一．选择题（共4小题）
1．（2018•无锡）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方
形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（ ）
A．等于 B．等于
C．等于 D．随点E位置的变化而变化
【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答． 【解答】解：∵EF∥AD， ∴∠AFE=∠FAG， ∴△AEH∽△ACD， ∴
=
=．
设EH=3x，AH=4x， ∴HG=GF=3x， ∴tan∠AFE=tan∠FAG=故选：A．
2．（2018•宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （ ）
=
=．
A．1 B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可； 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，
∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等， ∴S阴=S正方形ABCD=， 故选：B．
3．（2018•湘西州）下列说法中，正确个数有（ ） ①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等； ③对角线互相垂直的四边形为菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案．
【解答】解：①对顶角相等，故①正确； ②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；
③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确， 故选：B．
4．（2018•张家界）下列说法中，正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．相等的角是对顶角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可．
【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；
D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意； 故选：D．
二．填空题（共7小题）
5．（2018•武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是 30°或150° ．
【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得． 【解答】解：如图1，
∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE， ∴∠AEB=∠CED=15°，
则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°． 如图2，
∵△ADE是等边三角形， ∴AD=DE，
∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC， ∴DE=DC， ∴∠CED=∠ECD，
∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°， ∴∠CED=∠ECD=（180°﹣30°）=75°， ∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°． 故答案为：30°或150°．
6．（2018•呼和浩特）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=
HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一
定大于135°．其中正确结论的序号为 ①②③ ．
【分析】先判定△MEH≌△DAH（SAS），即可得到△DHM是等腰直角三角形，进而得出DM=
HM；依据当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，即可得到Rt
DM=2AM，△ADM中，即可得到DM=2BE；依据点M是边BA延长线上的动点（不
与点A重合），且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC=45°，即可得出∠CHM＞135°．
【解答】解：由题可得，AM=BE， ∴AB=EM=AD，
∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，
∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH， ∴EH=AH，
∴△MEH≌△DAH（SAS）， ∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，
∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形， ∴DM=
HM，故②正确；
当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°， ∴∠ADM=45°﹣15°=30°， ∴Rt△ADM中，DM=2AM， 即DM=2BE，故①正确；
∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB， ∴∠AHM＜∠BAC=45°， ∴∠CHM＞135°，故③正确； 故答案为：①②③．
7．（2018•青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为
．
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD， 在△ABE和△DAF中， ∵
，
∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠ABE=∠DAF， ∵∠ABE+∠BEA=90°， ∴∠DAF+∠BEA=90°， ∴∠AGE=∠BGF=90°， ∵点H为BF的中点， ∴GH=BF，
∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3， ∴BF=∴GH=BF=故答案为：
8．（2018•咸宁）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为 （﹣1，5） ．
=， ．
，
【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．
【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线EG，垂足为G，连接GE、FO交于点O′． ∵四边形OEFG是正方形，
∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH， 在△OGM与△EOH中，
∴△OGM≌△EOH（ASA） ∴GM=OH=2，OM=EH=3， ∴G（﹣3，2）． ∴O′（﹣，）．
∵点F与点O关于点O′对称， ∴点F的坐标为 （﹣1，5）． 故答案是：（﹣1，5）．
9．（2018•江西）在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或
对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为 2或2或﹣ ．
【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，
∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=∴OA=OB=OC=OD=3
，
=
=6
，
有三种情况：①点P在AD上时，
∵AD=6，PD=2AP， ∴AP=2；
②点P在AC上时，
设AP=x，则DP=2x，
在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2， （2x）2=（3解得：x=即AP=
﹣
）2+（3﹣
﹣x）2，
（负数舍去）， ；
③点P在AB上时，
设AP=y，则DP=2y，
在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2， y2+62=（2y）2， 解得：y=2即AP=2
（负数舍去）， ；
或
﹣
．
故答案为：2或2
10．（2018•潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°
B'C′与CD相交于点M，至正方形AB'C′D′的位置，则点M的坐标为 （﹣1，） ．
【分析】连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案． 【解答】解：如图，连接AM，
∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′， ∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，
∴∠B′AD=60°，
在Rt△ADM和Rt△AB′M中， ∵
，
∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL）， ∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°， ∴DM=ADtan∠DAM=1×∴点M的坐标为（﹣1，故答案为：（﹣1，
11．（2018•台州）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为
+3 ．
）．
=
，
），
【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．
【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为×9=6， ∴空白部分的面积为9﹣6=3，
由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=， 设BG=a，CG=b，则ab=， 又∵a2+b2=32， ∴a2+2ab+b2=9+6=15，
即（a+b）2=15， ∴a+b=
，即BG+CG=
+3，
，
∴△BCG的周长=故答案为：
+3．
三．解答题（共6小题）
12．（2018•盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示． （1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断； 【解答】证明：（1）∵正方形ABCD， ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴∠ABE=∠ADF， 在△ABE与△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）连接AC，
四边形AECF是菱形． 理由：∵正方形ABCD， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF， ∴OB+BE=OD+DF， 即OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
13．F分别在BC，CD上，（2018•吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．
【分析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明； 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°， 在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF．
14．（2018•白银）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点． （1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可； （2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点， ∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG， ∴∠CFH=∠CBG， ∵BF=CF，
∴△BGF≌△FHC，
（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH， ∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点， ∴GH=∴EF⊥BC，
∵AD∥BC，AB⊥BC， ∴AB=EF=GH=a， ∴矩形ABCD的面积=
15．（2018•潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE． （1）求证：AE=BF；
（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．
．
，且GH∥BC，
【分析】（1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；
（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x+•x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x﹣2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴BA=AD，∠BAD=90°，
∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F， ∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°， ∴∠ABF=∠EAD， 在△ABF和△DEA中
，
∴△ABF≌△DEA（AAS）， ∴BF=AE；
（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2， ∵四边形ABED的面积为24，
∴•x•x+•x•2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去）， ∴EF=x﹣2=4， 在Rt△BEF中，BE=∴sin∠EBF=
16．（2018•湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．
=
=
=2．
，
（1）求证：△DAF≌△ABE； （2）求∠AOD的度数．
【分析】（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结论；
（2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB， 在△DAF和△ABE中，∴△DAF≌△ABE（SAS），
，
（2）由（1）知，△DAF≌△ABE， ∴∠ADF=∠BAE，
∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°， ∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．
17．（2018•遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN． （1）求证：OM=ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
【分析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；
（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2
，由直角三角形性质知MN=
OM．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°， ∴∠OAM=∠OBN=135°， ∵∠EOF=90°，∠AOB=90°， ∴∠AOM=∠BON，
∴△OAM≌△OBN（ASA）， ∴OM=ON；
（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，
∵正方形的边长为4， ∴OH=HA=2， ∵E为OM的中点， ∴HM=4， 则OM=∴MN=
OM=2
=2
， ．
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