2019届重庆市西南大学附属中学校 高三上学期第三次月考数学（文）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 号贴在答题卡上的指定位置。
位 封座2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。
密 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
号一、单选题
不场考1．复数𝑧=1+2i的共轭复数𝑧̅在复平面中对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．抛物线𝑦=4𝑥2的焦点坐标为
订 A．(0 ， 1
) B．(0 ， 1
) C．(1
， 0) D．(1
4
16
4
16
， 0)
2
3．过抛物线𝑥=4𝑦的焦点𝐹作直线，交抛物线于𝑃1(𝑥1 ， 𝑦1) ， 𝑃2(𝑥2 ， 𝑦2)两点，若𝑦1+ 装 𝑦2=6，则| 𝑃1𝑃2 |=
号证A．5 B．6 C．8 D．10 考准4．抛物线𝑦2=8𝑥的焦点到双曲线𝑥2−𝑦2 3
=1其中一条渐近线的距离为
只 A．√3 2
B．1 C．√3 D．2
𝑥+𝑦−1⩾0
5．若实数𝑥 ， 𝑦满足约束条件{𝑥+2𝑦−2⩽0 ，则𝑧=2𝑥+𝑦的最大值是
卷 𝑦⩾−1 A．3 B．7 C．5 D．1
名姓6．在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1+𝑎5−𝑎8=1 ， 𝑎9−𝑎2=5，则𝑎5= 此 A．4 B．5 C．6 D．7
7．偶函数𝑓(𝑥)在(−∞ ， 0]上是增函数，且𝑓(1)=−1，则满足𝑓(2𝑥−3)>−1的实数𝑥的取值 范围是
级A．(1 ， 2) B．(−1 ， 0) C．(0 ， 1) D．(−1 ， 1)
班
8．若2𝑥+4𝑦=1，则𝑥+2𝑦的取值范围为
A．(0 ， 2] B．[0 ， 2] C．[− 2 ， +∞) D．(− ∞ ， −2]
9．已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥2−𝑚𝑥−𝑚)e𝑥+2𝑚(𝑚∈𝑅，e是自然对数的底数)在𝑥=0处取得极小值，则𝑓(𝑥)的极大值是
A．4e−2 B．4e2 C．e−2 D．e2
10．如图，在直角梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=2𝐴𝐷=2𝐷𝐶，𝐸为𝐵𝐶边上一点，⃗⃗𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =3 ⃗𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝐹为𝐴𝐸的中点，则⃗⃗⃗𝐵𝐹
⃗⃗⃗ =
A．1
2
2
1
3⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 −3𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B．−3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3
𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C．−123
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 +3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 D．21
3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 −3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷
11．过双曲线
𝑥2𝑦2𝑎
2−
𝑏2
=1 (𝑎 ， 𝑏>0)的左焦点𝐹作圆𝑥2+𝑦2=𝑎2的切线，切点为𝑇，延长𝐹𝑇
交双曲线右支于点𝑃．若线段𝑃𝐹的中点为𝑀，𝑂为坐标原点，则| 𝑂𝑀 |−| 𝑀𝑇 |与𝑏−𝑎的大小关系是
A．| 𝑂𝑀 |−| 𝑀𝑇 |=𝑏−𝑎 B．| 𝑂𝑀 |−| 𝑀𝑇 |<𝑏−𝑎 C．| 𝑂𝑀 |−| 𝑀𝑇 |>𝑏−𝑎 D．无法确定
12．已知函数𝑓(𝑥)={ln(𝑥+1) ， 𝑥⩾0 −𝑥 · e𝑥 ， 𝑥<0，函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑓(𝑥))−1
2零点的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
13．𝑎→
=(1 ， 2) ， 𝑏→
=(−2 ， 𝑦)，若𝑎→
∥𝑏→
，则| 𝑏→
|=________________． 14．已知sin𝛼+cos𝛽=1，cos𝛼+sin𝛽=0，则sin(𝛼+𝛽)__________．
15．已知点𝐴是抛物线𝐶 ： 𝑥2=4𝑦的对称轴与准线的交点，点𝐵是抛物线的焦点，点𝑃在抛物线上，且满足| 𝑃𝐴 |=𝑚| 𝑃𝐵 |，当𝑚取最大值时，点𝑃恰好在以𝐴 ， 𝐵为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为________________．
16．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑎𝑥2在(−1 ， 1)上没有最小值，则𝑎的取值范围是________________．
三、计算题
17．在△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴 ， 𝐵 ， 𝐶的对边分别为𝑎 ， 𝑏 ， 𝑐，已知𝑏=𝑎cos𝐶+2𝑐． (1)求角𝐴；
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2)若⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 · 𝐴𝐶 =3，求𝑎的最小值． 18．已知圆𝐶 ： 𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦+3=0．
(1)若直线𝑙过点(−2 ， 0)且被圆𝐶截得的弦长为2，求直线𝑙的方程；
(2)从圆𝐶外一点𝑃向圆𝐶引一条切线，切点为𝑀 ， 𝑂为坐标原点，满足| 𝑃𝑀 |=| 𝑃𝑂 |，求点𝑃的轨迹方程及| 𝑃𝑀 |的最小值．
19．设数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且1 ， 𝑎𝑛 ， 𝑆𝑛成等差数列，𝑛∈𝑁∗． (1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式； (2)若
1𝑎1+𝑎2
1
(2)当𝑥∈[2 ， 4]时，𝑓(𝑥)<𝑥恒成立，求𝑎的取值范围．
+
1𝑎2+𝑎3𝑥2𝑎
2+
+⋯+
𝑦2𝑏21𝑎𝑛+𝑎𝑛+1
=
𝑓(𝑛)
2𝑎𝑛+1
，当𝑓(𝑛)=8时，求𝑛．
√22
20．已知椭圆
=1 (𝑎>𝑏>0)右焦点𝐹(1 ， 0)，离心率为，过𝐹作两条互相垂直的弦
𝐴𝐵 ， 𝐶𝐷，设𝐴𝐵 ， 𝐶𝐷中点分别为𝑀 ， 𝑁．
(1) 求椭圆的标准方程；
(2)求以𝐴 ， 𝐵 ， 𝐶 ， 𝐷为顶点的四边形的面积的取值范围；
21．已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥2+𝑎ln𝑥；
(1)当𝑎<0时，∃𝑥>0，使𝑓(𝑥)⩽0成立，求𝑎的取值范围；
(2)令𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−(𝑎+1)𝑥 ， 𝑎∈(1 ， e]，证明：对∀𝑥1 ， 𝑥2∈[1 ， 𝑎]，恒有| 𝑔(𝑥1)−𝑔(𝑥2) |<1．
𝑥=2+𝑡cos𝛼
22．已知直线𝑙的参数方程为{（𝑡为参数），在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，以𝑂为
𝑦=𝑡sin𝛼极点，𝑥轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝑀的方程为𝜌2(1+sin2𝜃)=1.
（1）求曲线𝑀的直角坐标方程；
（2）若直线𝑙与曲线𝑀只有一个公共点，求倾斜角𝛼的值. 23．已知函数𝑓(𝑥)=| 𝑥−𝑎 |+| 𝑥−3 |． (1)若𝑓(𝑥)的最小值为4，求𝑎的值；
√101
2019届重庆市西南大学附属中学校 高三上学期第三次月考数学（文）试题
数学 答 案
参考答案 1．D 【解析】 【分析】
由已知z直接求𝑧̅，求得坐标得答案． 【详解】 ∵z=1+2i， ∴𝑧=1﹣2i．
∴复数𝑧在复平面内对应的点的坐标为（1，-2），位于第四象限． 故选：D． 【点睛】
本题考查了复数的几何意义，是基础题． 2．B 【解析】 【分析】
把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标． 【详解】
解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=11
4y，p=8
，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0，1
16）， 故选：B． 【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．
3．C 【解析】
试题分析：根据抛物线中焦点弦长公式|𝑃1𝑃2|=𝑦1+𝑦2+𝑝，可得|𝑃1𝑃2|=8，故选择C．
考点：抛物线焦点弦问题． 4．C 【解析】 【分析】
求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求． 【详解】
抛物线y2=8x的焦点为（2，0）， 双曲线x2﹣𝑦2
3=1的一条渐近线为y=√3x， 则焦点到渐近线的距离为d=|2√3|√3+1=√3． 故选：C． 【点睛】
本题考查抛物线和双曲线的性质，主要考查渐近线方程和焦点坐标，运用点到直线的距离公式是解题的关键．
5．B 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值． 【详解】
𝑥+𝑦−1≥0
作出x，y满足约束条件{𝑥+2𝑦−2≤0 对应的平面区域如图：（阴影部分）．
𝑦≥−1由z=2x+y得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大， 此时z最大．
由{
𝑦=−1𝑥+2𝑦−2=0 ，解得A（4，﹣1）， 代入目标函数z=2x+y得z=2×4﹣1=7． 即目标函数z=2x+y的最大值为7． 故选：B．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
6．C 【解析】 【分析】
利用a1+a9 =a2+a8，将𝑎1+𝑎5−𝑎8=1与𝑎9−𝑎2=5作和可直接得𝑎5. 【详解】
在等差数列{an}中，由𝑎1+𝑎5−𝑎8=1与𝑎9−𝑎2=5作和得： 𝑎1+𝑎5+𝑎9−𝑎8−𝑎2=（𝑎1+𝑎9）+𝑎5-（𝑎8+𝑎2） ∴a1+a9 =a2+a8，∴𝑎1+𝑎5+𝑎9−𝑎8−𝑎2=𝑎5=6． ∴a5=6． 故选：C． 【点睛】
本题考查等差数列的性质，是基础的计算题． 7．A 【解析】 【分析】
由偶函数𝑓(𝑥)在(−∞,0]上是增函数，可得函数𝑓(𝑥)在(0,+∞)上是减函数，结合𝑓(1)=−1，原不等式转化为|2𝑥−3|<1，根据绝对值不等式的解法与指数函数的性质可得结果.
【详解】
因为偶函数𝑓(𝑥)在(−∞,0]上是增函数， 所以函数𝑓(𝑥)在(0,+∞)上是减函数， 由𝑓(1)=−1且满足𝑓(2𝑥−3)>−1=𝑓(1)，
等价于𝑓(|2𝑥−3|)>𝑓(1)， |2𝑥−3|<1，
可得−1<2𝑥−3<1,2<2𝑥<4,1<𝑥<2， 实数𝑥的取值范围是(1,2),故选A. 【点睛】
本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在
对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
8．D 【解析】 【分析】
已知2𝑥+4𝑦=1,利用基本不等式求解，等号成立的条件是x=2y=-1． 【详解】
由均值不等式，得2𝑥+4𝑦=2𝑥+22𝑦≥2√2𝑥∙22𝑦=2√2𝑥+2𝑦（当且仅当x=2y=-1时等号成立）
所以𝑥+2𝑦≤−2. 故选D. 【点睛】
此题考查了由条件等式求取值范围问题，在使用平均值不等式求最值注意正、定、等，体现了消元的数学思想方法．是中档题．
9．A 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数f′（x），由f′（0）=0解得m=0．可得函数解析式，由导函数大于0和小于0得到原函数的单调区间，进而求得极大值.
【详解】
由题意知，f′（x）=[x2+（2﹣m）x﹣2m]ex， 由f′（0）=﹣2m=0，解得m=0． 此时f（x）=x2ex，f′（x）=（x2+2x）ex， 令f′（x）=0，解得x=0或x=-2，
且函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2），（0，+∞），
单调递减区间是（﹣2，0）所以函数f（x）在x=-2处取得极大值，且有f（-2）=4e−2 故选A. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值，考查数学转化思想方法，是中档题． 10．B 【解析】 【分析】
利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得. 【详解】 由图可知：
𝐵𝐹→
=1𝐵𝐴→
+1𝐵𝐸→
，𝐵𝐸→
=2𝐵𝐶→
，𝐵𝐶→
=𝐴𝐶→
﹣𝐴𝐵→
，𝐴𝐶→
=→
→
→
1→
2
2
3
𝐴𝐷+𝐷𝐶，𝐷𝐶=2
𝐴𝐵，
∴𝐵𝐹→
=﹣1𝐴𝐵→
1
→
1→
→
2→1→
2
+3
（𝐴𝐷+2
𝐴𝐵﹣𝐴𝐵）=﹣3
𝐴𝐵+3
𝐴𝐷，
故选：B．
【点睛】
本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．A 【解析】 【分析】
将点P置于第一象限．设F1是双曲线的右焦点，连接PF1．由M、O分别为FP、FF1的中点，知|MO|=1
2|PF1|．由双曲线定义，知|PF|﹣|PF1|=2a，|FT|=√|𝑂𝐹|2−|𝑂𝑇|2=b．由此知|MO|﹣|MT|=1
2（|PF1|﹣|PF|）+|FT|=b﹣a．
【详解】
将点P置于第一象限．
设F1是双曲线的右焦点，连接PF1
∵M、O分别为FP、FF1的中点，∴|MO|=1
2|PF1|． 又由双曲线定义得，
|PF|﹣|PF1|=2a，
|FT|=√|𝑂𝐹|2−|𝑂𝑇|2=b． 故|MO|﹣|MT| =1
2|PF1|﹣|MF|+|FT|
=12（|PF1|﹣|PF|）+|FT| =b﹣a． 故选：A．
【点睛】
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
12．D
【解析】 【分析】
作出函数的图象，可求出𝑥<0时𝑓(𝑥)的最值为1
<1
，先求出𝑓(𝑥)=1
𝑒
2
2
的根，然后利用数形结合
转化为两个函数的交点个数即可．
【详解】
作出函数f（x）的图象如图：
当 𝑥<0时，由𝑓(𝑥))=−𝑥 · e𝑥知𝑥=−1时函数取得极大值也是最大值为11
𝑒，此时𝑓(𝑥))=2无解， 当 𝑥⩾0时，由𝑓(𝑥))=11
12得ln(𝑥+1)=2, ，即𝑥=𝑒2
−1>1
2 ， 由𝑔（𝑥）=𝑓（𝑓（𝑥））−11
2=0 得𝑓（𝑓（𝑥））=2 ， 则𝑓（𝑥）=𝑒12
−1，有一个交点，
则函数𝑔（𝑥）=𝑓（𝑓（𝑥））−1
2=0的零点个数是1个， 故选：D．
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，利用函数与方程的关系将条件转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．
13．2√5 【解析】 【分析】
根据𝑎→
∥𝑏→即可得出y=-4，从而得出| 𝑏→
|=2√5 【详解】 ∵𝑎→
∥𝑏→
； ∴y=-4； ∴|𝑏→ |=2√5． 故答案为2√5 【点睛】
考查向量平行时坐标的关系，向量坐标的运算，属于基础题． 14．−12 【解析】
分析：先根据条件解出sin𝛼，cos𝛽，再根据两角和正弦公式化简求结果.
详解：因为sin𝛼+cos𝛽=1，cos𝛼+sin𝛽=0，所以(1−sin𝛼)2+(−cos𝛼)2=1,∴sin𝛼=
11
2
,cos𝛽=2，
因此sin(𝛼+𝛽)=sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽=1
1
2×2−cos2𝛼=1
21
1
1
4−1+sin𝛼=4−1+4=−2. 点睛：三角函数求值的三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 15．√2+1
【解析】
过点𝑃作准线的垂线，垂足为𝑁，则由抛物线的定义可得：|𝑃𝑁|=|𝑃𝐵|， ∵|𝑃𝐴|=𝑚|𝑃𝐵|，∴|𝑃𝐴|=𝑚|𝑃𝑁|，则|𝑃𝑁|
1
|𝑃𝐴|=𝑚， 设𝑃𝐴的倾斜角为𝛼，则sin𝛼=1
𝑚，
当𝑚取得最大值时，sin𝛼最小，此时直线𝑃𝐴与抛物线相切，
设直线𝑃𝐴的方程为𝑦=𝑘𝑥−1，代入𝑥2=4𝑦，可得𝑥2=4(𝑘𝑥−1)，即𝑥2−4𝑘𝑥+4=0， ∴𝛥=16𝑘2−16=0，即𝑘=±1，∴𝑃(2,1)，双曲线的实轴长为𝑃𝐴−𝑃𝐵=2(√2−1)， ∴双曲线的离心率为22(√2−1)=√2+1，故答案为√2+1.
点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，有一定的难度；过点𝑃作准线的垂线，垂足为𝑁，则由抛物线的定义结合|𝑃𝐴|=𝑚|𝑃𝐵|，可得
|𝑃𝑁|1
|𝑃𝐴|
=𝑚
，设𝑃𝐴的倾斜角为𝛼，当𝑚
取得最大值时，sin𝛼最小，此时直线𝑃𝐴与抛物线相切，求出𝑃点坐标，利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率.
16．（−1,∞） 【解析】 【分析】
先求导，利用f′（x）=0时，x=0或x=2𝑎
3,讨论两个极值点与（-1，1）的关系，再根据导数和函数的单调性最值的关系将极值与端点处函数值作比较得到a的范围.
【详解】
∵f（x）=x3﹣ax，∴f′（x）=3x2﹣2ax=x(3x-2a)，当f′（x）=0时，x=0或x=2𝑎
3,
（1）当2𝑎∈（﹣∞，﹣1]时，即a≤−33
2
时，f(x)在（-1，0）单调递减，在（0，1）单调递增，
此时x=0时f（x）取得最小值，所以舍去.
（2）当-1<2𝑎
2𝑎
2𝑎
3<0时，f(x)在（-1，3）单调递增，在（3，0）单调递增减，在（0，1）单调递增，由题意𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑎𝑥2在(−1 ， 1)上没有最小值，
则有{
−1<
2𝑎
<0
𝑓(0)>3𝑓(−1)
⇒−1 （4）当0<2𝑎 2𝑎 3<1时，f(x)在（-1，0）单调递增，在（0，3）单调递增减，在（2𝑎 3，1）单调递增，由题意𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑎𝑥2在(−1 ， 1)上没有最小值， 则有{0< 2𝑎 3<1 3 𝑓(2𝑎 )>𝑓(−1) ⇒0 2𝑎3 ≥1时，即a≥3 2 时，f(x)在（-1，0）单调递增，在（0，1）单调递减， 此时f(x)在(−1 ， 1)上没有最小值. 综上：a>-1. 故答案为（−1,∞）. 【点睛】 本题考查了导数和函数的最值的关系，运用分类讨论思想，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题 17．（1）𝐴=π 3（2）√6 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA的值，可得A的值． （Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式求得a的最小值． 【详解】 解：(1) ∵△𝐴𝐵𝐶中，𝑏−𝑎cos𝐶=𝑐 2， ∴由正弦定理知，sin𝐵−sin𝐴cos𝐶=12sin𝐶，∵𝐴+𝐵+𝐶=π， ∴sin𝐵=sin(𝐴+𝐶)=sin𝐴cos𝐶+cos𝐴sin𝐶， ∴sin𝐴cos𝐶+cos𝐴sin𝐶−sin𝐴cos𝐶=12sin𝐶， ∴cos𝐴sin𝐶=1 2sin𝐶， ∴cos𝐴=1 π 2，∴𝐴=3． (2) 由 (1)及⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵 ⃗ · 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =3得𝑏𝑐=6， 所以𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos𝐴=𝑏2+𝑐2−6⩾2𝑏𝑐−6=6 当且仅当𝑏=𝑐时取等号，所以𝑎的最小值为√6 【点睛】 本题主要考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式的应用，属于中档题．18．（1）x＝－2或3x－4y＋6＝0（2）2x－4y＋3＝0，3√510 【解析】 【分析】 （1）⊙C：x2+y2+2x﹣4y+3=0，化为标准方程，求出圆心C，半径r．分类讨论，利用C到l的距离为1，即可求直线l的方程； （2）设P（x，y）．由切线的性质可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得3x+4y﹣12=0，求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离． 【详解】 解：(1) (1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2， 当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－2， 易求直线l与圆C的交点为A(－2，1)，B(－2，3)，|AB|＝2，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0， 则圆心C到直线l的距离𝑑= | −𝑘−2+2𝑘 |√𝑘2+1=1， 解得𝑘=3 4 ， 所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0 综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0 (2) 如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则CM⊥PM， 所以△PMC为直角三角形， 所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2 设P(x，y)，由(1)知C(－1，2)，|MC|＝√2， 因为|PM|＝|PO|，所以(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2， 化简得点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0 求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原点O到直线2x－4y＋3＝0的距离， 代入点到直线的距离公式可求得|PM|的最小值为 3√510 . 【点睛】 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查了圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．(1)𝑎𝑛=2𝑛−1；(2)2. 【解析】 试题分析： (1)由题意有1+𝑆𝑛=2𝑎𝑛，分类讨论可得：当𝑛=1时，𝑎1=1，当𝑛≥2时，𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=2𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1，整理可得𝑎𝑛=2𝑎𝑛−1，据此可得{𝑎𝑛}成等比数列，𝑎𝑛=𝑎1×2𝑛−1=2𝑛−1. (2)结合(1)中的结论有1 1 1𝑎 项和公式可得 3[1−(1 2)𝑛−1]𝑛+𝑎𝑛+1 =3× (1 2)𝑛−1，结合等比数列前 n1−1= 𝑓(𝑛) 2𝑛 22，即𝑓(𝑛)=2 3(22𝑛−2𝑛)，据此可得关于n的方程(2𝑛−1)(2𝑛+3)=0，解方程可得𝑛=2. 试题解析： (1)因为1,𝑎𝑛,𝑆𝑛成等差数列，所以1+𝑆𝑛=2𝑎𝑛， 当𝑛=1时，1+𝑆1=2𝑎1⇒𝑎1=1， 当𝑛≥2时，1+𝑆𝑛−1=2𝑎𝑛−1， 则𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=2𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1，则𝑎𝑛=2𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1，即𝑎𝑛=2𝑎𝑛−1， 又𝑎1≠0， 𝑎𝑛𝑎𝑛−1 =2，所以{𝑎𝑛}成等比数列，所以𝑎𝑛=𝑎1×2𝑛−1=2𝑛−1. （2）因为1 =111 𝑛−1𝑎𝑛+𝑎𝑛+1 2𝑛+2𝑛+1=3×(2)， 1 𝑓(𝑛) 1又1 +1 ，所以3[1−(1 2)𝑛−1]𝑎 1+𝑎2 𝑎 2+𝑎3 +⋯+𝑎𝑛+𝑎𝑛+1 =𝑎2𝑛+1 1−1= 𝑓(𝑛)222𝑛 ， 所以𝑓(𝑛)=2 3 (22𝑛−2𝑛)， 又𝑓(𝑛)=2 2𝑛 𝑛3 (2 −2)=8，所以(2𝑛−1)(2𝑛 +3)=0， 所以2𝑛=4，所以𝑛=2. 20．(1) 𝑥22 +𝑦2=1 (2) [16 9 ， 2] 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用椭圆的离心率 𝑐 √2𝑎= 2 ，以及𝑐=1，求出a、b，即可求椭圆的方程； （Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，直接求出面积． ②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出AB，CD即可求解面积的表达式，通过基本不等式求出面积的最值． 【详解】 解：(1) 由题意：𝑐=1 ， 𝑐 √2𝑎=2 ， ∴𝑎=√2 ， 𝑏=𝑐=1， 则椭圆的方程为𝑥2 2+𝑦2=1 (2) ①当两直线一条斜率不存在一条斜率为0时， 𝑆=1 1 2|𝐴𝐵| · |𝐶𝐷|=2×2√2×√2=2 ②当两直线斜率存在且都不为0时， 设直线𝐴𝐵方程为𝑦=𝑘(𝑥−1) ， 𝐴(𝑥1 ， 𝑦1) ， 𝐵(𝑥2 ， 𝑦2) 将其带入椭圆方程整理得：(1+2𝑘2)𝑥2−4𝑘2𝑥+2𝑘2−2=0 𝑥+𝑥4𝑘22𝑘2−2 12=1+2𝑘2 ， 𝑥1𝑥2=1+2𝑘2 |𝐴𝐵|=√1+𝑘2|𝑥2√ 2(𝑘2 +1)1−𝑥2|=1+2𝑘2 同理，|𝐶𝐷|= 2√2(𝑘2+1) 𝑘2+2 𝑆=112√2(𝑘2+1)2√2(𝑘2+1)4(𝑘2+1)24(𝑘+1)2|𝐴𝐵|·|𝐶𝐷|=2·1+2𝑘2 · 𝑘2+2=2𝑘4+2+5𝑘2=𝑘22(𝑘+1 𝑘)2+1 =2− 2 162(𝑘+1∈[，当𝑘=±1时，𝑆= 16 𝑘)2+1 9,2)9 综上所述四边形面积范围是[16 9 ， 2] 【点睛】 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的求法以及基本不等式的应用，是综合性比较强的题目． 21．（1）(−∞,−𝑒]； （2）见解析. 【解析】 【分析】 (1)先将存在性问题转化为求𝑓(𝑥)最小值，再求导数，根据导函数零点以及导函数符号确定函数单调性，进而确定最小值，最后解不等式得𝑎的取值范围；（2）先根据恒成立问题将不等式转化为对应函数最值问题，即证𝑔(1)−𝑔(𝑎)<1.构造差函数ℎ(𝑎)=1 2𝑎−ln𝑎−3 2𝑎，利用导数可得ℎ(𝑎)单 调性，根据单调性可得ℎ(𝑎)≤ℎ(𝑒)<0，即证得结论. 【详解】 （1）当𝑎<0，由𝑓′(𝑥)=𝑥+𝑎 𝑥，令𝑓′(𝑥)=0，∴𝑥=√−𝑎， 列表得： 𝑥 (0,√−𝑎) √−𝑎 (√−𝑎,+∞) 𝑓′(𝑥) − 0 + 𝑓(𝑥) 减函数 极小值 增函数 这时𝑓(𝑥)min=𝑓(√−𝑎)=−𝑎 2+𝑎ln√−𝑎. ∵∃𝑥>0，使𝑓(𝑥)≤0成立，∴−𝑎 2 +𝑎ln√−𝑎≤0，∴𝑎≤−𝑒， ∴𝑎的范围为(−∞,−𝑒]. （2）因为对∀𝑥∈[1,𝑎]，𝑔′(𝑥)= (𝑥−1)(𝑥−𝑎−1) 𝑥≤0，所以𝑔(𝑥)在[1,𝑎]内单调递减， 所以|𝑔(𝑥1)−𝑔(𝑥2)|≤𝑔(1)−𝑔(𝑎)=1 2 1 2𝑎−𝑎ln𝑎−2. 要证明|𝑔(𝑥1)−𝑔(𝑥2)|<1，只需证明1 𝑎2−1 1 32 𝑎ln𝑎−2 <1，即证明2 𝑎−ln𝑎− 2𝑎 <0. 令ℎ(𝑎)=131133111 2𝑎−ln𝑎−2𝑎，ℎ′(𝑎)=2−𝑎+2𝑎2=2(𝑎−3)2+3>0， 所以ℎ(𝑎)=1 3 2𝑎−ln𝑎−2𝑎在𝑎∈(1,𝑒]是单调递增函数， 所以ℎ(𝑎)≤ℎ(𝑒)=𝑒 −132− 2𝑒 = (𝑒−3)(𝑒+1) 2𝑒 <0，故命题成立. 【点睛】 不等式有解与不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即𝑓(𝑥)<𝑎恒成立⇔𝑎>𝑓(𝑥)max，𝑓(𝑥)>𝑎恒成立⇔𝑎<𝑓(𝑥)min. 22．(1)𝑥2+2𝑦2=1；(2)𝛼=𝜋 5𝜋 6或6. 【解析】 【分析】 （1）极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线𝑀的直角坐标方程为𝑥2 +2𝑦2 =1； （2）联立直线的参数方程与曲线𝑀的直角坐标方程可得𝑡2(1+𝑠𝑖𝑛2𝛼)+√10𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼+3 2=0，满足题意时，二次方程的判别式𝛥=0，据此计算可得直线的倾斜角𝛼=𝜋 5𝜋 6或6. 【详解】 （1）∵𝜌2(1+𝑠𝑖𝑛2𝜃)=𝜌2+(𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃)2=1， ∴𝑥2+𝑦2+𝑦2=1，即𝑥2+2𝑦2=1， 此即为曲线𝑀的直角坐标方程. √10（2）将{𝑥=2+𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼 代入𝑥2+2𝑦210𝑦=𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼 =1得4+√10𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑡2𝑐𝑜𝑠2𝛼+2𝑡2𝑠𝑖𝑛2𝛼=1， ∴𝑡2(1+𝑠𝑖𝑛2𝛼)+√10𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼+3 2=0， ∵直线𝑙与曲线𝑀只有一个公共点， ∴𝛥=(√10𝑐𝑜𝑠𝛼)2−4×3 2×(1+𝑠𝑖𝑛2𝛼)=0， 即𝑠𝑖𝑛2𝛼=1 4， 𝑠𝑖𝑛𝛼=±1 ，又𝛼∈[0,𝜋)，∴𝛼=𝜋 5𝜋 2 6 或6 . 【点睛】 本题主要考查直线的参数方程的应用，极坐标方程转换为直角坐标方程的方法等知识，意在考 查学生的转化能力和计算求解能力. 23．(1) 𝑎=7或−1；(2) (1 ， 3) 【解析】 【分析】 (1)利用绝对值三角不等式求𝑓(𝑥)的最小值为|a-3|=4,即得a的值.(2)分3 ≤ 𝑥 ≤ 4，2 ≤ 𝑥<3讨论分别得到a的取值范围，即得𝑎的取值范围． 【详解】 (1)∵ 𝑓(𝑥)的最小值为4 ∴ 𝑓(𝑥)=|𝑥−𝑎|+|𝑥−3| ≥ |𝑎−3| ∴ |𝑎−3|=4 解得𝑎=7或−1． (2) ①3 ≤ 𝑥 ≤ 4时，𝑓(𝑥)<𝑥恒成立等价于|𝑥−𝑎|<3恒成立 即𝑎−3<𝑥<𝑎+3在3 ≤ 𝑥 ≤ 4时恒成立 即{𝑎−3<3𝑎+3>4 解得1<𝑎<6 ②2 ≤ 𝑥<3时，𝑓(𝑥)<𝑥恒成立等价于|𝑥−𝑎|<2𝑥−3恒成立 即{𝑥>−𝑎+3 𝑥>𝑎+3 在2 ≤ 𝑥<3时恒成立 −𝑎+33 须{𝑎+3<2<2 3 解得1<𝑎<3 综上，𝑎的范围是(1 ， 3)． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容