2018年高考理科数学第一轮复习教案7 指数与指数函数要点

指数与指数函数

(1)了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理数指数幂的含义，了解实数指

数幂的意义，掌握幂的运算．

(3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．

(4)知道指数函数是一类重要的函数模型．

知识点一 根式与幂的运算 1．根式的性质 n

(1)(a)n＝a.

n

(2)当n为奇数时，an＝a. (3)当n为偶数时，

n

a a≥0

a＝|a|＝.

－a a<0

n

(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂：

mn①正分数指数幂：an＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

m11

②负分数指数幂：a－n＝m＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

annam③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①ar·as＝ar＋s(a>0，r、s∈Q)． ②(ar)s＝ars(a>0，r、s∈Q)． ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

易误提醒 在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．

[自测练习]

2－1111

a3·b－2·a－2·b3

1．化简(a>0，b>0)的结果是( )

6a·b5A．a B．ab C．a2b

1

D.a

1111a－3b2·a－2b3

1111151

解析：原式＝＝a－b2＋3－6＝a. 153－2－6·a6b6答案：D

知识点二 指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 00时，y>1；x<0时，当x>0时，0易误提醒 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0必备方法

1．指数函数图象的三个关键点

画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a)，(0,1)，1

－1，.

a

2．底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当03．底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0y>1 在(－∞，＋∞)上是减函数 4．指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x轴有交点，向上(或向下)平移a个单位后，图象都在直线y＝a(或y＝－a)的上方．

[自测练习]

2．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是( )

解：当x＝1时，y＝a1－a＝0，所以函数y＝ax－a的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.

答案：C

322322

3．设a＝55，b＝55，c＝55，则a，b，c的大小关系是( )







A．a>c>b C．c>a>b

B．a>b>c D．b>c>a

2x

解析：构造指数函数y＝5(x∈R)，由该函数在定义域内单调递

2x3x

减可得b0



223x2x3525时，有5>5，故5>5，即a>c，故a>c>b.



答案：A

4．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．

解析：由题意知0<2－a<1，解得1考点一 指数幂的化简与求值|

求值与化简：

130－2122－(0.01)0.5； (1)25＋2·

411512－－－213(2)6a3·b·(－3a2b)÷(4a3·b)2；

(3)1111(a>0，b>0)． 4

a4b2a3b311141121111622解：(1)原式＝1＋4×9－100＝1＋4×3－10＝1＋6－10＝15.



215133

(2)原式＝－2a6b－÷(4a3·b－) 2

13351516－3322＝－4ab÷(ab)＝－4a·b2

515ab＝－4·3＝－4ab2.

ab

3a3b2ab2

abab

(3)原式＝ 11233abab＝a

311126332

132312b

111233＝ab－1.

指数幂运算的四个原则

1．有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． 2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

3．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数

是带分数的，先化成假分数．

4．若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

考点二 指数函数图象及应用|

(1)函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )

[解析]

2x－1，x≥1，f(x)＝1

x－1，x<1，2

故选B.

[答案] B

(2)(2015·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

[解析] 曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．

[答案] [－1,1]

与指数函数图象有关的应用问题的两种求解策略

1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．

2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．

偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x，则关

1x

于x的方程f(x)＝10在x∈[0,4]上解的个数是( )



A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由f(x－1)＝f(x＋1)可知T＝2.

∵x∈[0,1]时，f(x)＝x，又∵f(x)是偶函数，∴可得图象如图．

1x

∴f(x)＝10在x∈[0,4]上解的个数是4个．故选D.



答案：D

考点三 指数函数的性质及应用|

高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属于低档题．

归纳起来常见的命题探究角度有： 1．比较指数式的大小．

2．与指数函数有关的奇偶性及应用． 3．探究指数型函数的性质． 探究一 比较指数式的大小

1．(2015·高考山东卷)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )

A．aB．a解析：由指数函数y＝0.6x在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5<0.60.6，由幂函数y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6<1.50.6，所以b答案：C

探究二 与指数函数有关的奇偶性及应用

2x＋12．(2015·高考山东卷)若函数f(x)＝x是奇函数，则使f(x)>3

2－a成立的x的取值范围为( )

A．(－∞，－1)

B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1，＋∞)

2－x＋12x＋12x＋1

解析：f(－x)＝x＝，由f(－x)＝－f(x)得＝－xx－2－a1－a·21－a·22x＋1xxxx，即1－a·2＝－2＋a，化简得a·(1＋2)＝1＋2，所以a＝1，x

2－a

2x＋1

f(x)＝x.由f(x)>3得02－1

答案：C

探究三 指数型函数的性质应用

1

3．已知函数f(x)＝3ax2－4x＋3.



(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

1

解：(1)当a＝－1时，f(x)＝3－x2－4x＋3，



令g(x)＝－x2－4x＋3，

由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，

1t

而y＝3在R上单调递减，



所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．

1g(x)

(2)令g(x)＝ax－4x＋3，f(x)＝3，



2

由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1， a>0，

因此必有3a－4

a＝－1，

解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3)由指数函数的性质知，

1g(x)

要使y＝3的值域为(0，＋∞)．



应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，

因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．

故a的值为0.

指数函数的性质及应用问题三种解题策略

(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法． (2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同

函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．

4.换元法解决与指数函数有关的值域问题

1x1x

【典例】 函数y＝4－2＋1在区间[－3,2]上的值域是



________．

1x1x2[思路点拨] 设t＝2，则4＝t，这样原函数就可转化为二次

函数．

1

[解析] 因为x∈[－3,2]，所以若令t＝2x，



1则t∈4，8，





13

故y＝t2－t＋1＝t－22＋4. 



13

当t＝2时，ymin＝4；当t＝8时，ymax＝57.

3故所求函数值域为4，57. 3

[答案] 4，57 

[方法点评] 与指数函数有关的值域或最值问题，通常利用换元法，将其转化为基本初等函数的单调性或值域问题，注意换元过程中“元”的取值范围的变化．

1

[跟踪练习] 已知0≤x≤2，则y＝4x－2－3·2x＋5的最大值为________．

解析：令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4， 又y＝22x－1－3·2x＋5， 111∴y＝2t2－3t＋5＝2(t－3)2＋2， 5

∵1≤t≤4，∴t＝1时，ymax＝2. 5答案：2

A组 考点能力演练

1．已知函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是( )

A．a>1，b<0 C．0B．a>1，b>0 D．00

解析：由图象呈下降趋势知，00，即b<0.

答案：C

2．函数y＝2x－2－x是( )

A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

解析：根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，借助指数函数的图象及相关结论判断单调性．令f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以函数是奇函数，排除C，D.又函数y＝2x，y＝－2－x都是R上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f(x)＝2x－2－x是R上的增函数，故选A.

答案：A

3．(2015·日照模拟)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( )

132

A．f3231B．f3213C．f3321D．f2

解析：∵函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，

152241

∴f(x)＝f(2－x)，∴f3＝f2－3＝f3，f3＝f2－3＝f3，又∵x≥1

















435时，f(x)＝3x－1为单调递增函数，且3<2<3，

435∴f3231

即f3

答案：B

4．已知实数a，b满足等式2a＝3b，下列五个关系式： ①0其中有可能成立的关系式有( ) A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

解析：依题意，在同一坐标系下画出函数y＝2x，y＝3x的图象与直线y＝t，平移直线y＝t，通过观察可知，直线y＝t分别与函数y＝2x，y＝3x的图象的交点的横坐标a，b的大小关系可能是a答案：C

5．(2015·济宁三模)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )

A．a<0，b<0，c<0 C．2－a<2c

B．a<0，b≥0，c>0 D．2a＋2c<2

解析：作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图， ∵af(c)>f(b)，结合图象知， 00，∴0<2a<1.

∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0f(c)，∴1－2a>2c－1， ∴2a＋2c<2，故选D.

答案：D

3170146．计算：2－3×－6＋84×2－

22

－＝________. 33

213121解析：原式＝33×1＋24×24－33＝2. 

答案：2

7．已知函数f(x)＝ax－1＋1(a≠0)的图象恒过定点A，则点A的坐标是________．

解析：由题意，因为a为变量，所以只有当ax－1为定值时，函数的图象才过定点，所以x＝1，y＝2，定点A(1,2)．

答案：(1,2)

8．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值a

大2，则a的值为________．

解析：当a>1时，f(x)＝ax为增函数，在x∈[1,2]上， f(x)最大＝f(2)＝a2，f(x)最小＝f(1)＝a.

a

∴a－a＝2.即a(2a－3)＝0.

2

33

∴a＝0(舍)或a＝2>1.∴a＝2. 当0在x∈[1,2]上，f(x)最大＝f(1)＝a，f(x)最小＝f(2)＝a2. a

∴a－a2＝2.∴a(2a－1)＝0， 11

∴a＝0(舍)或a＝2.∴a＝2. 13

综上可知，a＝2或a＝2. 13答案：2或2 1

9．已知2x2－x≤4x－1，求函数y＝2x－2－x的值域．



1x1

解：由2x－x≤4－＝2－2x＋2，得x2－x≤－2x＋2，即x2＋x－2≤0



2

111

解得－2≤x≤1.令t＝2，t∈4，2，则y＝t－t，易知y＝t－t在区间

x

1

，2上是增函数， 4

1531

所以，函数y＝t－t的值域为－4，2，即函数y＝2x－2－x的值





153域为－4，2.



10．(2016·天津期末)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．

(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；

(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

1

解：(1)∵f(x)＝ex－ex，



1

∴f′(x)＝ex＋ex，



∴f′(x)>0对任意x∈R都成立， ∴f(x)在R上是增函数．

∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． (2)存在．由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则 f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立 ⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立 ⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立

11

⇔t2＋t≤x2＋x＝x＋22－4对一切x∈R都成立





12112

⇔t＋t≤(x＋x)min＝－4⇔t＋t＋4＝t＋2≤0，



2

2

1121

又t＋2≥0，∴t＋2＝0，∴t＝－2， 

1∴存在t＝－2，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立．

B组 高考题型专练

1．(2014·高考陕西卷)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )

A．f(x)＝x3

B．f(x)＝3x

1

C．f(x)＝x2 1x

D．f(x)＝2



解析：对于选项A，f(x＋y)＝(x＋y)3≠f(x)f(y)＝x3y3，排除A；对于选项B，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y＝f(x)f(y)，且f(x)＝3x在其定义域内是单调增函数，B正确；对于选项C，f(x＋y)＝

11

x＋y≠f(x)f(y)＝x2y2＝



111

xy，排除C；对于选项D，f(x＋y)＝2x＋y＝2x2y＝f(x)f(y)，但f(x)



1

＝2x在其定义域内是减函数，排除D.故选B. 

答案：B

2．(2015·高考山东卷)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.

a－1＋b＝－1，解析：①当a>1时，f(x)在[－1,0]上单调递增，则0

a＋b＝0，

无解．

②当0则0

a＋b＝－1，3答案：－2 a－1＋b＝0，

1a＝2，解得

b＝－2，

3

∴a＋b＝－2.

3．(2015·高考江苏卷)不等式2x2－x<4的解集为________． 解析：不等式2x2－x<4可转化为2x2－x<22，利用指数函数y＝2x的性质可得，x2－x<2，解得－1答案：(－1,2)

4．(2015·高考福建卷)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．

解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)关于直线x＝1对称，所以a＝1，所以函数f(x)

＝2|x－1|的图象如图所示，因为函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，所以m≥1，所以实数m的最小值为1.

答案：1