2020届高考数学(理)全真模拟卷8(含解析)

2020届高考数学（理）全真模拟卷8

（本试卷满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数f(x)A．(1,2) 【答案】C

14x2ln(1x)的定义域为（ ）

B．(1,2] C．(2,1)

D．[2,1)

4x20【解析】由题意可得：，即2x1,故选：C

1x02.已知aR,那么“a1”是“A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】A

3.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<4)＝( )

A．0.6 C．0.3 【答案】A

【解析】由P(ξ<4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2。又正态曲线关于x＝2对称。则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，所

B．0.4 D．0.2

11”的（ ） aB．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

以P(0<ξ<4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6。故选A。

4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( ) A．6斤 B．9斤 【答案】A

【解析】依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A. 5.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β 【答案】D

【解析】若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行，故A错； 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行，也可能异面， 故B错；若m⊥n，m⊂α，n⊂β则α与β可能相交，也可能平行，故C错；对于D项，由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又知n∥β，故α⊥β，所以D项正确．

6.已知fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fxx4x，则不等式fxx的解集为

2C．9.5斤 D．12斤

( )

A.(5,) B. (0,5) C. (,0)U(5,) D. (5,0)U(5,) 【答案】D

【解析】∵fx是定义在R上的奇函数，∴f00. 又当x0时，x0，∴f(x)x4x.

又fx为奇函数，∴f(x)fx，∴fxx4xx0，

22

x24x,x0. ∴fx0,x0x24x,x0当x0时，由fxx得x24xx，解得x5； 当x0时，fxx无解；

当x0时，由fxx得x24xx，解得5x0. 综上，不等式fxx的解集用区间表示为(5,0)U(5,)．

7.已知函数f(x)loga(x1)2,(a0,a1)恒过定点P，若点P在直线

41取得最小值时m（ ） mn242 A.1 B. C. D. 

333mxny40(m0,n0) 上，则

【答案】C

P(2,2)，【解析】从而mn2，2(当且仅当

1414n4mn4m)(mn)()5529，mnmnmnmnn4m24即m,n时取“=”. mn33uuuruuur5432i8.在复平面内，复数z1对应的向量为AB，复数z2对应的向量为AC，则

32i32iABC的面积为( )

A.2 B. 23 C.

52 D. 22

【答案】A

uuuruuuruuuruuurABAC261【解析】AB(3,2)，AB(2,6)，从而cosA=uuu，sinA ruuur55ABACSABCruuur1uuu2ABACsinA . 229. 在数列{an}中，若对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2为定值，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{an}的前100项的和S100＝( ) A．132 B．299 C．68

D．99

【答案】B

【解析】因为在数列{an}中，若对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2为定值，所以an＋3＝an，即数列{an}中各项是以3为周期呈周期变化的．因为a7＝2，a9＝3，a98＝a3×30＋8＝a8＝4，所以a1＋a2＋a3＝a7＋a8＋a9＝2＋4＋3＝9，所以S100＝33×(a1＋a2＋a3)＋a100＝33×9＋a7＝299，故选B.

x2y2

10. 设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取

3m值范围是( ) A．(0,1]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) 【答案】A

【解析】由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大． ①如图1，当焦点在x轴，即m＜3时， a＝3，b＝m，tan α＝

3≥tan 60°＝3，∴0＜m≤1. mB．(0，3]∪[9，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞)

图1 图2

②如图2，当焦点在y轴，即m＞3时， a＝m，b＝3，tan α＝

m≥tan 60°＝3，∴m≥9. 3

综上，m∈(0,1]∪[9，＋∞)，故选A.

11.在RtABC中，CA4，CB3，M、N是斜边AB上的两个动点，且MN2，则CMCN的取值范围为（ ）

A．[2,] 【答案】B

【解析】以CA，CB 为x,y轴建立直角坐标系，则：A4,0,B0,3,lAB:y3uuuuruuur52B．[11948,] 255C.[4,6] D．[14453,] 2553x，设4ruuur338uuuuMa,3a,N(b,3b)，假设ab，因为MN2，所以ab，CMCN=

445

ruuur25uuuuruuur25225263863uuuu56133=CMCNb7b，又b4，CMCN=b7b(b)2所以

1655165162525uuuuruuur11948, 的取值范围为CMCN25512.函数f(x)ax1，(aZ,bZ)，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y xb＝3．已知方程f(x)Asin(x1)1有x1,x2,x3,x4共4个不等实根，则

f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)=（ ）

x1x2x3x4A．﹣1 【解析】C

【解析】函数f（x）＝ax

（a，b∈Z），导数f′（x）＝a

，

B．0

C．1

D．2

曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝3， 可得f（2）＝2a

3，f′（2）＝a

0，

解方程可得a＝1，b＝﹣1，（分数舍去），则f（x）＝x；

方程x﹣1Asin（x﹣1）有x1，x2，x3，x4共4个不等实根，

可令t＝x﹣1，可得tAsint，

由g（t）＝tAsint为奇函数，且t≠0，

可设t1+t3＝0，t2+t4＝0，

g（t1）+g（t3）＝0，g（t2）+g（t4）＝0， 即有f（x1）+f（x3）＝g（t1）+g（t3）+2＝2， f（x2）+f（x4）＝g（t2）+g（t4）+2＝2， x1+x2+x3+x4＝4， 则

fx1fx2fx3fx4x1x2x3x4

221，故选：C． 4

第Ⅱ卷（非选择题)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

x3y3013.设变量x，y满足约束条件3xy30，则zxy 的最小值为________.

2xy60【答案】

27 7【解析】画出可行域，图略，平移直线y＝-x＋z过点(151227,) 时，z取得最小值. 777n14.等比数列{an}的前n项和Snk22k1(nN,kR),则常数k=_______.

【答案】1

→→bsin C

15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝1－，且b＝5，AC·AB

a＋csin A＋sin B＝5，则△ABC的面积是________． 53

【答案】

2

bsin Cbc

【解析】由＝1－及正弦定理，得＝1－，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝

a＋csin A＋sin Ba＋ca＋b→→b2＋c2－a21π5113＝，所以A＝.因为AC·AB＝bccos A＝c＝5，所以c＝2，所以S△ABC＝bcsin A＝×5×2×2bc232222＝53. 2

16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．E，F，G，HBC，CD，DA为底边的等腰三角形．为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积与底面积之差最大时，正方形ABCD的边长AB=_________；此时该四棱锥的外接球的表面积与内切球的表面积之比为_____.

【答案】3;

25 4【解析】连接OE交AB于点，设E,F,G,H重合交于点P，

xx,IE6， 22xx22因为该四棱锥的侧面积与底面积之差为S4(6)x2x12x，当x3时S最大.

22设正方形的边长为x(x0)，则OI设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，

则有OC32

，2223103231039因为PCEA，所以OP32. 22222则R2(32R)2(22322152， )，解得R2832. 4等体积法可求得内切球半径为r=

外接球与内切球表面积之比即为半径的平方之比

25. 4三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分

πππ

ωx－＋sinωx－，其中0<ω<3，已知f＝0. 17.（12分）设函数f(x)＝sin626(1)求ω；

π

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π3π

－，上的最小值． 个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在44

ππωx－＋sinωx－， 【解析】(1)因为f(x)＝sin62所以f(x)＝＝

31

sin ωx－cos ωx－cos ωx 22

33

sin ωx－cos ωx 22

13＝3sin ωx－cos ωx

22πωx－. ＝3sin 3

πωππ

因为f＝0，所以－＝kπ，k∈Z， 663所以ω＝6k＋2，k∈Z. 又0<ω<3，所以ω＝2.

π

2x－， (2)由(1)得f(x)＝3sin 3ππx＋－ 所以g(x)＝3sin43π

x－. ＝3sin12π3π－，， 因为x∈44π2ππ

－，. 所以x－∈1233

πππ3

当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.

1234218.（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点． (1)求证：平面BDM∥平面EFC；

(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．

【解析】(1)连接AC，交BD于点N，连接MN，则N为AC的中点， 又M为AE的中点，∴MN∥EC.

∵MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，∴MN∥平面EFC. ∵BF，DE都垂直底面 ABCD，∴BF∥DE.

∵BF＝DE，∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF. ∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC， ∴BD∥平面EFC.

又MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC.

(2)∵DE⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴DA，DC，DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D­xyz.设AB＝2，则DE＝4，从而D(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,0,2)，A( 2,0,0)，E(0,0,4)， →→

∴DB＝(2,2,0)，DM＝(1,0,2)，

设平面BDM的法向量为n＝(x，y，z)，

n·DB＝0，则→

n·DM＝0，

→

2x＋2y＝0，得 x＋2z＝0.

令x＝2，则y＝－2，z＝－1，从而n＝(2，－2，－1)为平面BDM的一个法向量． →

∵AE＝(－2,0,4)，设直线AE与平面BDM所成的角为θ，则 →

sin θ＝|cos〈n，AE〉|＝

n·AE45→＝15， |n||AE|

→

45∴直线AE与平面BDM所成角的正弦值为.

15

19.（12分）某单位为了提高员工的业务水平，举办了一次“岗位技能”大赛，从参赛的青年技师(35岁及35岁以下的技师)和中老年技师(35岁以上的技师)的成绩中各抽取20个进行研究．满分为100分，且均保留到小数点后一位，如95.3.具体成绩如茎叶图所示(以成绩的整数部分为茎，小数部分为叶)，并将这40个成绩分成四组，第一组[95,96)；第二组[96,97)；第三组[97,98)；第四组[98,99]．

(1)根据以上数据写出抽取的20名青年技师成绩的中位数，并补全上面的频率分布直方图； (2)从成绩在[95,97)之间的技师中随机抽取2个，求其中2人成绩在[95,96)之间的概率；

(3)研究发现从业时间与岗位技能水平之间具有线性相关关系，从上述抽取的40名技师中抽取5名技^^

师的成绩，数据如下表．其中x＝15，y＝97.1.用最小二乘法求得的回归方程为y＝0.16x＋a，请完成下表，并根据下表判断该线性回归模型对该组数据的拟合效果．(通常相关指数R2＞0.80时认为线性回归模型对该组数据是有效的)

工龄x年 成绩y分 ^残差e 5 95.2 －0.3 10 96.4 0.1 15 97.8 25 98.5 －0.2 ^∑ yi－yi2

附：R2＝1－

i＝1nn.

∑ yi－y2

i＝1

【解析】(1)将数据按从小到大的顺序排列，第10名和第11名青年技师的成绩分别为97.2和97.4，所以中位数是97.3. 频率分布直方图如图所示．

(2)设所求事件为A，

C214

由已知得成绩在[95,97)之间的技师共有12名，成绩在[95,96)之间的技师共有4名，则P(A)＝2＝.

C1211^

(3)因为a＝y－0.16x＝94.7， ^

所以y＝0.16x＋94.7. 补全统计表如表，

工龄x年 成绩y分 ^残差e R2≈0.94＞0.8，

5 95.2 －0.3 10 96.4 0.1 15 97.6 0.5 20 97.8 －0.1 25 98.5 －0.2

所以该线性回归模型对该组数据是有效的．

20.（12分）已知点A(m,4)(m＞0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C. （1）求证：直线BC的斜率为定值；

（2）若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围． 【解析】（1）证明：∵点A(m,4)在抛物线上， ∴16＝m2，∴m＝±4，又m＞0，∴m＝4. 设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 则kAB＋kAC＝

x1＋4x2＋4x1＋x2＋8

＋＝＝0， 444

∴x1＋x2＝－8.

2

y2－y1x2x1＋x22－x1

∴kBC＝＝＝＝－2，

4x2－x14x2－x1

∴直线BC的斜率为定值－2.

（2）设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4) 关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则 kPQ＝

y4－y3x3＋x4x01

＝＝＝，∴x0＝1.

422x4－x3

∴M(1，－2＋b)．

19

又点M在抛物线内部，∴－2＋b＞，即b＞.

44

y＝－2x＋b，

由2得x2＋8x－4b＝0， x＝4y，

∴x3＋x4＝－8，x3x4＝－4b.

∴|BC|＝1＋4|x3－x4|＝5·x3＋x42－4x3x4＝5×64＋16b. 9

又b＞，∴|BC|＞105.∴|BC|的取值范围为(105，＋∞)．

421.（12分）已知函数

fx4lnxx22mxmR.

（1）求函数fx的单调区间； （2）若直线l为曲线yfxfx的切线，求证：直线l与曲线y不可能有2个切点. 22

4x2mx2 【解析】（1）由题意得：fx定义域为0,，fx2x2m2xx2令yxmx2，则m28，若22m22，则0，则fx0，

函数fx在0,上单调递增；

2若m22或m22，yxmx2有两个零点x1，x2，则x1x220

mm28mm28

其中x1，x2；

22若m22，则x10，x20，此时fx0，故函数fx在0,上单调递增； 若m22，则x1>0，x20，

此时当x0,x1和x2,时，fx0，当xx1,x2时，fx0

函数fx在0,x1和x2,上单调递增，在x1,x2上单调递减

综上所述：当m22时，函数fx的单调递增区间为0,；

mm28mm28,；单调递减区间为，当m22时，fx单调递增区间为0,22mm28mm28,.

22（2）假设存在一条直线与函数y不妨令0x1x2 则T1处切线l1的方程为yfx的图象有两个不同切点T1x1,y1，T2x2,y2 2fx1fx1xx1， 22fxfxT2处切线l2的方程为y22xx2，

22Ql1,l2为同一直线，fx1fx2

fxxfxfxxfx111222

22x1mx2mx2x1x1x22212即2lnx1x1mx1x1x1m，整理得：1212

2x2lnxx2lnxx21112221222lnx2x2mx2x2x2m2x2x122x12x120…①，令t消去x2得：2ln2，由0x1x2与x1x22得：t0,1，

2x12221t121记pt2lntt，则pt10， 22ttttpt为0,1上的单调减函数，ptp10，

从而①式不可能成立，即假设不成立，

若直线l为曲线yfxfx的切线，则直线l与曲线y不可能有2个切点. 22（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(10分)选修4—4：坐标系与参数方程

x1tcos在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的

ytsin正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos，直线l与曲线C分别交于A，B两个不同的点．

（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程； （2）若点P坐标为(1,0)，求

11的取值范围． |PA||PB|22【解析】（1）曲线C的极坐标方程为4cos，得24cos，所以C:xy4x0，

直线l：若2，x1，若2，ytan(x1).

（2）Q点P坐标为(1,0)，点P在直线l上，设A，B参数分别为t1,t2， 将直线l：x1tcos22（t为参数），代入曲线C:xy4x0，

ytsin

得t22tcos30，所以t1t22cos,t1t23，

t1t2114cos212234[,]． ∴

|PA||PB|t1t233323.(10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|ax－1|(a>0)．

(1)若不等式f(x)≤2的解集为A，且A⊆(－2,2)，求实数a的取值范围； 123(2)若不等式f(x)＋fax＋a>2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围． 1313

－，. 【解析】(1)由|ax－1|≤2，得－2≤ax－1≤2，又∵a>0，∴－≤x≤，得A＝aaaa



∵A⊆(－2,2)，∴3

a<2，

1

－>－2，a

33

，＋∞. 解得a>，∴a的取值范围是223

(2)由题意，|ax－1|＋|x＋1|>恒成立，设h(x)＝|ax－1|＋|x＋1|，

2



1－ax＋2－1≤x＜1，

ah(x)＝

x≥1，a＋1xa－a＋1xx<－1，

31

①当0，∴22

1a＋1a＋131，2. ②当a>1时，h(x)min＝h＝，>，∴1