致计算出错。在使用洛必达法则求极限时应注意以下几个方面：

可见，洛必达法则可多次使用。

（2）洛必达法则是充分性的，因此，当使用该法则后极限不存在或不能求出时，不能确定原极限是否存在，此时，洛必达法则失效，应另找其它方法来求该极限。

（3）在使用洛必达法则求极限时，应与其他求极限方法结合使用，这样效果会更好。

三、利用无穷小因子分出法求极限

当分子分母都是无穷小量时，通过因子分解或根式有理化等代数方法分出分子分母中相同的无穷小量，然后约去无穷小量，最后再求极限。

四、利用泰勒公式求极限

对于求某些未定式的极限来说，使用泰勒公式比洛必达法则更为方便，但往往需把函数展开为带佩亚诺型余项的麦克劳林公式。［1］为了能使学生更好地掌握带佩亚诺型余项的麦克劳林展开式，并熟练用它们来计算某些未定式的极限，我们将它们推广如下：

注：在使用泰勒公式求极限时，应注意分清哪些函数需要展成带佩亚诺型余项的麦克劳林公式，展开到什么程度，哪些函数需要保留或用等价无穷小替换。

［参考文献］

［1］同济大学数学系.高等数学（上册）6版［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［2］郑英元，毛羽辉，送过冬.数学分析习题课教程［M］.北京：高等教育出版社，1993.

［3］吴赣昌.高等数学（理工类上册）［M］.北京：中国人民大学出版社，2006.

［4］龚萍.等价无穷小的性质及其运用推广［J］.河北理工大学学报(自然科学版)，2009（31）.

［5］华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京：高等教育出版社，2001.