一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线A.
的倾斜角是( )
B.
C.
D.
2.甲、乙、丙、丁共4名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第4名的名次名次无重复，其中前2名将获得参加市级比赛的资格．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，4人的排名有种不同情况．( )A. 6
B. 8
C. 10
，且
D. 12
，则
3.在空间四边形OABC中，
( )
A. B. C. D.
4.2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点离月
面最近的点约为200公里，远月点离月面最远的点约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为( )A. 5.如果向量A.
6.今天是星期四，经过A. 三
B. ，B. 1
天后是星期( )B. 四
C. 五
D. 六
C. ，C.
D.
共面，则实数m的值是( )
D. 5
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7.在正方体直线MN与A.
8.已知抛物线( )A.
B. 1
中，M，N分别为AD，
所成角的余弦值为( )
B.
C.
的中点，O为侧面的中心，则异面
D.
，则当
最大时，
的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若
C. D. 2
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知点A. C.
10.已知空间向量A. 向量B. C. 向量D. 向量
与
和
为圆锥曲线C的焦点，则C的方程可能为( )
B. D.
都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是( )的模是3
可以构成空间的一个基底夹角的余弦值为共线
11.下列说法正确的为( )
A. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有
种不同的分法；
种不同的分法；
B. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有C. 6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；D. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．12.关于曲线A. 该曲线的范围为：
的以下描述，正确的是( )，
B. 该曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称C. 该曲线与直线
有两个公共点
D. 该曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为1三、填空题（本大题共4小题，共20分）
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13.若直线与直线垂直，则__________.
14.双曲线C的离心率为2，写出满足条件的一个双曲线C的标准方程__________.15.在一平面直角坐标系中，已知A，B两点间的距离为__________.16.已知圆C的方程为
，点P是直线
上的一个动点，过点P作圆C的两条切线
，
，现沿x轴将坐标平面折成
的二面角，则折叠后
PA、PB，A、B为切点，则四边形PACB的面积的最小值为__________；直线AB过定点__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题10分
在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于37；条件②：第3项与第7项的二项式系数相等；问题：在二项式
的展开式中，已知______.
求展开式中二项式系数最大的项设求
18.本小题12分在平面直角坐标系中，已知
求M的轨迹方程；设
，点N是MC的中点，求点N的轨迹方程；
、
，动点M满足
的展开式中
的系数．
，求
的值；
设M的轨迹与N的轨迹的交点为P、Q，求19.本小题12分如图在直三棱柱的中点，H是
求证：求证：
平面
中点，P是；
；的距离．中，与
，
的交点，Q是
与
，M为AB的中点，N为的交点．
求直线PQ与平面
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20.本小题12分已知双曲线
求双曲线E的标准方程;若过点
的直线l与E交于A，B两点，点P能否为线段AB的中点?并说明理由.
的两条渐近线所成的锐角为
且点
是E上一点.
21.本小题12分如图，已知在四棱锥
，
中，，
平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，
求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；在线段PB上是否存在点E，使得二面角存在，说明理由.22.本小题12分已知椭圆上，过
作
O是坐标原点，，
，
分别为椭圆的左、右焦点，点
在椭圆C
的余弦值
？若存在，指出点E的位置；若不
的外角的平分线的垂线，垂足为A，且
求椭圆C的方程;
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设直线中O为坐标原点
与椭圆C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率之和为其
①求证：直线l经过定点，并求出定点坐标;②求
面积的最大值.
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答案和解析
1.【答案】A 【解析】【分析】
本题考查由直线方程求直线的斜率，考查斜率与倾斜角的关系，是基础题．由已知直线方程求得斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．【解答】解：直线设其倾斜角为则故选：2.【答案】C 【解析】【分析】
本题考查分类加法计数原理的应用，属于中档题.
根据题意，分析可得甲是第三或第四名，乙不是第四名，由此分2种情况讨论，由分类加法计数原理计算可得答案．【解答】
解：根据题意，甲没有获得参加市级比赛的资格而乙不是最差的，即甲是第三或第四名，乙不是第四名，则有2种可能：
①甲是第四名，剩下三人全排列即可，有
种情况，
种情况，此时有
种情况，
，得
，
的斜率
②甲是第三名，乙只能为第一或第二名，剩下2人有综上则有故选
3.【答案】D 【解析】【分析】
种情况，
根据已知条件，结合向量的线性运算法则，即可求解．本题主要考查向量的线性运算法则，属于中档题．【解答】解：
，
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，
故选：4.【答案】C 【解析】【分析】
将椭圆中的a、c与椭圆形轨道中的数量关系一一对应，建立模型，再求解即可．
本题考查椭圆的几何性质，熟练掌握椭圆中a、c的含义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．【解答】解：实轴长
，
焦距
，
离心率故选：5.【答案】B 【解析】【分析】
由各量共面，可知存在x，y，使得
，列出方程组，求出实数m的值．
，
，
本题考查实数值的求法，共面向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：
向量
，
，
，，
共面，
存在x，y，使得
，解得，，
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实数m的值是故选：6.【答案】C 【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，求出除以7得到的余数是解决本题的关键，属于中档题．求出二项式定理的通项公式，得到除以7余数是1，然后利用周期性进行计算即可．【解答】
解：一个星期的周期是7，则
，即
故选：7.【答案】A 【解析】【分析】
本题考查异面直线所成的角，考查学生的运算能力，属于中档题．以D为坐标原点，分别以DA，DC，为2，求出【解答】
解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，
所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
，
所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长
除以7余数是1，即今天是星期四，经过
天后是星期五.
的坐标，由向量的夹角公式求解．
设正方体的棱长为2，则
，
，
，，
，
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设异面直线MN与则
异面直线MN与故选：8.【答案】B 【解析】【分析】
所成角为，
，
，
所成角的余弦值为，
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于难题．过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则
切线方程，进一步求得切点P的横坐标，即可求得当【解答】
解：过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则抛物线
的焦点为
，
设过A与抛物线相切的直线方程为代入抛物线方程可得由得
，即
，的最小值为，
，此时
，解得
最大，
，，，①
，点
，
，，可得最大时的
的值．
，求出过A的抛物线的
的最大值为
此时方程①化为则此时
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故选：
9.【答案】AC 【解析】【分析】
求出选项的焦点坐标，判断即可．
本题考查圆锥曲线的焦点坐标的求法，是基础题．【解答】解：
，即的焦点坐标
，焦点坐标
所以A正确；
，所以B不正确；
，是焦点坐标在y轴上的双曲线，一个焦点坐标，当
时是圆，所以D不正确；
，所以C正确；
故选：
10.【答案】BC 【解析】【分析】
本题考查了空间向量的应用，涉及了空间向量模的求解、空间向量的基底、空间向量的夹角等知识点，考查的知识面广，对学生基础知识掌握的情况有较高的要求，属于中档题．利用向量的模的性质将
的模转化为数量积求解，即可判断选项A，利用不共面的向量作为基底
判断选项B，利用两个向量夹角的余弦公式进行求解，即可判断选项C，利用向量的夹角公式求出向量
与
【解答】
解：对于选项A，因为空间向量所以
，且
都是单位向量，且两两垂直，
，
的夹角，即可判断选项
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则
，
所以向量故选项A错误；
对于选项B，因为空间向量所以所以则
故选项B正确；对于选项C，设
与
的夹角为
，
不共面，而向量
与
不共面，
可以构成空间的一个基底，
都是单位向量，且两两垂直，
均与
共面，
的模是
，
则
，
所以向量故选项C正确；对于选项D，因为同理可得
，
，
和
夹角的余弦值为
，
则，
所以向量则向量
与
与的夹角为不共线，
，
故选项D错误．故选：
11.【答案】ACD 【解析】【分析】
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本题主要考查了分步计数原理与分类计数原理，分组分配问题以及排列组合的综合运用，属于中档题．根据分步计数原理、分类加法原理以及排列组合的综合运用，逐个对选项分析解答．【解答】
解：对于A，6本不同的书中，先取2本给甲，再从剩余的4本中取2本给乙，最后2本给丙，共有
种不同的分法，故A正确；
对于B，6本不同的书中，先取1本作为一组，再从剩余的5本中取2作为一组，最后3本作为一组，共有共有
种，再给甲、乙、丙三人，
种，故B不正确；
种；
对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法
对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分3种情况讨论：①一人4本，其他两人各1本，共有②一人1本，一人2本，一人3本，共有③每人2本，共有故共有故选
12.【答案】AD 【解析】【分析】
先利用绝对值的定义进行分类讨论去掉绝对值，得到曲线方程对应的图象，然后利用图象对四个选项进行逐一分析判断即可．
本题考查了曲线与方程的应用，涉及了椭圆的标准方程以及双曲线的标准方程的应用，解题的关键是利用绝对值的定义去掉绝对值化简曲线方程，属于中档题．【解答】解：曲线当部分，当
时，曲线方程可化为
，此时曲线为双曲线的左
时，曲线方程可化为
，
，此时曲线为椭圆的右半
种.
，
；
种，
半部分，
作出曲线对应的图象如图所示，由图可知，
，
，故选项A正确；
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由图可知，曲线关于x轴对称，不关于y轴对称，故选项B错误；因为直线故该曲线与直线因为点故选：13.【答案】 【解析】【分析】
本题考查直线垂直的条件的灵活运用，属于基础题．由已知条件得【解答】解：
直线
，
解得故答案为：14.【答案】【解析】【分析】
由双曲线的离心率可得a，b的关系，可以写出一个方程．本题考查由双曲线的性质的应用，属于基础题．【解答】
解：由双曲线的离心率为所以双曲线的一个方程为：故答案为：15.【答案】
；
，可得
，
与直线
垂直，
，由此能求出
是双曲线的渐近线，与双曲线没有交点，与椭圆只有一个交点，
有一个公共点，故选项C错误；
到原点的距离最小，所以曲线上的点到原点距离的最小值为1，故选项D正确．
【解析】【分析】
本题考查了空间中两点之间的距离，涉及了二面角的应用，解题的关键是将立体几何问题转化为空间向量问题，属于拔高题．
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求出沿x轴将坐标平面折成x轴于点【解答】
解：在平面直角坐标系中，现沿x轴将坐标平面折成
的二面角后，点A在原坐标系平面上的射影为，作轴，交
，然后利用空间向量表示，利用向量的模的性质进行求解，即可得到答案．
，
的二面角后，
，
，
，
点A在原坐标系平面上的射影为作
轴，交x轴于点
所以则
，
，
所以故答案为：16.【答案】
；
【解析】【分析】
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想及数形结合的解题思想，考查直线系方程的应用，是难题．由题意可得，出
，由点到直线的距离公式结合勾股定理求
的最小值，即可求得四边形PACB的面积的最小值；设出P点坐标，求出以PO为直径的圆的方程，
与已知圆的方程联立求得两圆公共弦AB所在直线方程，再由线系方程即可求得直线AB所过定点．【解答】解：由圆
，得到圆心C即
，半径
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由题意可得：，，，
，
在当
中，由勾股定理可得：最小时，
最小，此时所求的面积也最小，
上的动点，
有最小值
，此时
；
，
，
点P是直线l：当
时，
所求四边形PAOB的面积的最小值为由P在直线又
上，设，
以OP为直径的圆的方程为整理得与圆即
，
联立，可得AB所在直线方程为
，则PO的中点坐标为，
，
，
联立，可得，即直线AB过定点
故答案为：；
选择①，因为
，所以
，
，
17.【答案】解：
所以展开式中二项式系数最大的项为选择②，因为
，所以
，
所以展开式中二项式系数最大的项为，
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令，则，
令，则
，
所以
…
，
因为，
所以
的展开式中含的项为：
所以展开式中的系数为
【解析】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
根据n的值以及二项式系数最大的求解公式即可求解；分别令
，
，进而可以求解；
根据二项式定理求出含项，由此即可求解．18.【答案】解：设
，则
，
所以
，即
，
所以M的轨迹方程为
设
，
，因为点N是MC的中点，
所以，即，
又因为在
上，
所以
，即
，
所以点N的轨迹方程为
因为M的轨迹与N的轨迹分别为，，是两个圆．
所以两个方程作差得直线PQ所在的方程，
所以圆到PQ：
的距离为
，
所以
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，
【解析】
设
设，
，根据向量数量积求解即可得答案；，进而根据相关点法求解即可；
根据题意得弦PQ由两圆相交得，进而根据几何法弦长即可得答案．本题主要考查轨迹方程的求解，圆与圆的位置关系等知识，属于中等题．19.【答案】
证明：在直三棱柱
、
、
中，
，
以点A为坐标原点，方向分别为x、y、z轴正方向建立如图所示空间直角坐标
系．
，，，
，，，
得
；
证明：
为AB的中点，N为、
依题意可知Q为
，
设由则平面
的一个法向量为
，则
平面解：由
知平面
，
平面的一个法向量
为平面
的法向量，，取，重心，则
，
的中点，H为，
，，可得
，
中点，P是与的交点，
，
，得，，
，；
，且
平面
，
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到平面
，
点P到平面即PQ到平面
的距离与P到平面
，的距离的距离为
的距离相等，，
，
【解析】本题考查直线与直线垂直、直线与平面平行的判定，考查点到平面距离的求法，考查空间向量的应用，属于中档题.
以点A为坐标原点，用
求出平面由.
20.【答案】解：即
或
，
由题意知，双曲线的渐近线的倾斜角为
或
，
、
、
；
，利用数量积为0证明的距离与P到平面
，即可得到的距离相等，再由
平面
；求解．
方向分别为x、y、z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，利
，即可证明的法向量
可得PQ到平面
当时，E的标准方程为，代入，无解；
当时，E的标准方程为
；
，代入，解得，
故E的标准方程为
不能是线段AB的中点.设交点
，
，
当直线l的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个交点，不符合题意。当直线l的斜率存在时，设直线方程为
，
联立方程组，整理得，
则由
得
，
，
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将代入判别式，
所以满足题意的直线也不存在，所以点P不能为线段AB的中点.
【解析】本题主要考查双曲线的性质及标准方程，考查双曲线与直线的过定点问题，考查分析推理能力，属于中档题.
可根据已知条件得到
或
，再分别讨论即可求得E的标准方程；
先讨论斜率存在与否，再设出直线方程，判断是否可以为中点即可得出结论.21.【答案】解：
根据题意以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
不妨设平面PCD的法向量则有
，即
，
，，取
，
设直线PB与平面PCD所成的角为则
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为
假设线段PB上存在点E，使得二面角设从而
设平面ACE的法向量
，
，则
，
；
的余弦值为
，
，
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则有
设平面PAC的法向量则有
，即，取，
，即，取，
，
解之得或舍，
故存在点E满足条件，E为PB上靠近点B的三等分点．
【解析】本题考查了直线与平面所成角、二面角和利用空间向量求线面和面面的夹角.
建立空间直角坐标系，得出平面PCD的法向量，由空间向量求解可得直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
假设线段PB上存在点E，使得二面角
的余弦值为
，设
，先得出
平面ACE的法向量和平面PAC的法向量，由空间向量求解即可.22.【答案】解：则
如图，由题意可知
，连接 OA，所以
，由椭圆定义知
所以
，
又在椭圆C上则，解得：，，
所以椭圆的方程为：
①证明：设
，
，
联立整理可得：，
所以，可得，
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，
设直线OP，PQ，OQ的斜率为所以即所以
，由
，所以，
，，k，
，因为直线OP，PQ，OQ的斜率之和为0，
，
，
所以直线l恒过定点②由①可得：原点到直线的距离
，
，
所以，
因为即所以
，即，即
，当且仅当时取等号，面积的最大值为
时，
【解析】本题考查直线与椭圆的相关问题，属于较难题.
利用已知条件求出椭圆方程，
①联立方程，根据斜率和为0对已知进行化简，求得m的值，确定直线过定点，
②求得弦长与原点到直线的距离，根据三角形面积公式计算，最后利用基本不等式求得面积最值.
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