信号系统习题解答3版第三章

3-1 已知周期矩形脉冲信号的重复频率

f15 kHz，脉宽20 s，幅度E10V，如图题

所示。画出该信号频谱图。并问用可变中心频率的选频回路能否从该周期矩形脉冲信号中选取出5，12，20，50，80及100 kHz频率分量来？

图 题3-1

解：f5kHz，20μs，E10V，T11200s，12f104 f频谱图为

n

2

5010080150

520 f(kHz)

从频谱图看出，可选出5、20、80kHz的频率分量。

3-3 求图题3-3 所示周期锯齿信号指数形式的傅里叶级数，并大致画出频谱图。

c1

图 题3-3

解： f(t)在一个周期（0，T1）内的表达式为： f(t)E(tT1) T11T11T1EjEjn1tFnf(t)edt(tT1)ejn1tdtT10T10T12n(n1,2,3)

1T11T1EEF0f(t)dt(tT1)dt

T10T10T12傅氏级数为：

f(t)EjEj1tjEj1tjEj21tjEj21teeee22244

FnE2n(n0)2(n1,2,3) n(n0)2

频谱图为： E 2 514131211 514131211FnE2E4E6E8E10121314151n21213141512

3-5 利用信号f(t)的对称性，定性判断图题3-5中各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。

图 题3-5

解： (a) f(t)为偶函数及奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波的余弦分量。 (b) f(t)为奇函数及奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波的正弦分量。

(c) f(t)为偶谐函数，而且若将直流分量（1/2）去除后为奇函数，所以傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的正弦分量。

(d) f(t)为奇函数，傅氏级数中只包含正弦分量。

(e) f(t)为偶函数及偶谐函数，傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的余弦分量。 (f) f(t)为奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波分量。

3-6 已知周期函数f(t)前四分之一周期的波形如图题3-7所示。根据下列各种情况的要求画出f(t)在一个周期(0tT)的波形。 （1）f(t)是偶函数，只含有直流分量和偶次谐波分量； （2）f(t)是偶函数，只含有奇次谐波分量；

（3）f(t)是偶函数，含有直流分量、偶次和奇次谐波分量。

图 题3-6

TT解：（1）由f(t)f(t)画出f(t)在,0内的波形，由f(t)在,0内的波形及

44TTTTf(t)是偶谐函数，它在,内的波形与它在,0内的波形相同，它在,T内

4242T的波形与它在0,内的波形相同。根据上述分析可画出f(t)在0,T内的波形。按上

2述类似的方法可画出（2）和（3）。 f(t)

T0 T

42

f(t) （2） 0 TT 24

（3） f(t)

0 T T 24T t

T t

3T 4T t

3-8 求图题3-8所示F(j)的傅里叶逆变换f(t)。

图 题3-8

jt0F(j)Ae解：（a）

(00)

1f(t)200Aejt0ejt1Aj(tt0)0j(tt0)0dee

2j(tt0)A0Sa0(tt0)

jAe2(00)F(j)（b）jAe2(0)0

0jjA00t0t102jt2jtf(t)sinSa0Aeed0Aeed

222A(cos0t1) t

3-11 求函数Sa(ct)的傅里叶变换。 解：利用对偶性求

因为EG(t)ESa(t)，所以 ESa()2EG()2EG ()22t2Sa()G()

2令c2(ct)，则 SacG2c( )即：FSa(ct)cu(c)u(c)

3-13 若已知矩形脉冲的傅里叶变换，利用时移特性求图题3-13所示信号的傅里叶变换，并大致画出幅度谱。

解：设f1(t)Eu(t)u(t)，则

22F1(j)ESa，因为f(t)f(t)f(t)，所以 11222jj题 图3-13 2F(j)F1(j)(ee2)2jESasin 22F(j)2ESa2

sin2 F(j) 

4 2 0

2

4



3-16 已知三角脉冲信号

2f1(t)如图题

3-21(a)所示。试利用有关性质求图题3-21(b)中的

f2(t)f1tcos0t的傅里叶变换F2(j)。

图 题3-16

解：设Ff1(t)F1(j)j则Ff1(t)F1(j)e2E2Sa 242F12(j)

1而Ff2(t)Ff1(t)cos0tF12j(0)F12j(0)=

22

j1F1j(0)e2(0)2F1j(0)e2j(0)2E420eSa4j020Sae4j02ej2

3-17 利用傅里叶变换的微分与积分特性，求图题3-17所示信号的傅里叶变换。

图 题3-17

解：（3）3(t)df3(t)4u(t1)u(t2) dt3j3(j)4Sae2

2f3()3,f3()1

4Sa3(j)2ej22() F3(j)3f3()f3()()jj

3-18 若已知Ff(t)F(j)，利用傅里叶变换的性质求下列信号的傅里叶变换。

（1）tf(2t) （2）(t2)f(2t) （3）tdf(t) dt （4）(1t)f(1t)

d1jdj解：（1）F[tf(2t)]d2Fj22dFj2

（2）F(t2)f(2t)Ftf(2t)2f(2t)jdF(j/2)F(j/2)

2d（3）FtdjF(j)df(t)dF(j)jF(j) dtdd（4）F(1t)f(1t)Ff(t1)tf(1t)F(j)ejjF(j)ejjdF(j)jeF(j)ejddF(j)ej ddF(j)jje

d

3-27 周期矩形脉冲信号f(t)如图题3-27所示。

（1）求f(t)的指数形式的傅里叶级数，并画出频谱图Fn； （2）求f(t)的傅里叶变换F(j)，并画出频谱图F(j)。

图 题3-27

解： (1)

F0(j)ESa22Sa FnF0(j)F(j)11n0San1SaT1n4n22212 j2t en指数形式的傅里叶级数为：f(t)频谱图如下图所示，图中：1

nFenjn1t1nSa2n22

12Fn31415131112151（2）Ff(t)2nFn(n1)2n2n21San1(n1) 2nnSa 频谱图为

51

F(j)()3141311121513-33 求下列函数的拉氏变换，设L[f(t)]F(s)。 （1）(12t)e

t

（3）e(t)cos0t

e3te5t（8） t解：（1） （3）

(12t)e(ta)t12s31 (t2) 22s1(s1)(s1)satecos0teecos0t

eas1s (cost)02222

(s1)0s0e3te5t11s5()dln （8）  s35ts3

3-29 求下列函数的拉氏变换，注意阶跃函数的跳变时间。

t（1）f(t)eu(t2)

(t2)u(t2) （2）f(t)e(t2)u(t) （3）f(t)e解：（1）

tt2(t2)u(t2) f(t)eu(t2)eeF(s)e2e2s2(t2)(1e2ss1s11)

e ut22)(te)e (（） f （3）

u(t2)

F(s)e2sf(t)e(t2)1e2ss1s1

u(t)eeu(t)

2t21eF(s)e2s1s1

3-31 求下列函数的单边拉普拉斯逆变换。

3s（2）(s4)(s2)

解：（2）

s3es（3）(s1)3(s2) （6）4s(s21)

3s63(6e4t3e2t)u(t)

(s4)(s2)s4s2 （3）

s3ABCD332s1s2 (s1)(s2)(s1)(s1)where A(s1)3s3|s12;3(s1)(s2)ds313 B(s1)|1;|s132s1ds(s1)(s2)(s2)s323(s1)||1; s133s1(s1)(s2)(s2)s3 D(s2)|s213(s1)(s2)1d C2ds22t2tu(t) f(t)(tt1)ee2 （6）

eABsCs2e 24s(s1)ss111|; s0244s(s1)22swhere As1BsCs14Bs4C1so F1(s)2; 224ss14s(s1)4s(s1)1so B, C0

41f(t)1cos(t1)u(t1)

4

3-32 试利用拉氏变换的时域卷积定理求下列拉氏变换F(s)的原函数f(t)。

（1）

12(sa)

1112解：

(sa)sasa所以

f(t)eatu(t)ateu()ttat0edtaet ()ut

3-34 分别求下列函数的逆变换之初值和终值。

10(s2)s3s22s1（1）s(s5) （3）s22s1

10(s2)解：（1） （3）s(s5)

f(0)limssF(s)lim10(s2)sss(s5)10f()lim10(s2)s s0sF(s)lims0s(s5)4s3s22s1s22s1s13s2s22s1 f(0)lim3sssFs)lim20(sss22s13f()lims0sFs)lim3s2 0(s0ss22s10