第二轮使用北师大版《数学1(必修)》的感受和建议

・教材教法・　中’７擞・７（２０１１年第５期・高中版）　１９　第二轮使用北师夫版《教学１（　修）》的感受和建议　２３６８００安徽省亳州市第一中学安徽省于２００６年推行新课程改革，绝大部分地区　选用人教版新课程教材，仅笔者所在的皖北地区使用北　师大版教材．今年已是笔者第二轮使用该教材，仔细对　史嘉　章的《中学数学思想方法介绍》，编写人员参考徐利治、　解恩泽、钱佩玲、邵光华、朱成杰、顾泠沅等大家的相关　专著梳理而成，既有系统性又有对比性．笔者学习了该　比２０１０年版（简称新教材）与２００７年版（简称老教材）　发现在实例的选取、习题的选择、部分知识点的编排顺　序以及一些细节等方面都有了很大的改进和完善，教师　教学用书更是经历了大刀阔斧的修订．现把笔者在使用　过程中的粗浅感受和一些值得商榷的地方罗列如下，请　同仁思考和讨论，也供教材再版时参考．　１　新教材的一大特色——注重数学史和数学文化的介绍　北师大版教材充分诠释了《课程标准》的“数学是人　类文化的重要组成部分”这一观点．通过开设“阅读材　料”和“小资料”栏目，向学生介绍了数学科学与人类社　会发展直接的相互作用，让学生体会数学的科学价值、　应用价值和人文价值，寻求数学进步的历史轨迹，激发　对于数学创新原动力的认识．另外，数学阅读能力也是　学好数学所必需的能力之一，“阅读材料”和“小资料”　恰好提供了大量丰富的数学文献，可在教师的引导下让　学生自主地进行阅读学习．“阅读材料”栏目的如第１６　页的《康托与集合论》，第３５页的《生活中的映射》，第　５ｌ页的《函数概念的发展》，第１０４页的《历史上数学计　算方面的三大发明》和第１３１页的《函数与中学数学》；　“小资料”栏目的如第８５页的“棋盘上的学问”和“６４片　金片在三根金针上移动的寓言”，第９９页的大数的计算　介绍（２瑚一３．２７ｘ１０　），第１２２页的“市场经济的供求　关系”；另外，在章末小结还零星介绍一些小知识，如第　１３３页的小结二分法时顺带介绍了０．６１８法等．通过大　量有关数学史的阅读材料介绍数学的美学价值和数学　家的创新精神，帮助学生感受数学在人类文明发展史上　的作用，渗透数学独有的文化价值和科学价值，大大开　阔了学生的视野．　２教师教学用书的一大亮点——课程资源　教材只有１４０页，而教学用书则多达２４９页．编者不　惜笔墨搜集和整理了大量相关的阅读材料和数学思想　方法等内容，此块内容是个最靓的亮点．比如第一、第二　“课题资源”介绍的数学思想方法，实践于教学，整理成　《数学课堂要重过程更要重思想——以解简单的分式不　等式为例》一文，很快发表在２０１０年第１１期《中小学数　学（高中版）》．因此，教参中的“课程资源”是正处在新　课程改革浪潮中一线教师的宝贵源泉，弥足珍贵．　３　已修改但仍有待商榷的地方　３．１新增的部分　新教材第４页增加一段内容：“在给定的集合中，元　素是互异的．也就是说，集合中的任何两个元素都是不　相同的，因此，集合中的元素没有重复现象．”这其实是　说集合元素的“互异性”，弥补了老教材只讲“确定性”　的不足．事实上，绝大多数教师教授此内容时都或多或　少的强调集合元素的“三性”，因此，笔者建议加上集合　元素“无序性”的论述，然后水到渠成地给出集合相等的　概念，等后面讲“集合的基本关系”时再从子集的角度理　解集合相等．　３．２修改的部分　（１）老教材“换底公式”一节的近似计算均把“　”　错写成“＝＂，如“ｌ。　１５＝　＝３．９０６８９０６，ｌｏｇ２１５＝　＝　３．９０６８９０６”，新教材全部改为“ｌｏｇ２１５＝　３．９０６８９０６，ｌｏｇ２１５＝　３．９０６８９０６”．但在例８和例９　中题目明确给出近似值的要求，比如例８的要求“精确　到０．００１”，结果新教材把“ｌｏｇ２４８＝５．５８５”也改为“ｌｏｇ：４８　—５．５８５”，笔者觉得有待商讨，因为在具体近似值的要　求下，ｌｏｇ２４８就是等于５．５８５．　（２）老教材“利用二分法求方程的近似解”一节的　例４：“求方程２　＋３　一３＝０的一个实数解，精确到　０．Ｏ１．”新教材把“精确到０．Ｏ１”改为“精度为０．Ｏ１”，解　法进行了全新的表述．其实“精确到”和“精确度（精　度）”是两个完全不同的概念．“精确到０．Ｏ１”是指对有　２０　◆・７擞－？（２０１１＃－ｇ　５期・高中版）　４．３需要修改的部分　ｔ　－　．教材教法．　：　解区问左右两端点值的小数点后第３位进行四舍五入，　若是同一个数值，则该数值即为所求，满足题意的近似　解就那一个；而“精度为０．０１”是指近似解与真实解之间　误差的绝对值小于０．Ｏ１，即有解区间的区间长度小于　ｌ＿（１）新教材第２７页　函数概　’的表２—３讲述四种　区间的符号记法，其中第一种是把集合｛　ｏ≤　≤ｂ｝记　作闭区间［ｏ，ｂ］，几何表示为如图１（数轴上口和ｂ之间　的部分为蓝色）．　０．Ｏ１，且该区间内的任意数值均是满足题意的近似解，　有无数多个．为减轻学生负担，减少不必要的概念，建议　把“精度为０．Ｏｌ”改为“误差不超过０．Ｏ１”．　４教材依然值得商榷的地方　。　除了以上“已修改但依然有待商榷的地方”零星的　修改建议，接下来，笔者将阐述几处没有修改却值得商　榷的地方．　４．１需要增加的部分　．　（１）新教材第４页“自然数组成的集合简称自然数　集，记作Ｎ；正整数组成的集合简称正整数集，记作Ｎ＋；　整数组成的集合简称整数集，记作ｚ；”教学中有学生　问：“为什么正整数集不用ｚ＋而用Ｎ＋呢？整数集有自己　的符号呀．”另外，许多资料把正整数集或非零自然数集　记为Ｎ　．笔者建议将其修改为“自然数组成的集合简称　自然数集，记作Ｎ，非零自然数集记作Ｎ＋或Ｎ‘；整数组　成的集合简称整数集，记作Ｚ；正整数组成的集合简称　正整数集，记作Ｚ　；”这样处理更自然一些，也为正实数　集Ｒ　和负实数集Ｒ一等符号的使用做好铺垫．　（２）新教材第９４页的例６，是观察在同一坐标系内　函数ｙ＝ｌｏｇ　与函数Ｙ＝２　的图象，分析它们之间的关　系．解日：“从图３—１６（１）上可以看出，点Ｐ（口，ｂ）与点　Ｑ（ｂ，口）关于直线ｙ＝ｘ对称．函数），＝ｌｏｇ　与函数ｙ＝２　互为反函数，对应于函数Ｙ＝ｌｏｇ：　图象上的任意一点　Ｐ（ｏ，６），Ｐ点关于直线ｙ＝Ｘ的对称点Ｑ（ｂ，口）总在函数　ｙ＝２　图象上，所以，函数ｙ＝ｌｏｇ　的图象与函数），＝２　的　图象关于直线ｙ＝ｘ对称（如图３—１６（２））．”若由函数ｙ＝　）的图象上任意一点Ｐ（口，６）关于直线ｙ＝Ｘ的对称点　Ｑ（６，ｏ）总在函数），＝ｇ（　）的图象上，就匆忙下结论说函　数ｙ＝Ａ　）的图象与函数Ｙ＝ｇ（　）的图象关于直线Ｙ＝　对称，显然有点欠考虑．建议在“所以”之前加上“反过　来，函数ｙ＝２　的图象上任意一点Ｐ　（口，６）关于直线ｙ＝Ｘ　的对称点Ｑ　（６，口）也总在函数ｙ＝ｌｏｇ２ｘ的图象上”．　４．２需要删减的部分　新教材第３７页“函数的单调性”，第４段”“一般地”　和第５段“类似地”就是在重复该页的第ｌ段和第２段　函数单调性的定义，没有重复的必要．　ａ　６　．．．：【＝＝二二］一　口　６　图１　图２　。　笔者建议把“几何表示”改为如图２，一则蓝色线表　示不方便师生实际使用，二则早在第８、１１、ｌ３页数集的　数轴表示就是如图２，没有必要重新规定，其它三个也应　作类似的修改．另外，表２—３之前的要求“ａ－＜６”使得　｛　Ｉ８≤　≤６｝和［ｎ，ｂ］并不等价，因此，是否应该把　８＜　ｂ”改为“ｏ≤６”也值得思考．　（２）新教材第６３页的注①“我们把形如ｙ＝ｋ　（　∈Ｒ，口　＞Ｏ，且口≠１）的函数称为指数型函数”，显然应该修改为　“我们把形如，，＝　（幻∈０且后≠１，ａ＞０且口≠１）的函数　称为指数型函数”．因为若“五＝０或后：１”函数ｙ＝　即　为常函数或指数函数．　　。（３）新教材第６７页，指数概念扩充后的三条指数运　算性质　“（１）口　・口　＝口　“；（２）（ａ　）　＝ｃ，　；ｌ（３）ｌ（ａｂ）　＝　ａ　ｂ　．（ａ＞０，ｂ＞０，ｍ，ｎ∈Ｒ）”其中指数ｍ和，ｌ延续了初中　的记号，既然指数已经由正整数扩充到实数，不如把指　数的记号也作相应的变化以示区别，其实第１０５＇页的本　章小结中指数运算性质就表述为　－－ｊ　“（１）口　・　＝口　；（２）（ａ　）　＝口　；（３）（如）　；　ａ＂ｂ　．（ｎ＞０，６＞０，　，口∈Ｒ）”，这样也和之前的幂函数　“ｙ＝ｘ　’的指数符号保持一致了．　、　（４）新教材第４７页习题２—　组的两个习题存寄要修改．　第３题：二次函数），＝　＋　＋２（口＞０）在Ｒ上的最小　值为　ａ）．写出函数　口）的解析式，判定　ａ）在［１，５］　上的单调性，并画出函数　ｎ）的图象．　通过批改作业发现约九成的学生认为　口）＝口’＋口２　＋２，进而判定　ｏ）在［１，５］上的单调性．究其原因是学　生刚刚接触到函数的表达方式ｙ　），所以，学生自然　认为　ｏ）就是把ａ代人到二次函数解析式．建议修改为　“二次函数　）＝　＋似＋２（ａ＞０）在Ｒ上的最小值为　ｇ（口）．写出函数ｇ（ｏ）的解析式，判定ｇ（ｎ）在［１，５］上的　单调性，并画出函数ｇ（ａ）的图象．”　・教材教法・　中’？擞．７（２０１１年第５期・高中版）　２ｌ　由正切举角公式引发的问题与恩考　６４１１１２　四川省内江师范学院数学与信息科学学院　赵思林　６４１１１２　四川省内江市第六中学校黄兴友　１　问题背景　为研究高中新课改，学院派赵思林到内江六中工作　例１试以ｃ。ｓ　表示ｓｉｎ　詈，ｃｏｓ　詈，ｔａｎ　虿ｏｔ．　一年，主要工作是全程参加该中学的数学各年级教研活　在教材的１３９页右边又写到：　动、听课、上课、指导青年教师、研究新课改等．在听课的　例１的结果还可以表示为　过程中，既获得了中学教学经验，也发现了一些问题，更　融“　．　±　／１－—－’ＣＯＳ　　一，ＣＯＳ　±４—。／１＋ＣＯＳ　一，　　引发了不少思考．比如，笔者在听“简单的三角恒等变　换”一节时，既发现了问题，也引发了一些思考．　ｔａｎ　ＩＸ＝±±＾√　、／　Ｉ－ｃｏｓ　ｉｘ，，　　’①　先看：人教社Ａ版普通高中课程标准实验教科书数　（注①系笔者所加ｊ　学４第１３９页中的　第４题：Ａ，曰两只船分别从同在东西方向上相距　出现都显得突然．不如把幂函数单独设一节放在第三章　１４５ｋｉｎ的甲、乙两地开出，Ａ从甲地白东向西行驶，　从　的最后，第二章重点讲函数的概念和二次函数，第三章　乙地自北向南行驶；Ａ的速度是４０ｋｍ／ｈ，Ｂ的速度是　重点讲三大函数：指数函数、对数函数和幂函数，苏教版　１６ｋｍ／ｈ．经过多少时间Ａ，　间的距离最短？　的教材就是按这个顺序编写的．　此题叙述的背景应该是甲地在乙地的东边，配套教　（３）新教材第三章第一节通过实例引入正整数指数　师教学用书提供的答案也是这种情形．事实上，根据题　函数，第二节开始扩充指数，第三节讲指数函数。对于这　意甲地可在乙地的东边，也可在乙地的西边，应该分两　三节的处理，许多老师是直接讲第二节，然后把第一、三　种情况讨论．建议把题目改为“甲地在乙地东边１４５ｋｉｎ　节合二为一；有的老师干脆删除第一节，理由是正整数　处，Ａ，曰两只船分别从甲、乙两地开出……”　指数函数是指数函数的特例，第二节将其断开，显得不　４．４需要调动的部分　够流畅，迂回哕嗦，也没有必要．笔者建议把正整数指数　（１）新教材第７页给出“子集”的概念，紧接着是　函数的概念放到第三节的第一小节，现在的第一小节也　“显然，任何一个集合都是它本身的子集，即Ａ　Ａ．”直　就短短５行——指数函数的概念．这样先介绍正整数指　到第８页要讲例题之前才“我们规定：空集是任何集合　数函数，然后按第二节（调整后的第一节）指数扩充的路　的子集．也就是说，对于任何一个集合Ａ，都有（２）　Ａ．”　径直接到指数函数的概念，既连贯自然又易于接受．　教材生硬地把集合子集的两种“极端”情况分裂开来．笔　参考文献　者认为应在“Ａ　Ａ”之后立刻给出规定‘‘、（２）　Ａ”，这样处　１　中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准（实　理不仅显得教材编写自然流畅，而且有利于学生对子集　验）人民教育出版社，２００６　概念的全面准确理解．　２严士健，王尚志．数学１（必修）．北京师范大学出版社，　２００７和２０１０　（２）新教材第二章《函数》最后一节是《简单的幂函　３严士健，王尚志．数学１（必修）教师教学用书．北京师范　数》（第４８页），到第三章讲完指数函数后又讨论幂函数　大学出版社，２０１０　ｌ　ｙ＝Ｘ　的图象与性质，它们被生硬的分居两地，且两者的　（收稿日期：２０１１０２１７）