最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.了解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.
知 识 梳 理
1.根式
(1)概念：式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：(a)＝a(a使a有意义)；当n为奇数时，a＝a，当n为偶数时，a＝|a|＝
a，a≥0， －a，a<0.
nnnnnnnn2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝a(a>0，m，n∈N，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝mnnm*
mn1(a>0，m，n∈N，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指
*
nam数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aa＝a3.指数函数及其性质
(1)概念；函数y＝a(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
xrsr＋s；(a)＝a；(ab)＝ab，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
rsrsrrr a>1 0 (1)（－4）＝－4.( ) 21 (2)(－1)＝(－1)＝－1.( ) 42(3)函数y＝2(4)函数y＝ax－1 是指数函数.( ) (a>1)的值域是(0，＋∞).( ) x＋1 2 4444 解析 (1)由于（－4）＝4＝4，故(1)错. 42 (2)(－1)4＝（－1）＝1，故(2)错. (3)由于指数函数解析式为y＝a(a＞0，且a≠1)，故y＝2(4)由于x＋1≥1，又a＞1，∴a22 xx－1 不是指数函数，故(3)错. x＋1 2 ≥a.故y＝ax＋1 2 (a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(必修1P52例5改编)化简[(－2)]2－(－1)的结果为( ) A.－9 C.－10 61 61 0 B.7 D.9 解析 原式＝(2)2－1＝8－1＝7. 答案 B 3.函数y＝a－a(a>0，且a≠1)的图象可能是( ) x－1 11xx解析 函数y＝a－是由函数y＝a的图象向下平移个单位长度得到，A项显然错误；当a>1 aa11 时，0<<1，平移距离小于1，所以B项错误；当0 aa错误，故选D. 答案 D 4.(2015·山东卷)设a＝0.6，b＝0.6，c＝1.5，则a，b，c的大小关系是( ) A.a 1.5 0.6 B.a 0.6 0 0.6 解析 根据指数函数y＝0.6在R上单调递减可得0.6<0.6<0.6＝1，而c＝1.5>1，∴b 答案 C 5.指数函数y＝(2－a)在定义域内是减函数，则a的取值范围是________. 解析 由题意知0<2－a<1，解得1 1αβα＋β－2解析 由一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝，则2·2＝2＝2 511αβαβ ＝，(2)＝2＝2. 4511答案 2 45 考点一 指数幂的运算 2 α β α β x【例1】 化简：(1)1111(a>0，b>0)； 4－ （a4b2）a3b3－2 a3b2ab2 3 1 273－－10 (2)－＋(0.002)2－10(5－2)＋(2－3). 8 1232 1 （aba3b3）231111 ＋－1＋1＋－2－－1 解 (1)原式＝＝a263b33＝ab. 11 ab2a－3b32731210－(2)原式＝＋－＋1 85005－2 2 1 83＝－＋5002－10(5＋2)＋1 27 2－ － 1 4167＝＋105－105－20＋1＝－. 99 规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】 化简求值： - 3 - 312－20.5 (1)2＋2·2－(0.01)； 54 2 －1 0－ 1 （a3·b）·a－2·b3(2). 6 a·b5 1 1 1－2 11 14212 解 (1)原式＝1＋×－ 491001211116＝1＋×－＝1＋－＝. 431061015 ab·ab(2)原式＝ 15 11 －3211－23 ＝a111－－－3 2 1 ·b26 15＋－31＝. 6 a6b6考点二 指数函数的图象及应用 a【例2】 (1)函数f(x)＝1－e的图象大致是( ) |x| (2)若曲线|y|＝2＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________. 解析 (1)f(x)＝1－e是偶函数，图象关于y轴对称， 又e≥1，∴f(x)的值域为(－∞，0]， 因此排除B、C、D，只有A满足. (2)曲线|y|＝2＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]. 答案 (1)A (2)[－1，1] 规律方法 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数 函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. a，a≤b，x【训练2】 (1)(2017·福建五校联考)定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2的图象 b，a>b， xx|x| |x| x是( ) - 4 - (2)方程2x＝2－x的解的个数是________. 解析 (1)因为当x≤0时，2x≤1；当x>0时，2x>1. x则f(x)＝1⊕2x＝2，x≤0， >0， 图象A满足. 1，x(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图). 由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解. 答案 (1)A (2)1 考点三 指数函数的性质及应用(易错警示) 【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5 >1.73 B.0.6－1>0.62 C.0.8 －0.1>1.250.2 D.1.70.3 <0.93.1 (2)已知函数f(x)＝13 ax2 －4x＋3 . ①若a＝－1，求f(x)的单调区间； ②若f(x)有最大值3，求a的值； ③若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值. (1)解析 A中， ∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5 <1.73 ，错误； B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2， ∴0.6－1 >0.62 ，正确； C中，∵(0.8)－1 ＝1.25， ∴问题转化为比较1.250.1 与1.250.2 的大小. ∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1 <1.250.2 ，即0.8 －0.1<1.250.2 ，错误； D中，∵1.70.3 >1, 0<0.93.1 <1， - 5 - ∴1.7>0.9，错误.故选B. 答案 B 0.33.1 1(2)解 ①当a＝－1时，f(x)＝3 2 2 2 －x－4x＋3 ， 令u＝－x－4x＋3＝－(x＋2)＋7. 1在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f(x)3 在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2). u1②令h(x)＝ax－4x＋3，y＝3 2 h（x） ，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1， a>0， 因此必有12a－16解得a＝1， ＝－1，4a即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. ③由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax－4x＋3的值域为R，则必有a＝0. 规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论. 【训练3】 (1)(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2 |x－m| 2 －1(m为实数)为偶函数， 记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) A.a (2)设函数f(x)＝3则使得f(x)≤3成立的x的取值范围是________. x－82e，x<8，解析 (1)由函数f(x)＝2为增函数， log0.53＝－log23，所以log25>|－log23|>0， 所以b＝f(log25)>a＝f(log0.53)>c＝f(2m)＝f(0)， 故b＞a＞c，选B. - 6 - |x－m| －1为偶函数，得m＝0，所以f(x)＝2－1，当x>0时，f(x) |x| 1 (2)当x≥8时，f(x)＝x≤3， 3∴x≤27，即8≤x≤27； 当x<8时，f(x)＝2e x－8 ≤3恒成立，故x<8. 综上，x∈(－∞，27]. 答案 (1)B (2)(－∞，27] [思想方法] 1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算. 2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较. 3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0 [易错防范] 1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域. 2.对可化为a＋b·a＋c＝0或a＋b·a＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围. 2xx2xx - 7 - 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容