人教版数学高二-备课资料转化思想在数列中的运用

转化思想在数列中的运用

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转化的思想是数学中一个非常重要的思想，通过转化可以把陌生的问题转化为我们常见的、熟悉的问题。下面我们通过几个例子说明转化的思想在数列中的应用。

例1：已知数列{an}中，a11,an4an11(n1)，求数列{an}的通项公式。 2解析一：类比等比数列的通项公式anqan1(n1)，由an4an11(n1)，如果能通过恰当的变形转化成类似的形式，问题即可解决。

不妨设an4(an1)(n1)，则这个式子等价于an4an13(n1)与

111an4an11(n1)比较，只要，就有an4an11(n1)an4(an1)

333115(n1)，从而数列{an}是首项为a1，公比为4的等比数列，所以，

3361551an4n1，即an4n1。

3663【点评】通过待定系数法将其转化为等比数列的问题。转化思想是解决递推数列的最重要的思想。

解析2：由an4an11(n1)知道，an14an1后式减前式得

an1an4(anan1)(n1)，则数列{an1an}是首项为a2a15公比为4的等比数250aa212451aa45n132列，这样an1an•4，从而 22aa54n2nn12514n15n155n2将上述等式相加得ana1(144)==4，

214266从而an5n114 63【点评】累加相邻两项差的方法也是解决递推数列问题的常用手段。

提升：看看其它的地推数列问题如何用上面的思想方法求解？

练习1：（2007全国卷Ⅰ理22）已知数列{an}中，a12,an1(21)(an2)

n1,2,3,，求{an}的通项公式。

解：an12(21)(an2)，数列{an2}是首项为22，公比为21的等

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比数列，an22(21)n，即通项公式为an2[(21)n1]

n1n练习2：（2007天津卷理21）在数列{an}中，a12,an1an(2)2

（nN*），其中0，求数列{an}的通项公式。

n1n*n1解：由an1an(2)2(nN)，0，两端同除以，

可得即[故

an1n1anna1222n1an2n1()n1()n，则n()()1， n1nan1anan2n12n2n。即数列公差为1的等差数列，()][()]1{()}是首项为0，n1nnann2()nn1，所以数列{an}的通项公式为an(n1)n2n。

【小结】上面的例题通过待定系数法或两端同除以一个量等手段，将问题转化成同学们熟悉的等差、等比数列的问题，从而使原问题或解，在具体的问题情境中有时采用取倒数、取对数等手段使问题得到转化，“转化”是解决递推数列问题的实质所在，同学们要树立起明确的“转化”意识。

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