高中理科数学公式大全(完整版)

高中数学公式大全（最新整理版）

§01. 集合与简易逻辑 1. 元素与集合的关系

xAxCUA,xCUAxA.

2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含关系

ABAABBABCUBCUA

ACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB).

5．集合{aan1,2,,an}的子集个数共有2 个；真

子集有2n–1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)ax2bxc(a0); (2)顶点式f(x)a(xh)2k(a0); (3)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0). 7.一元二次方程的实根分布

依据：若f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根 .

设f(x)x2pxq，则

（1）方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件

p24q0为f(m)0或p；

2m（2）方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为

f(m)0f(n)0f(m)f(n)0或p24q0或f(m)0)0或

f(nmp2nf(n)0f(m)0； （3）方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件p24q0为f(m)0或p2m .

8.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

文案大全

(1)在给定区间(,)的子区间L（形如,，

,，,不同）上含参数的二次不等式

f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是

f(x,t)min0(xL).

(2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二

次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是

f(x,t)man0(xL).

(3)f(x)ax4bx2c0恒成立的充要条件是a0b0或a0. 2c0b4ac09.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假

10.四种命题的相互关系

原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；

逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；

否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；

逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否；

15.充要条件

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件. （3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

§02. 函数

11.函数的单调性

(1)设x1x2a,b,x1x2那么

(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)xx0f(x)在a,b上是增函数；

12(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)xx0f(x)在a,b上是减函数.

12(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.

实用标准文档

12.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数; 如果函数

yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.

13．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

14.若函数yf(x)是偶函数，则

f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).

15.对于函数

yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函

数f(x)的对称轴是函数xab2;

两个函数yf(xa)与yf(bx) 的图

象关于直线xab2对称.

16若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关

于点(a2,0)对称;

若f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.

17.函数yf(x)的图象的对称性

(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称

f(ax)f(ax) f(2ax)f(x).

(2)函数yf(x)的图象关于直线xab2对称f(amx)f(bmx)

f(abmx)f(mx).

18.两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.

(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线xab2m对称. (3)函数yf(x)和yf1(x)的图象关于直线

y=x对称.

19.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线

f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.

20．互为反函数的两个函数的关系

文案大全

f(a)bf1(b)a.

21.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y1k[f1(x)b],并不是y[f1(kxb),而函

数y[f1(kxb)是y1k[f(x)b]的反函数.

22.几个常见的函数方程 (1)正比例函数

f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

(2)指数函数

f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)对数函数f(x)logax,

f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

(4)幂函数

f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f'(1).

(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数

g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limg(x)x0x1.

23.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x)f(xa)0，

或f(xa)1f(x)(f(x)0)， 或f(xa)1f(x)(f(x)0),

或12f(x)f2(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a；

(3)f(x)11f(xa)(f(x)0)，则f(x)的周

期T=3a；

(4)f(xf(x1)f(x2)1x2)1f(x且

1)f(x2)f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则f(x)的周期T=4a；

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的

周期T=5a；

(6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a.

24.分数指数幂

m(1)an1nam（a0,m,nN，且n1）.

实用标准文档

m(2)an1m（a0,m,nN，且n1）.

an25．根式的性质 （1）(na)na.

（2）当n为奇数时，nana； 当n为偶数时，nan|a|a,a0a,a0.

26．有理指数幂的运算性质 (1) arasars(a0,r,sQ).

(2) (ar)sars(a0,r,sQ).

(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).

注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap

表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

27.指数式与对数式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

28.对数的换底公式

logNaNlogmlog (a0,且a1,m0,且

mam1, N0).

推论 lognnambmlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1, N0).

29．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)logaMlogaN;

(2) logMaNlogaMlogaN;

(3)lognaMnlogaM(nR).

§03. 数 列

30. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有yN(1p)x.

31.数列的同项公式与前n项的和的关系

as1,n1nsnsn1,n2( 数列{an}的前n项的和为

sna1a2an).

32.等差数列的通项公式

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

其前n项和公式为

文案大全

sn(a1an)n(n1)n2na12d d2n2(a112d)n. 33.等比数列的通项公式

ana1qn1a1qqn(nN*)； 其前n项的和公式为

a1(1qns)q,q1n1 na1,q1a1anq或s,q1n1q. na1,q134.等比差数列an:an1qand,a1b(q0)的通项公式为

b(n1)d,qa1nbqn(db)qn1dq1,q1；

其前n项和公式为

nbn(n1)d,(q1)sn(bd1qnd. 1q)q11qn,(q1)

§04. 三角函数

35．常见三角不等式 （1）若x(0,2)，则sinxxtanx.

(2) 若x(0,2)，则1sinxcosx2. (3) |sinx||cosx|1.

36.同角三角函数的基本关系式

sin2cos21，tan=

sincos，tancot1.

37.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

nn(1)2sin((n为偶数) 2)sin,n1 (1)2co s,(n为奇数) (n为偶数) cos(nn2)(1)2cos, n1(1)2sin,(n为奇数) 实用标准文档

38.和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tan()tantan1tantan.

sin()sin()sin2sin2(平方正

弦公式);

cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tanba ).

39.二倍角公式

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

tan22tan1tan2.

40.三角函数的周期公式

函数ysin(x)，x∈R及函数

ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω

＞0)的周期T2；

函数ytan(x)，xk2,kZ(A,

ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T. 41.正弦定理

asinAbsinBcsinC2R. 42.余弦定理

a2b2c22bccosA; b2c2a22cacosB; c2a2b22abcosC.

43.面积定理

（1）S12ah11a2bhb2chc（ha、hb、hc分别

表示a、b、c边上的高）.

（2）S12absinC112bcsinA2casinB. (3)SOAB12(|OA||OB|)2(OAOB)2. 44.三角形内角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

C22AB22C22(AB). 45.实数与向量的积的运算律

文案大全

设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 46.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 47.平面向量基本定理

如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

48．向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则ab(b0)x1y2x2y10.

49. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 50. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

51.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2).

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2). (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则

ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y). (5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2y1y2).

52.两向量的夹角公式

cosx1x2y1y2x2y222(a=(x1,y1),b=

11x2y2(x2,y2)).

53.平面两点间的距离公式 dA,B=|AB|ABAB

(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

54.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则 A||bb=λa x1y2x2y10. ab(a0)a·b=0x1x2y1y20. 55.线段的定比分公式 设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP12的

实用标准文档

分点,是实数，且PP1PP2，则 x1xx21OPOP2yOP1yy121 1OPtOP1(1t)OP2（t11）. 56.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、

B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是

G(x1x2x3yyy33,123).

57.点的平移公式

x'xhx'y'ykxhOP'OPPP' . yy'k注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F'上

的对应点为P'(x',y')，且PP'的坐标为(h,k). 58.“按向量平移”的几个结论

（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点

P'(xh,yk).

(2) 函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移

后得到图象C',则C'的函数解析式为yf(xh)k.

(3) 图象C'按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C'的函数解析式为

yf(xh)k.

(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得

到图象C',则C'的方程为f(xh,yk)0.

(5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

59. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

（1）O为ABC的外心OA2OB2OC2. （2）O为ABC的重心OAOBOC0. （3）O为ABC的垂心

OAOBOBOCOCOA.

（4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0.

（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.

§06. 不 等 式

60.常用不等式：

文案大全

（1）a,bRa2b22ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（2）a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0). （4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

（5）ababab.

61.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；

（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值

14s2. 推广 已知x,yR，则有

(xy)2(xy)22xy

（1）若积xy是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大；

当|xy|最小时,|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,则当|xy|最大时,

|xy|最小；

当|xy|最小时, |xy|最大.

62.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有

xax2a2axa.

xax2a2xa或xa.

63.无理不等式 （1）f(x)g(x)f(x)0g(x)0 .

f(x)g(x)（2）

f(x)0f(x)g(x)g(x)0或f(x)0. f(x)[g(x)]2g(x)0f(x)0（3）f(x)g(x)g(x)0.

f(x)[g(x)]264.指数不等式与对数不等式 (1)当a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

实用标准文档

logf(x)0af(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)(2)当0a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logx)logaf(ag(x)g(x)0

f(x)g(x)

§07. 直线和圆的方程

65.斜率公式

ky2y1xx（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

21

66.直线的五种方程

（1）点斜式 yy1k(xx1) (直线l过点

P1(x1,y1)，且斜率为k)．

（2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截

距).

（3）两点式

yy1yxx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)

2y1x2x1(x1x2)).

(4)截距式 xyab1(a、b分别为直线的横、

纵截距，a、b0)

（5）一般式 AxByC0(其中A、B不同时

为0).

67.两条直线的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2

①l1||l2k1k2,b1b2; ②l1l2k1k21. (2)若

l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、

A2、B1、B2都不为零,

①lA1B1C1||l2A1； 2B2C2②l1l2A1A2B1B20；

68.夹角公式

(1)tan|k2k11k|.

2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

(2)tan|A1B2A2B1AA|.

12B1B2文案大全

(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,

A1A2B1B20).

直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是2. 69. l1到l2的角公式

(1)tank2k11k.

2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

(2)tanA1B2A2B1A.

1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,

A1A2B1B20).

直线l1l2时，直线l1到l2的角是

2. 70．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线xx0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为

A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线

l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中

λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线AxByC0平行的直线系方程是

AxBy0(0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是BxAy0,

λ是参变量．

71.点到直线的距离

d|Ax0By0C|A2B2(点P(x0,y0),直线l：

AxByC0).

72. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 (xa)2(yb)2r2. （2）圆的一般方程

x2y2DxEyF0(D2E24F＞0).

（3）圆的参数方程 xarcosbrsin.

y（4）圆的直径式方程

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端

实用标准文档

D(x0x)E(y0y)F0. 2273. 圆系方程

当(x0,y0)圆外时, (1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是

x20)]x)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1D(x0E(y0y)x0xy0yF0表示

22

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0过两个切点的切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为

,其中axbyc0是直线AB的方程,λ是待定的系

yy0k(xx0)，再利用相切条件求k，这时必

点是A(x1,y1)、B(x2,y2)).

x0xy0y数．

(2)过直线l:AxByC0与圆

C:x2y2DxEyF0的交点的圆系方程是

x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待

定的系数．

22(3) 过圆C1:xyD1xE1yF10与圆

有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．

222(2)已知圆xyr．

①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为

C2:xyD2xE2yF20的交点的圆系方程是

x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0,λ是待定的系数．

74.点与圆的位置关系

点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种

若d(ax0)(by0)，则

2222222x0xy0yr2;

②斜率为k的圆的切线方程为

dr点P在圆外;dr点P在圆

上;dr点P在圆内.

75.直线与圆的位置关系 直线AxByC0与圆

ykxr1k2.

§08. 圆锥曲线方程

x2y278.椭圆221(ab0)的参数方程是

abxacos. ybsinx2y279.椭圆221(ab0)焦半径公式

aba2a2PF1e(x)，PF2e(x).

cc80．椭圆的的内外部

(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种:

dr相离0; dr相切0; dr相交0.

其中dAaBbCAB22.

76.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，

O1O2d

dr1r2外离4条公切线; dr1r2外切3条公切线;

x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的

ab22x0y0内部221.

abx2y2（2）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的

ab22x0y0外部221.

ab81. 椭圆的切线方程

r1r2dr1r2相交2条公切线; dr1r2内切1条公切线;

0dr1r2内含无公切线.

77.圆的切线方程

(1)已知圆xyDxEyF0． ①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是

文案大全

22x2y2(1)椭圆221(ab0)上一点P(x0,y0)abxxyy处的切线方程是02021.

abx2y2 （2）过椭圆221(ab0)外一点

abP(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

实用标准文档

x0xa2y0yb21. ）椭圆x2y2 （3a2b21(ab0)与直线

AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2.

x2ay296.双曲线2b21(a0,b0)的焦半径公式

|e(xa2a2PF1c)|，PF2|e(cx)|.

82.双曲线的内外部

(1)点P(x0,y0)在双曲线

x2y2a2b21(a0,b0)的内部x2y200a2b21.

(2)点P(x0,y0)在双曲线x2y2x220y0a2b21(a0,b0)的外部a2b21.

83.双曲线的方程与渐近线方程的关系

）若双曲线方程为x2y2(1a2b21渐近线方程：

x2y2a2b20ybax. (2)若渐近线方程为ybxyaxab0双

x2y2曲线可设为a2b2.

x2y2 (3)若双曲线与a2b21有公共渐近线，可设为

x2y2a2b2（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.

84. 双曲线的切线方程

(1)双曲线

x2a2y2b21(a0,b0)上一点P(x处的切线方程是x0xyy0,y0)a20b21.

x2y2 （2）过双曲线a2b21(a0,b0)外一点

P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是 x0xy0ya2b21. （3）双曲线x2y2a2b21(a0,b0)与直线

AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2.

100. 抛物线y22px的焦半径公式

文案大全

抛物线y22px(p0)焦半径CFxp02. 过焦点弦长

CDx1p2xp22x1x2p. 285.抛物线y22px上的动点可设为P(y2p,y)或P(2pt2,2pt)或 P(x,y)，其中 y22px.

86.二次函数

2bxca(xb24acb2yax2a)4a(a0)的图象

b4acb2是抛物线：（1）顶点坐标为(2a,4a)；（2）焦点的坐标为(b4acb212a,4a)；（3）准线方程是4acb2y14a.

87.抛物线的内外部

(1)点P(x20,y0)在抛物线y2px(p0)的内部

y22px(p0).

点P(x20,y0)在抛物线y2px(p0)的外部

y22px(p0).

(2)点P(xy20,0)在抛物线y2px(p0)的内部y22px(p0).

点P(x,y200)在抛物线y2px(p0)的外部

y22px(p0).

(3)点P(x20,y0)在抛物线x2py(p0)的内部

x22py(p0).

点P(xy20,0)在抛物线x2py(p0)的外部

x22py(p0).

(4) 点P(x)在抛物线x20,y02py(p0)的内部x22py(p0).

点P(x在抛物线x20,y0)2py(p0)的外部

x22py(p0).

88. 抛物线的切线方程

(1)抛物线y22px上一点P(x0,y0)处的切线方

程是y0yp(xx0).

（2）过抛物线y22px外一点P(x0,y0)所引两条

切线的切点弦方程是y0yp(xx0).

（3）抛物线y22px(p0)与直线

AxByC0相切的条件是pB22AC.

实用标准文档

（3）转化为面面平行.

95．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； 线系方程是

（2）转化为线面平行；

f1(x,y)f2(x,y)0(为参数).

（3）转化为线面垂直.

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程96．证明直线与直线的垂直的思考途径 22xy（1）转化为相交垂直； 221kmax{a,b},其中.当

（2）转化为线面垂直； a2kb2k（3）转化为线与另一线的射影垂直； kmin{a2,b2}时,表示椭圆; 当

（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.

min{a2,b2}kmax{a2,b2}时,表示双曲线.

97．证明直线与平面垂直的思考途径

90.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

22（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； AB(x1x2)(y1y2)或

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

222AB(1k)(x2x1)|x1x2|1tan|y1y2|（41）转化为该直线垂直于另一个平行平面；cot2

（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. ykxb（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程 消98．证明平面与平面的垂直的思考途径

F(x,y)0（1）转化为判断二面角是直二面角；

2去y得到axbxc0，0,为直线AB的倾（2）转化为线面垂直. 斜角，k为直线的斜率）. 99.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

91.圆锥曲线的两类对称问题 (1)加法交换律：a＋b=b＋a．

(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． （1）曲线F(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称

(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 的曲线是F(2x0-x,2y0y)0.

100.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推

（2）曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成广 轴对称的曲线是 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等

2A(AxByC)2B(AxByC)于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始F(x,y)0点的对角线所表示的向量. A2B2A2B2101.共线向量定理 .

对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在92.“四线”一方程

实数λ使a=λb． 对于一般的二次曲线

P、A、B三点共线Ax2BxyCy2DxEyF0，用xx代x2，用

89.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲

AP||ABAPtABx0xx0yxy0代xy，用代x，用y0y代y，用

OP(1t)OAtOB. 22y0yAB||CDAB、CD共线且AB、CD不共线代y即得方程 2ABtCD且AB、CD不共线.

x0yxy0x0xy0yAx0xBCy0yDEF0102.共面向量定理

222向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实

，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方数对x,y,使paxby． 程得到. 推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序

实数对x,y,使MPxMAyMB，

§09. 立体几何

或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使

2093．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.

94．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行；

OPOMxMAyMB.

103.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC（xyzk），则当k1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k1时，若O平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．

A、B、 C、D 四点共面AD与AB、AC共

文案大全

实用标准文档

面ADxAByAC

OD(1xy)OAxOByOC（O平面ABC）.

104.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使

OPxOAyOBzOC.

105.向量的直角坐标运算

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则 (1)a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)； (2)a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)； (3)λa＝(a1,a2,a3) (λ∈R)； (4)a·b＝a1b1a2b2a3b3； 106.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

ABOBOA= (x2x1,y2y1,z2z1).

107．空间的线线平行或垂直

设a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，则

x1x2abab(b0)y1y2；

z1z2abab0x1x2y1y2z1z20.

109.空间两点间的距离公式 若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

dA,B=|AB|ABAB(x22x1)(y2y1)2(z2z1)2. 110.点Q到直线l距离

h1a|(|a||b|)2(ab)2|(点P在直线l上，直

线l的方向向量a=PA，向量b=PQ).

111.异面直线间的距离

d|CDn||n|(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离).

112.点B到平面的距离

d|ABn||n|（n为平面的法向量，AB是经过

面的一条斜线，A）.

文案大全

113.异面直线上两点距离公式

dh2m2n22mncos.

dh2m2n22mncosEA',AF. dh2m2n22mncos（EAA'F）.

(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA'的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，

A'Em,AFn,EFd).

已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是c1和S1,则

①S斜棱柱侧c1l. ②V斜棱柱S1l.

114.球的半径是R，则

其体积V43R3, 其表面积S4R2．

115.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a,外接球的半径为64a. 116．柱体、锥体的体积

V1柱体3Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

V1锥体3Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

§10. 排列组合二项定理

117.分类计数原理（加法原理） Nm1m2mn. 118.分步计数原理（乘法原理） Nm1m2mn. 119.排列数公式

Amn=n(n1)(nm1)=

n！(nm)！.(n，m∈

实用标准文档

N，且mn)．

注:规定0!1. 120.排列恒等式

(1）A(nm1)A（2）Anm*

P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

m1; nmnnmAn1; nmmm1（3）AnnAn1;

nn1n（4）nAnAn1An;

128.独立事件A，B同时发生的概率

P(A·B)= P(A)·P(B).

129.n个独立事件同时发生的概率

P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．

130.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

kknkP. n(k)CnP(1P)（5）AAmA(6) 1!22!33!nn!(n1)!1.

121.组合数公式

mn1mnm1. nAnmn(n1)(nm1)n！==(Cmm！(nm)！12mAmn∈N*，mN，且mn).

mn=

131.离散型随机变量的分布列的两个性质

); （1）Pi0(i1,2,（2）P1P2132.数学期望

1.

122.组合数的两个性质 (1)C(2) Cmnm ; n=nmm1m=nn+n1.

Ex1P1x2P2xnPn

C133.数学期望的性质

（1）E(ab)aE()b. （2）若～B(n,p),则Enp. (3) 若服从几何分布,且

CC0注:规定Cn1.

123.组合恒等式

nm1m1Cn; mnmmCn（2）Cn1; nmnm1m（3）CnCn1;

m（1）CnmP(k)g(k,p)qk1p，则E134.方差

221. pxnEpn2Dx1Ep1x2Ep2

135.标准差

=D.

136.方差的性质

(1)DabaD；

2 （4）

Cnr=2n;

r0rrnrrrr1（5）CCr1Cr2CnCn1. 012rnn(6)CnCnCnCnCn2

(2）若～B(n,p)，则Dnp(1p).

(3) 若服从几何分布,且

P(k)g(k,p)qk1p，则D137.方差与期望的关系

2 负整数解有 Cnm1个. 124.二项式定理

n1q. p2DE2E.

0n1n12n22rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnab138.Cnb正态分布密度函数

;

二项展开式的通项公式

Tr1Ca

rnnr1，2，n). b(r0，rfx1e26x2262,x,，式中的实

§11、12. 概率与统计

125.等可能性事件的概率

数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.

139.标准正态分布密度函数

x1fxe2,x,.

262P(A)m. n126.互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

127.n个互斥事件分别发生的概率的和

文案大全

.

140.回归直线方程

yabx，其中

实用标准文档

nnxixyiyxiyinxybi11nixx2nx2. iinx2i1i1aybx141.相关系数

nxixyiy ri1nn

(xx)22i1(yiy)ii1nxixyiyi1nn. (x2inx2)(1y2iny2)ii1|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.

§13. 极 限

142.特殊数列的极限

0|q|1（1）limnnq1q1.

不存在|q|1或q1（2）

0(kt)limakaaknk1nk10btntbt1nt1bat(kt). n0bk不存在 (kt)（3）Slima11qna1n1q1q（S无穷等比数列aqn11 (|q|1)的和）.

143. 函数的极限定理

xlimxf(x)axlim0xf(x)xlimx(x)a.

00f144.函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足： （1）g(x)f(x)h(x);

（2）limxxg(x)a,limxxh(x)a（常数）,则

00xlimxf(x)a.

0本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立. 145.几个常用极限 （1）lim1nn0，limnan0（|a|1）； 文案大全

（2）limxx11xx0，lim0xx. 0xx0146.两个重要的极限 （1）limsinxx0x1；

（2）lim11xxe(e=2.718281845…).

x147.函数极限的四则运算法则

若limxxf(x)a，limxg(x)b，则

0x0(1)limfxgx0ab；

xx(2)limxxfxgxab;

0(3)limfxxx0gxabb0. 148.数列极限的四则运算法则 若limnana,limnbnb，则

(1)limnanbnab；

(2)limnanbnab；

(3)limannbanbb0

(4)nlimcannlimcnlimanca( c是常数).

§14. 导 数

149.f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）

f(x)yyf(x0x)f(x0)0xx0limx0xlimx0x.

150.瞬时速度

s(t)limss(tt)s(t0tlimt). t0t151.瞬时加速度

av(t)limvv(tt)v(t)t0tlim. t0t152.f(x)在(a,b)的导数

f(x)ydydfdxdxlimyx0xf(xx)f(x)lim. x0x153. 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义 函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0).

154.几种常见函数的导数

实用标准文档

(1) C0（C为常数）. (2) (x1n)'nxn(nQ). (3) (sinx)cosx. (4) (cosx)sinx. (5) (lnx)11ex；(logax)xloga. (6) (ex)ex; (ax)axlna.

155.导数的运算法则

（1）(uv)'u'v'. （2）(uv)'u'vuv'.

u'（3）('u'vuvv)v2(v0). 156.复合函数的求导法则

设函数u(x)在点x处有导数u'x'(x)，函数

yf(u)在点x处的对应点U处有导数y''uf(u)，则复合函数yf((x))在点x处有导数，且

y'''xyuux，或写作f'x((x))f'(u)'(x).

§15. 复 数

157.复数的相等

abicdiac,bd.（a,b,c,dR） 158.复数zabi的模（或绝对值） |z|=|abi|=a2b2. 159.复数的四则运算法则

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i; (2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i; (3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i; (4)

(abi)(cdi)acbdc2d2bcadc2d2i(cdi0). 160.复数的乘法的运算律

对于任何z1,z2,z3C，有 交换律:z1z2z2z1.

结合律:(z1z2)z3z1(z2z3). 分配律:z1(z2z3)z1z2z1z3 . 161.复平面上的两点间的距离公式

d|z1z2|(x2x1)2(y2y1)2（z1x1y1i，z2x2y2i）.

162.向量的垂直

非零复数z1abi，

z2cdi对应的向量分别是OZ1，OZ2，则

OZz21OZ2z1z2的实部为零z为纯虚数1文案大全

|z1z22||z1|2|z2|2

|z1z22||z21||z22||z1z2||z1z2|acbd0z1iz2 (λ为非零实数).

163.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程ax2bxc0，

①若b24ac0,则xbb24ac1,22a; ②若b24ac0,则xb1x22a;

③若b24ac0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根

xb(b24ac)i22a(b4ac0).