2020高考数学理科大一轮复习导学案：第五章 (可编辑) 数列 5.2 Word 版含答案
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2020高考数学理科大一轮复习导学案：第五章 数列5.2 Word版含答案
错误!错误!
知识点一 等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N），d为常数．
＊
1．判断正误
(1）若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )
（2)等差数列的公差是相邻两项的差．( × ）
（3）数列{an｝为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( × )
2．若等差数列{an｝的公差为d，则数列｛a2n－1｝是（ B ）
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A．公差为d的等差数列 B．公差为2d的等差数列 C．公差为nd的等差数列 D．非等差数列
解析:数列{a2n－1｝其实就是a1，a3，a5，a7，…，奇数项组成的数列,它们之间相差2d.
知识点二 等差数列的通项公式与前n项和公式
1．若等差数列{an｝的首项是a1，公差是d，则其通项公式为
an＝a1＋(n－1）d。
若等差数列｛an｝的第m项为am，则其第n项an可以表示为
an＝am＋（n－m）d。
2．等差数列的前n项和公式
Sn＝错误!＝na1＋错误!d.（其中n∈N＊，a1为首项，d为公差，an为第n项）
3．（2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an｝的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝（ B ）
A．－12
B．－10
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C．10 D．12
解析：解法1：设等差数列｛an｝的公差为d，∵3S3＝S2＋S4,∴3(3a1＋错误!d）＝2a1＋d＋4a1＋错误!d,解得d＝－错误!a1,∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10。故选B。
解法2:设等差数列｛an｝的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3
＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋错误!d＝d，∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10。故选B。
4．某剧场有20排座位,后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位,则剧场总共的座位数为820.
解析：设第n排的座位数为an(n∈N），数列{an}为等差数列,其公差d＝2，则an＝a1＋（n－1）d＝a1＋2（n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×（20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为错误!＝错误!＝820。
*
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q（其中p，q为常数）,则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了
an＋1－an＝d(n≥2)时,应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，
则数列｛an｝不为等差数列．
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3．等差数列｛an}的单调性：当d〉0时，{an}是递增数列;当
d〈0时,{an｝是递减数列；当d＝0时，｛an}是常数列。
考向一 等差数列基本量的运算
【例1】 (1)（2018·北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝3，
a2＋a5＝36，则｛an}的通项公式为________．
（2）(2018·全国卷Ⅱ)设Sn为等差数列{an｝的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15。
①求｛an}的通项公式； ②求Sn，并求Sn的最小值．
【解析】 (1)设等差数列的公差为d，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝6＋5d＝36，∴d＝6，∴an＝3＋(n－1）·6＝6n－3.
（2）①设｛an｝的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9。 ②由①得Sn＝n－8n＝(n－4)－16。
所以当n＝4时,Sn取得最小值，最小值为－16. 【答案】 (1)6n－3 （2）见解析
2
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等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量a1，d，n，an，Sn，一般可以“知三求二\"，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.
（1）（2019·沈阳市质量监测）在等差数列{an}中，若Sn为前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是( A )
A．55 C．50
B．11 D．60
(2）(2019·河南信阳二模)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?\"其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱?”（“钱”是古代一种质量单位),在这个问题中，甲得________钱（ C )
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A.错误! C.错误!
B.错误! D.错误!
解析：(1）解法1：设等差数列{an}的公差为d,由题意可得2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5，得a1＋5d＝5，则S11＝11a1＋错误!d＝11（a1＋5d)＝11×5＝55，故选A.
解法2：设等差数列｛an｝的公差为d,由2a7＝a8＋5,得2(a6
＋d）＝a6＋2d＋5，得a6＝5，所以S11＝11a6＝55,故选A。
（2）设甲、乙、丙、丁、戊分别为a－2d，a－d，a，a＋d，
a＋2d，由题意可得：
错误!
联立解得a＝1，d＝－错误!。
∴这个问题中，甲所得为1－2×（－错误!)＝错误!(钱)． 故选C。
考向二 等差数列的判定与证明
【例2】 (2019·贵州适应性考试)已知数列{an｝满足a1＝1,且nan＋1－（n＋1）an＝2n＋2n.
（1)求a2，a3;
(2）证明数列错误!是等差数列，并求｛an}的通项公式．
2
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【解】 (1）由已知，得a2－2a1＝4， 则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6。
由2a3－3a2＝12,得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15。
（2）证明:由已知nan＋1－(n＋1）an＝2n＋2n，得错误!＝2， 即错误!－错误!＝2，所以数列错误!是首项错误!＝1，公差d＝2的等差数列．
则错误!＝1＋2（n－1)＝2n－1, 所以an＝2n－n.
2
2
用定义证明等差数列时,容易漏掉对起始项的检验,从而产生错解。比如，对于满足an－an－1＝1
n≥3的数列｛an｝而言并不
能判定其为等差数列，因为不能确定起始项a2－a1是否等于1.
（2019·福建漳州二模）已知数列｛an｝满足nan－（n＋1）
an－1＝2n2＋2n(n＝2，3,4,…)，a1＝6。
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（1)求证:错误!为等差数列,并求出｛an｝的通项公式； （2)设数列错误!的前n项和为Sn,求证：Sn<错误!。
证明：(1)由nan－(n＋1）an－1＝2n＋2n(n＝2,3，4，…），a1
＝6,可得错误!－错误!＝2，错误!＝3，
则错误!是首项为3，公差为2的等差数列，可得错误!＝3＋2(n－1)＝2n＋1,
则an＝（n＋1)(2n＋1）（n∈N)． (2)由错误!<错误! ＝错误!错误!，
可得数列错误!的前n项和Sn＝错误!＋错误!＋…＋错误!≤错误!＋
错误!×错误!－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!＋错误!错误!－错误!<错误!＋错误!＝错误!,即
*
2
Sn〈错误!。
考向三
等差数列的性质及应用
方向1 等差数列项的性质
【例3】 (1)（2019·湖南衡阳一模)在等差数列｛an}中,a1
＋3a8＋a15＝120，则a2＋a14的值为( ）
A．6 C．24
B．12 D．48
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（2)(2019·山西太原一模）已知等差数列｛an}的前n项和为
Sn,若a2＋a3＋a10＝9，则S9＝（ )
A．3 C．18
B．9 D．27
【解析】 (1）∵在等差数列｛an｝中，a1＋3a8＋a15＝120，∴由等差数列的性质可得a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24,∴a2＋a14＝2a8＝48。故选D。
（2）设等差数列{an｝的公差为d，∵a2＋a3＋a10＝9，∴3a1
＋12d＝9，即a1＋4d＝3，∴a5＝3，∴S9＝错误!＝9a5＝27，故选D.
【答案】 (1）D （2）D 方向2 等差数列前n项和的性质
【例4】 （1）设Sn是等差数列｛an}的前n项和，若S672＝2，
S1 344＝12，则S2 016＝（ )
A．22 C．30
B．26 D．34
(2）（2019·西安八校联考）设等差数列｛an}的前n项和为
Sn，若S6〉S7〉S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n的值为( ）
A．10
B．11
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C．12 D．13
【解析】 （1）由等差数列的性质知，S672，S1 344－S672,S2 016
－S1 344成等差数列，则2(S1 344－S672)＝S672＋S2 016－S1 344，即2×（12－2)＝2＋S2 016－12,解得S2 016＝30。故选C.
(2）由S6>S7〉S5，得S7＝S6＋a7〈S6，S7＝S5＋a6＋a7〉S5，所以a7〈0,a6＋a7〉0，所以S13＝
13
a1＋a13
2
＝13a7〈0，S12＝错误!＝
6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足SnSn＋〈10的正整数n的值为12,故选C.
【答案】 （1)C (2)C
方向3 等差数列前n项和的最值
【例5】 在等差数列｛an｝中，已知a1＝20，前n项和为Sn,且S10＝S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值．
【解】 ∵a1＝20，S10＝S15， 10×9
∴10×20＋d＝15×20＋错误!d，
2∴d＝－错误!。
解法1:由an＝20＋(n－1）×错误!＝－错误!n＋错误!，得a13＝0。 即当n≤12时，an>0，当n≥14时,an<0.
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∴当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值， 且最大值为S12＝S13
＝12×20＋错误!×错误!＝130. 解法2：Sn＝20n＋错误!·错误!
＝－错误!n＋错误!n＝－错误!错误!＋错误!。
∵n∈N，∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为
*
2
2
S12＝S13＝130.
方法3：由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0。 ∴5a13＝0，即a13＝0。
∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值,且最大值为S12＝S13＝130.
1。等差数列的性质,＋n＝p＋q2
1
＊
项的性质：在等差数列｛an｝中，m，则am＋an＝ap＋aq。
m，n，p，q∈N
和的性质：在等差数列{an｝中，Sn为其前n项和，则
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①S2n＝n②S2n－1＝
a1＋a2n＝…＝nan＋an＋1；
2n－1
an.
③Sn，S2n－Sn,S3n－S2n,…成等差数列.
2。等差数列前n项和的最值,可以从两个方面考虑:①通项公式法：利用通项公式划分项的正、负；
②前n项和法：利用二次函数配方法.
1．(方向1)已知{an}，{bn}都是等差数列,若a1＋b10＝9，a3
＋b8＝15，则a5＋b6＝21。
解析:因为｛an}，｛bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝
b10＋b6，所以2(a3＋b8）＝（a1＋b10）＋(a5＋b6）,即2×15＝9＋
(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21。
2．(方向2)已知Sn是等差数列{an｝的前n项和,若a1＝－2 014,
错误!－错误!＝6,则
S2 018＝6_054。
解析：由等差数列的性质可得错误!也为等差数列． 设其公差为d，则错误!－错误!＝6d＝6，∴d＝1.
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故
＝错误!＋2 017d＝－2 014＋2 017＝3， 2 018
S2 018
∴S2 018＝3×2 018＝6 054.
3．(方向3)等差数列｛an｝中，已知|a6|＝｜a11｜，且公差
d>0，则其前n项和取最小值时n的值为（ C ）
A．6 C．8
B．7 D．9
解析：由d>0可得等差数列｛an}是递增数列, 又｜a6｜＝｜a11|，所以－a6＝a11, 即－a1－5d＝a1＋10d，
所以a1＝－错误!,则a8＝－错误!<0,a9＝错误!〉0， 所以前8项和为前n项和的最小值， 故选C.
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