高考数学相互独立事件概率1

1了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率 2会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生κ次的概率 知识点归纳

1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件 若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立 2互斥事件与相互独立事件是有区别的：

两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生

3．相互独立事件同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B) 事件A1,A2,,An相互独立， P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 4 独立重复试验的定义：在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验 5关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：

第一，相互独立也是研究两个事件的关系；

第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的； 第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的 6．独立重复试验的概率公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那

kk么在n次独立重复试验中这个事恰好发生K次的概率Pn(k)CnP(1P)nk 表示事件A在n次独立重复试验中恰好发生了次的概率 ．．．．．k．．

令k=0 得 在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为．．．．．．．．０

Pn()=Cn0p0(1－p)n =(1－p)n

令k=n得 在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为．．．．．．．．Pn(n)=Cnnpn(1－p)0 =pn 7相互独立事件同时发生的概率 在同一随机实验中，两事件互斥是指两个不可能同时发生的事件；两事件相互独立是指其中的一个事件发生与否对另一个事件的发生没有影响对这两个概念的区分能力足以体现分析问题和解决问题的能力，这正是高考考

查的主要目的另外要理解“积事件”的意义，特别要注意：若事件A与B不是相互独立事件而是互斥事件，那么在计算P（AB）的值时绝对不可以使用P（A·B）=P（A）P（B）这个公式，只能从对立事件的角度出发，运用P

（A·B）=1-P（AB）进行计算 8n次独立重复实验恰好有k次发生的概率

要求掌握n次独立重复实验恰好有k次发生的概率计算公式，对这个公

k式，不能死记硬背，要真正理解它所表示的含义，特别要理解其中的Cn的

意义此公式是概率的加法公式的应用，也为处理离散型随机变量的概率分布问题做了很好的铺垫一般高考不单独考这个知识点，经常是和互斥事件有一个发生的概率或者相互独立事件同时发生的概率综合起来考查 题型讲解

例1 某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张 （1）两人都抽到足球票的概率是多少?

（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?

解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B；记“甲从

第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件A，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B，

于是P（A）=P（B）=

632= ，P（A）=； 1055423= ，P（B）= 1055由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件 （1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A·B发生，根据相互独立事

件的概率乘法公式，得到P（A·B）=P（A）·P（B）=

答：两人都抽到足球票的概率是326·= 55256 25（2）甲、乙两人均未抽到足球票（事件A·B发生）的概率为

236·= 5525∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为 P（A·B）=P（A）·P（B）=

P=1－P（A·B）=1－

619= 252519 25例2 有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球其中第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率 解：设事件A：从第一个盒子中取得一个标有字母A的球；

事件B：从第一个盒子中取得一个标有字母B的球，则A、B互斥，且

答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是P（A）=

73，P（B）=； 1010事件C：从第二号盒子中取一个红球，

事件D：从第三号盒子中取一个红球，则C、D互斥，且P（C）=

1，284= 105显然，事件A·C与事件B·D互斥，且事件A与C是相互独立的，B与D也是相互独立的 所以试验成功的概率为

P=P（A·C+B·D）=P（A·C）+P（B·D） P（D）=

=P（A）·P（C）+P（B）·P（D）=∴本次试验成功的概率为59 10059 100例3 冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等 （1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；

（2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率 解：（1）由题意知，甲种已饮用5瓶，乙种已饮用2瓶 记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A，

1 2（1） 7次独立重复试验中事件A发生5次的概率为 则p=P（A）=1721）= 2128（2）有且仅有3种情形满足要求：

甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用 所求概率为

522P7（5）=C57p（1－p）=C7（

56544

P6（5）+P5（5）+P4（4）=C5p（1－p）+C55p+C4p=3 16答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为21，甲饮料被饮用瓶1283 16例4 抽样本检查是产品检查的常用方法分为返回抽样和不返回抽样两种具体操作方案现有100只外型相同的电路板，其中有40只A类版后60只B类板问在下列两种情况中“从100只抽出3只，3只都是B类”的概率是多少？

⑴ 每次取出一只，测试后放回，然后再随机抽取下一只（称为返回抽样）；

⑵ 每次取出一只，测试后不放回，在其余的电路板中，随意取下一只（称为不返回抽样）

解：⑴ 设“从100只中抽去3只，3只都是B类”为事件M，先求基本事件总数，由于每次抽去一只，测试后又放回，故每次都是从100只电路板中任取一只，这是重复排列，

111共有C100C100C1001003个 再求M所包含的基本事件数，由于每次抽出后又放回，故是重复排列，共有60 个，

36030.216 所以P(M)10033⑵ 由于取出后不放回，所以总的基本事件数为C100个，事件M的基本

事件数为C

3

60，所以

3C60P(M)30.212

C100例5 把n个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m的m个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率 解法一：用独立重复试验的概率公式把1个球放入m个不同的盒子内

1这样n个球放入m个m不同的盒子内相当于做n次独立重复试验由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式知，1号盒恰有r个球的概率 看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为P=

Pn（r）=Crnp（1－p）

rn－r

=Crnrnr1r1n－rCn(m1)·（）·（1－）= nmmm解法二：用古典概型把n个不同的球任意放入m个不同的盒子内共有

nr

mn个等可能的结果其中1号盒内恰有r个球的结果数为Cr，n（m－1）

－

故所求概率P（A）=nrCrn(m1)mn 答：1号盒恰有r个球的概率为nrCrn(m1)mn 例6 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？

分析：4引擎飞机可以看作4次独立重复试验，要能正常运行，即求发生k次（k≥2）的概率同理，2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生k次（k≥1）的概率，由此建立不等式求解 解：4引擎飞机成功飞行的概率为

2222343344

C24P（1－P）+C4P（1－P）+C4P=6P（1－P）+4P（1－P）+P 222

2引擎飞机成功飞行的概率为C12P（1－P）+C2P=2P（1－P）+P 要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，只要

6P2（1－P）2+4P3（1－P）+P4≥2P（1－P）+P2 化简，分解因式得（P－1）2（3P－2）≥0 所以3P－2≥0，

即得P≥2 3答：当引擎不出故障的概率不小于

2时，4引擎飞机比2引擎飞机安全 3小结：

1应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A与B来说，才能运用公式P（A·B）=P（A）·P（B） 2在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件 3善于将具体问题化为某事件在n次独立重复试验中发生k次的概率 4要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A和事件B互相独立时，才有P（A·B）=P（A）·P（B） 5A、B中至少有一个发生：A+B （1）若A、B互斥：P（A+B）=P（A）+P（B），否则不成立 （2）若A、B相互独立（不互斥） ①P（A+B）=P（A·B）+P（A·B）+P（A·B）； ②P（A+B）=1－P（A·B）；

③P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB） 6某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率要注意“至多”“至少”等题型的转化

7 n次独立重复试验中某事件发生k次的概率

kn

Pn（k）=Cknp（1－p）

－k

正好是二项式［（1－p）+p］n的展开式的第k+1项 学生练习

1甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是

Ap1p2 Bp1（1－p2）+p2（1－p1） C1－p1p2 D1－（1－p1）（1－p2） 解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是p1（1－p2）+p2（1－p1） 答案：B

2将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率，那么k的值为

A0 B1 C2 D3

k解析：由C5（

1k15－kk11k+11－－

）（）=C5（）·（）5k1， 2222kk1即C5=C5，k+（k+1）=5，k=2

答案：C

3从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为1，视311，其他几项标准合格的概率为，从中任选一学生，则65该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响） 力合格的概率为

A4 9 B1 90

C4 5 D5 91111解析：P=××= 364590答案：C

4若A与B相互独立，则下面不相互独立事件有

AA与A BA与B

C A与B D A与B

解析：由定义知，易选A 答案：A

5在某段时间内，甲地不下雨的概率为03，乙地不下雨的概率为04，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是

A012 B088 C028 D042 解析：P=（1－03）（1－04）=042 答案：D

6一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为

11，乙生解出它的概率为，23丙生解出它的概率为率为________ 1，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概4解析：P=答案：

12311312111××+ ××+ ××= 2342234243411 247一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是1那么这位司机遇到红灯3前，已经通过了两个交通岗的概率是________ 解析：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗

1114遇到红灯，所以P=（1－）（1－）×= 333274 278某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分已知他解题的正确答案：

率为

3，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________ 5解析：该生被选中，他解对5题或4题 ∴P=（答案：

354331053）+C5×（）4×（1－）= 55531251053 31259某单位订阅大众日报的概率为06，订阅齐鲁晚报的概率为03，则至少订阅其中一种报纸的概率为________

解析：P=1－（1－06）（1－03）=072 答案：072 10在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为08，则在未来3天中，

（1）至少有2天预报准确的概率是多少？

（2）至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？ 解：（1）至少有2天预报准确的概率即为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即

32C3·082·02+C33·08=0896

∴至少有2天预报准确的概率为0896

（2）至少有一个连续2天预报准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确的概率为

2·082·02+083=0768 ∴至少有一个连续2天预报准确的概率为0768

11一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内，

（1）恰有一套设备能正常工作的概率； （2）能进行通讯的概率 解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B

由题意知P（A）=p3，P（B）=p3，

P（A）=1－p3，P（B）=1－p3

（1）恰有一套设备能正常工作的概率为 P（A·B+ A·B）=P（A·B）+P（A·B）

=p3（1－p3）+（1－p3）p3=2p3－2p6 （2）方法一：两套设备都能正常工作的概率为 P（A·B）=P（A）·P（B）=p6 至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为

P（A·B+ A·B）+P（A·B）=2p3－2p6+p6=2p3－p6 方法二：两套设备都不能正常工作的概率为 P（A·B）=P（A）·P（B）=（1－p3）2 至少有一套设备能正常工作的概率， 即能进行通讯的概率为

1－P（A·B）=1－P（A）·P（B）=1－（1－p3）2=2p3－p6

答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p3－2p6，能进行通讯的概率为2p3－p6 12已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球现从两袋中各取两个球，试求取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率 解：从甲袋中取2个白球，从乙袋中取1个黑球和1个白球的概率为

2C32C7×

1C15C42C9=

5； 63从甲袋中取1个黑球和1个白球，从乙袋中取2个白球的概率为

1C13C42C7×

2C52C9=10 63所以，取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为

510155+== 6363632113甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为

1，乙机床41，甲、12加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为2 9（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； （2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率 解：（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，

1P(AB),41, 由题设条件有P(BC)122P(AC),91P(A)[1P(B)], ①41, ② 即P(B)[1P(C)]122P(A)P(C). ③99P（C）， 8代入②得27［P（C）］2－51P（C）+22=0 由①③得P（B）=1－

解得P（C）=将P（C）=

211或（舍去） 39211分别代入③②可得P（A）=，P（B）=， 343112即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，， 334（2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则

P（D）=1－P（D）=1－［1－P（A）］［1－P（B）］［1－P（C）］

2315··= 3436故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率

=1－

5 6课前后备注 为