全国自考高等数学（工专）模拟试卷11 (题后含答案及解析)
题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题
单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1． 函数y=lg(x2一1)+
的定义域为 【 】
A．(一∞，一1) B．(1，+∞) C．(一1，1) D．[1，+∞)
正确答案：B
解析：由lg(x2一1)知x2一1>0即x>1或x知x+1>0，即x>一1，所以应有
即解得x>1，所以选
B．
2． 曲线y=x3(x—4) 【 】 A．有一个拐点 B．有两个拐点 C．有三个拐点 D．没有拐点
正确答案：B
解析：y=x3(x一4)，则y′=3x2 (x一4)+x3=4x3一12x2，y″=12x2一24x=12x(x一2)，令y″=0，得x=0，x=2．当x0；当0＜x＜2时，y″2时，y″>0．在x=0，x=2点处，它们左右两侧的二阶导数都变号，故(0，0)，(2，一16)都是曲
线的拐点．
3． 方程y?+
y=一x满足条件y|x=2=0的解是y= 【 】
A．
B． C． D．
正确答案：A 4． 若函数f(x)在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则 【 】 A．至少存在一点ξ∈(a，b)，使f?(ξ)=0 B．至少存在一点ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0 C．只存在一点ξ∈(a，b)，使f?(ξ)=0 D．不一定存在ξ∈(a，b)，使f?(ξ)=0
正确答案：D 解析：令f(x)=sinx，则f(x)在(0，2π)内可导，且f(0)=f(2π)=0，f′(x)=cosx=0，所以排除选项C；令f(x)=x2+1，在（—2，2）内f(x)可导，且f(-2=f(2)，但不存在ξ∈（—2，2）使得f(ξ)=0，排除选项B；令f(x)=
显然，f(x)在（0，2）上可导，
所以f(x)在x=2
处不连续，且有f(2)=0=f(0)，满足题设条件，但在（0，2）上f′(x)=1，不为零，
所以在（0，2）上不存在点ξ，使f(ξ)=0，排除选项A．
5． 设矩阵A为奇数阶方阵，且AA?=E，则|A|= 【 】 A．0 B．1 C．一1
D．一1或1
正确答案：D
填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6． 设f(x)=在x=0处可导，则a=______．
正确答案：2
7． 设y=f(x)=
则y’= ______．
正确答案：
8． 矩阵
=______．
正确答案：
解析：
9． 设矩阵A=
，B=， 则A’—2B=______．
正确答案：
解析：A′—2B=
10． 函数y=
在区间[0，1]上的平均值为______．
正确答案：ln2
解析：由平均值公式∫abf(x)dx==ln(1+x)|01=ln2．
11． 设f(x)=
正确答案：2 解析：f(x)在
则k=______时，f(x)在x=0处连续．
x=0处连续，必有
f(0)=k—1，故k=2．
12． 设f(x)=在(一∞，+∞)内连续，则
a=______．
正确答案：—1
解析：f(x)在(一∞，+∞)内连续，则f(x)在x=0处连续，则有
所以a=—1．
13． 若在(a，b)内的曲线弧y=f(x)是凸的，则曲线必位于其上每一点处切线的______方．
正确答案：下
14． 若级数un收敛于s，则un收敛于______．
正确答案：S—u1 15． 设y(n-2)=sinx一ax+
，(a>0，a≠1)则y(n)=______．
正确答案：—sinx—axln2a
计算题
16． 求极限
正确答案：因为x→∞时，
所
以且原式
故有夹逼定理知，原极限值
为1．即
17． 试判断级数 正
确
答
案
：
由
于
的敛散性． 此
级
数
的
前
几
项
和．所以
，故该级数收敛，且
18． 讨论函数y=2x2一12x+6的单调性．
正确答案：对y=2x2一12x+6求导得y′=4x一12．令y′=0得x=3，当x3
时y′>0．因此y在(一∞，3)内单调减少，在(3，+∞)内单调增加．
19． 求定积分∫01
正确答案：
20． 计算定积分∫19
正确答案：令
t=
，则
t2=x，2tdt=dx，所以
21． 利用函数的单调性证明：当x>0时，1n(1+x)>
正确答案：本题即需证x>0时，(1+x)ln(1+x)>arctanx，令f(x)=(1+x)ln(1+x)一arctanx，则f′(x)=ln(1+x)+1一
= ln(1+x)+
显然x>0时，有f′
(x)>0．又因为f(x)在[0，+∞)上连续，所以f(x)在[0，+∞)上单调增加．于是当x>0时，有 f(x)>f(0)=0，即 (1+x)ln(1+x)一arctanx>0，也即
ln(1+x)> (x>0)成立．
22． 证明：双曲线xy=1上任意点处切线与两坐标轴围成三角形面积为定值．
正确答案：(x0，
)为曲线上任一点．切线斜率k=f′
(x0)切线方程化为截距
式
(定值)
23． 判断级数
的敛散性．
正确答案：由于级数的前n项和sn为
由函数y=ln(x+1)的图像知极限
ln(n+1)不存在，所以极限sn不存在，故级数发散．而故
级数也发散．
综合题
24． 求由抛物线y=x2与直线y=1围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积．
正确答案：曲线y=x2与直线Y一1所围成的平面图形如右图阴影部分所示：
则该平面图形绕y轴旋转一周所成的体积V=∫-11π
(x2)2dx=x5|-11=π．
25． 求函数的极值：
正确答案：函数的定义域为(一∞，+∞)，
驻点：，不可导点：x=0．列表
所以函数在x=0处有极大
值0；在处有极小值
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