卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列各数中是无理数的是（ ） A．3.14
B．0
C．
D．
2．在平面直角坐标系中，点P（2，3）在（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ） A．13
B．14
C．
D．15
4．如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（ ） A．a+3＜b+3
B．a﹣3＜b﹣3
C．3a＞3b
D．﹣3a＞﹣3b
5．下列各式是最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
6．一组数据分别为：12，13，14，15，15．则这组数据的众数，中位数分别为（ ）A．12，14
B．14，15
C．15，14
D．15，12
7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若∠B＝70°，则∠BAD等于（
A．20° B．30° C．40° D．50°
8．将点P（﹣5，4）向右平移4个单位，得到点P的对应点P′的坐标是（ ） A．（﹣5，8）
B．（﹣1，4）
C．（﹣9，4）
D．（﹣5，0）
9．如图，一次函数y＝2x+8的图象经过点A（﹣2，4），则不等式2x+8＞4的解集是（ ）
）
A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜0 D．x＞0
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8 B．1 C．2 D．4
11．若k＜0，一次函数y＝kx+2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
12．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，O为坐标原点，则在△OAB
内部（包括边界），纵坐标、横坐标都是整数的点共有（ ） A．90个
B．92个
C．104个
D．106个
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 13．25的算术平方根是 ．
14．一次函数y＝x+2的图象不经过第 象限．
15．某中学为了选拔一名运动员参加市运会100米短跑比赛，有甲、乙两名运动员备选，他
们最近测试的10次百米跑平均时间都是12.83秒，他们的方差分别是S2甲＝1.3（秒2），S2乙＝1.7（秒2），如果要选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派 去． 16．点P（1，﹣4）关于x轴对称的点的坐标为 ．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为 ．
18．如图，把一副七巧板按如图进行1～7编号，1～7号分别对应着七巧板的七块，如果编号5对应的面积等于5cm2，则由这幅七巧板拼得的“房子”的面积等于 cm2．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）19．解方程组：20．解不等式组：
．
．
21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，阴影部分是一个长方形，AE＝1，求阴影部分的面积．
22．如图所示，直线AB与x轴交于A，与y轴交于B．
（1）请直接写出A，B两点的坐标：A ，B ； （2）求直线AB的函数表达式； （3）当x＝5时，求y的值．
23．已知，如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．求证：
（1）OC＝OD；
（2）OP是CD的垂直平分线．
24．某校为了庆祝建国七十周年，决定举办一台文艺晚会，为了了解学生最喜爱的节目形式，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“相声”和“其它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图中信息，解答下列题：
最喜爱的节目
歌曲 舞蹈 小品 相声 其它
人数 15 a 12 10 b
（1）在此次调查中，该校一共调查了 名学生； （2）a＝ ；b＝ ；
（3）在扇形统计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数； （4）若该校共有1200名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数．
25．某社区拟建甲，乙两类摊位以激活“地摊经济”，1个甲类摊位和2个乙类摊位共占地面积14平方米，2个甲类摊位和3个乙类摊位共占地面积24平方米． （1）求每个甲，乙类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建甲，乙两类摊位共100个，且乙类摊位的数量不多于甲类摊位数量的3倍，求甲类摊位至少建多少个？
26．如图，平面直角坐标系中，直线l经过原点O和点A（6，4），经过点A的另一条直线交x轴于点B（12，0）． （1）求直线l的表达式； （2）求△AOB的面积；
（3）在直线l上求点P，使S△ABP＝S△AOB．
27．已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． （1）求证：AD＝BE； （2）求∠AEB的度数；
（3）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE． ①请你直接写出∠AEB的度数为多少度？
②探索线段CM、AE、BE之间存在怎样的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列各数中是无理数的是（ ） A．3.14
B．0
C．
D．
【分析】根据有理数和无理数的概念进行判断即可选出正确答案． 解：A．3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； B．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意； C．
是无理数，故本选项符合题意；
D．是分数，属于有理数，故本选项不合题意； 故选：C．
2．在平面直角坐标系中，点P（2，3）在（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】点P（2，3）的横、纵坐标均为正，可确定在第一象限． 解：点P（2，3）的横、纵坐标均为正，所以点P在第一象限，故选：A． 3．一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ） A．13
B．14
C．
D．15
【分析】直接根据勾股定理解答即可． 解：由勾股定理得，斜边长＝故选：A．
4．如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（ ） A．a+3＜b+3
B．a﹣3＜b﹣3
C．3a＞3b
D．﹣3a＞﹣3b
＝13，
【分析】根据不等式的性质解答即可． 解：A．∵a＞b，
∴a+3＞b+3，原变形错误，故本选项不符合题意； B．∵a＞b，
∴a﹣3＞b﹣3，原变形错误，故本选项不符合题意；
C．∵a＞b，
∴3a＞3b，原变形正确，故本选项符合题意； D．∵a＞b，
∴﹣3a＜﹣3b，原变形错误，故本选项不符合题意； 故选：C．
5．下列各式是最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 解：A.，故A不符合题意； B.，故B不符合题意； C.，故C不符合题意； D.
是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
6．一组数据分别为：12，13，14，15，15．则这组数据的众数，中位数分别为（ ）A．12，14
B．14，15
C．15，14
D．15，12
【分析】先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解． 解：数据从小到大排列为：12，13，14，15，15， 所以中位数为14；
数据15出现了2次，最多， 所以这组数据的众数为15， 故选：C．
7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若∠B＝70°，则∠BAD等于（
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质和直角三角形的性质解答．
）
解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线， ∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°， 故选：A．
8．将点P（﹣5，4）向右平移4个单位，得到点P的对应点P′的坐标是（ ） A．（﹣5，8）
B．（﹣1，4）
C．（﹣9，4）
D．（﹣5，0）
【分析】根据向右移动，横坐标加，纵坐标不变，即可得到点P的对应点P′的坐标． 解：∵将P（﹣5，4）向右平移4个单位长度得到对应点P′， ∴P′的坐标为（﹣5+4，4）， 即P′（﹣1，4）， 故选：B．
9．如图，一次函数y＝2x+8的图象经过点A（﹣2，4），则不等式2x+8＞4的解集是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜0 D．x＞0
【分析】根据已知条件和一次函数的图象得出答案即可． 解：由图象可得：当x＞﹣2时，2x+8＞4， 所以不等式2x+8＞4的解集为x＞﹣2， 故选：B．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8 B．1 C．2 D．4
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB＝2AC． 解：Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4， ∴AB＝2AC＝8． 故选：A．
11．若k＜0，一次函数y＝kx+2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由k＜0，即可得到函数y＝kx+2的图象经过第一、二、四象限，从而可以解答本题． 解：∵k＜0，
∴函数y＝kx+2的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 12．一次函数
的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，O为坐标原点，则在△OAB
内部（包括边界），纵坐标、横坐标都是整数的点共有（ ） A．90个
B．92个
C．104个
D．106个
【分析】求出A、B的坐标，分别求出横坐标是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11的纵坐标，即可得出横坐标是1、2、3、4…时点的个数，再加上在两坐标轴上的点，即可得到答案．
解：当x＝0时，y＝﹣15，∴B（0，﹣15）， 当y＝0时，0＝x﹣15， ∴x＝12， ∴A（12，0），
x＝0时，y＝﹣15，共有16个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝1时，y＝×1﹣15＝﹣13，共有14个纵坐标、横坐标都是整数的点， 同理x＝2时，y＝﹣12，共有13个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝3时，y＝﹣11，共有12个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝4时，y＝﹣10，共有11个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝5时，y＝﹣8，有9个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝6时，y＝﹣7，有8个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝7时，y＝﹣6，有7个纵坐标、横坐标都是整数的点 x＝8时，y＝﹣5，共有6个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝9时，y＝﹣3，共有4个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝10时，y＝﹣2，共有3个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝11时，y＝﹣1，共有2个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝12时，y＝0，共有1个即A点，纵坐标、横坐标都是整数的点．
在△OAB内部（包括边界），纵坐标、横坐标都是整数的点有16+14+13+12+11+9+8+7+6+4+3+2+1＝106个． 故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 13．25的算术平方根是 5 ．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根． 解：∵52＝25，
∴25的算术平方根是5． 故答案为：5．
14．一次函数y＝x+2的图象不经过第 四 象限． 【分析】根据一次函数的性质可得出答案． 解：∵1＞0，2＞0，
∴一次函数的图象经过一、二、三象限，即不经过第四象限． 故答案为：四．
15．某中学为了选拔一名运动员参加市运会100米短跑比赛，有甲、乙两名运动员备选，他
们最近测试的10次百米跑平均时间都是12.83秒，他们的方差分别是S2甲＝1.3（秒2），S2乙＝1.7（秒2），如果要选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派 甲 去． 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定． 解：∵S2甲＝1.3（秒2），S2乙＝1.7（秒2）， ∴S2甲＜S2乙，
∴选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派甲去． 故答案为：甲．
16．点P（1，﹣4）关于x轴对称的点的坐标为 （1，4） ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 解：点P（1，﹣4）关于x轴对称的点的坐标为（1，4）． 故答案为：（1，4）．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为 4 ．
【分析】由角平分线的性质可知CD＝DE＝3，根据线段的和差即可得到结论． 解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE， ∵DE＝3， ∴CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4． 故答案为：4．
18．如图，把一副七巧板按如图进行1～7编号，1～7号分别对应着七巧板的七块，如果编号5对应的面积等于5cm2，则由这幅七巧板拼得的“房子”的面积等于 80 cm2．
【分析】根据编号5的面积可求出编号4的边长，进而求出编号7的斜边长，即可求大正方形的面积，根据面积相等即可得出“房子”的面积． 解：∵编号5对应的面积等于5cm2， ∴编号5的直角边为∴编号4的边长
cm，
cm，
cm，斜边是4cm，
cm，
∴编号7的直角边是2∴大正方形的边长为4
∵“房子”是由七巧板拼成的， ∴“房子”的面积等于大正方形的面积， 即4
×4
＝80cm2，
故答案为：80．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）19．解方程组：
．
【分析】利用加减消元法进行计算即可． 解：①+②得： 2x＝16， 解得：x＝8， 将x＝8代入①得： 8+y＝11， 解得：y＝3， ∴原方程组的解为：
．
，
20．解不等式组：．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 解：
由①得：x≥1， 由②得：x＜4，
则不等式组的解集为1≤x＜4．
21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，阴影部分是一个长方形，AE＝1，求阴影部分的面积．
，
【分析】由勾股定理可求AC的长，即可求解． 解：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝
＝
＝5，
∵阴影部分是一个长方形，
∴阴影部分的面积＝AE×AC＝1×5＝5．
22．如图所示，直线AB与x轴交于A，与y轴交于B．
（1）请直接写出A，B两点的坐标：A （4，0） ，B （0，2） ； （2）求直线AB的函数表达式； （3）当x＝5时，求y的值．
【分析】（1）利用坐标上点的坐标特征写出A、B点的坐标； （2）利用待定系数法求直线AB的解析式；
（3）利用（2）中的解析式计算x＝5对应的函数值即可． 解：（1）A（4，0），B（0，2）； 故答案为：（4，0），（0，2）； （2）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（4，0），B（0，2）代入得
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；
（3）当x＝5时，y＝﹣x+2＝﹣+2＝﹣．
23．已知，如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．求证：
（1）OC＝OD；
（2）OP是CD的垂直平分线．
【分析】（1）先根据P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB得出PC＝PD，由HL定理得出△POC≌△POD，故可得出OC＝OD；
（2）根据P是∠AOB平分线上的一点得出∠COP＝∠DOP，根据SAS定理得出△COE≌△DOE，由此可得出结论．
解：（1）证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC＝PD，
在Rt△POC与Rt△POD中， ∵
，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL）， ∴OC＝OD；
（2）证明：∵P是∠AOB平分线上的一点， ∴∠COP＝∠DOP ∵由（1）知，OC＝OD， ∴在△COE与△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE，
∴CE＝DE，OE⊥CD，即OP是CD的垂直平分线．
24．某校为了庆祝建国七十周年，决定举办一台文艺晚会，为了了解学生最喜爱的节目形式，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“相声”和“其它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图中信息，解答下列题：
最喜爱的节目
歌曲 舞蹈 小品 相声 其它
人数 15 a 12 10 b
（1）在此次调查中，该校一共调查了 50 名学生； （2）a＝ 8 ；b＝ 5 ；
（3）在扇形统计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数； （4）若该校共有1200名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数．
【分析】（1）从表格和统计图中可以得到喜欢“小品”的人数为12人，占调查人数的24%，可求出调查人数，
（2）舞蹈占50人的16%可以求出a的值，进而从总人数中减去其他组的人数得到b的值，
（3）先计算“歌曲”所占的百分比，用360°去乘即可，
（4）样本估计总体，用样本喜欢“相声”的百分比估计总体的百分比，进而求出人数．解：（1）12÷24%＝50（人）， 故答案为50．
（2）a＝50×16%＝8（人）， b＝50﹣15﹣8﹣12﹣10＝5（人）， 故答案为：8，5． （3）360°×
＝108°
答：“歌曲”所在扇形的圆心角的度数为108°； （4）1200×
＝240（人），
答：该校1200名学生中最喜爱“相声”的学生大约有240人．
25．某社区拟建甲，乙两类摊位以激活“地摊经济”，1个甲类摊位和2个乙类摊位共占地面积14平方米，2个甲类摊位和3个乙类摊位共占地面积24平方米． （1）求每个甲，乙类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建甲，乙两类摊位共100个，且乙类摊位的数量不多于甲类摊位数量的3倍，求甲类摊位至少建多少个？
【分析】（1）直接利用“1个甲类摊位和2个乙类摊位共占地面积14平方米，2个甲类 摊位和3个乙类摊位共占地面积24平方米”分别得出方程，组成方程组，进而得出答案；（2）根据“乙类摊位的数量不多于甲类摊位数量的3倍”得出不等式，求出答案． 解：（1）设每个甲类摊位占地x平方米，每个乙类摊位占地y平方米，
依题意得：解得：
，
，
答：每个甲类摊位占地6平方米，每个乙类摊位占地4平方米；
（2）设建造甲类摊位m个，则建造乙类摊位（100﹣m）个， 依题意得：100﹣m≤3m， 解得：m≥25．
答：甲摊位至少建25个．
26．如图，平面直角坐标系中，直线l经过原点O和点A（6，4），经过点A的另一条直线交x轴于点B（12，0）． （1）求直线l的表达式； （2）求△AOB的面积；
（3）在直线l上求点P，使S△ABP＝S△AOB．
【分析】（1）设直线l的表达式为y＝kx，把A（6，4）代入，利用待定系数法即可求解；（2）根据三角形面积公式即可求解；
（3）设P点坐标为（x，x）．当直线l上的点P使S△ABP＝S△AOB时，分两种情况：①，点P在线段OA上；②点P在线段OA的延长线上． 解：（1）设直线l的表达式为y＝kx， 把A（6，4）代入，得4＝6k， 解得k＝，
所以直线l的表达式为y＝x；
（2）∵A（6，4），B（12，0）， ∴△AOB的面积＝×12×4＝24；
（3）当直线l上的点P使S△ABP＝S△AOB时，分两种情况： 设P点坐标为（x，x）．
①如图1，点P在线段OA上，则AP＝OA，
根据题意得，解得x＝4， 则P（4，）；
＝＝，
②如图2，点P在线段OA的延长线上，则AP＝OA，
根据题意得，解得x＝8， 则P（8，
）．
＝＝，
故所求P点坐标为（4，）或（8，）．
27．已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． （1）求证：AD＝BE； （2）求∠AEB的度数；
（3）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE． ①请你直接写出∠AEB的度数为多少度？
②探索线段CM、AE、BE之间存在怎样的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD＝BE；
（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC＝120°，从而可以求出∠AEB的度数；
CD＝CE，（3）①首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝90°，据此判断出∠ACD＝∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；
CD＝CE，CM⊥DE，②根据DCE＝90°，可得CM＝DM＝EM，所以DE＝DM+EM＝2CM，据此判断出AE＝BE+2CM．
【解答】（1）证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∵∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE；
（2）解：∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵△DCE为等边三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝60°， ∵点A、D、E在同一直线上， ∴∠ADC＝120°， ∴∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°；
（3）解：①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝180﹣45＝135°， ∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°； ②AE＝BE+2CM．
理由：如图2，∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE， ∴CM＝DM＝EM， ∴DE＝DM+EM＝2CM， ∵△ACD≌△BCE（已证）， ∴BE＝AD，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
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