发表时间：2008-6-2
运放的应用一般可分为两大类：线性应用和非线性应用。本章讨论的是运放的线性应用电路。分析基础是“虚短”和“虚断”概念。
第一节 基本运算电路
一、比例运算电路
比例运算电路有反相输入、同相输入和差动输入三种基本形式。 1．反相比例运算电路
·平衡电阻――使两个差分对管基极对地的电阻一致，故R2的阻值为
R2＝R1//RF
反相比例运算电路
·虚地概念
运放的反相输入端电位约等于零，如同接地一样。“虚地”是反相比例运算电路的一个重要特点。 可求得反相比例运算放大电路的输出电压与输入电压的关系为
反相比例运算电路的输入电阻：由于反相输入端为“虚地”，显然电路的输入电阻为 Ri＝R1。 反相比例运算电路有如下几个特点：
① 输出电压与输入电压反相，且与RF与R1的比值成正比，与运放内部各项参数无关。当RF＝R1时，uO＝－uI，称为反相器。
② 输入电阻Ri＝R1，只决定于R1，一般情况下反相比例运算电路的输入电阻比较低。
③ 由于同相输入端接地，反相输入端为“虚地”，因此反相比例运算电路没有共模输入信号，故对运放的共模抑制比要求相对比较低。
2．同相比例运算电路
利用“虚短”和“虚断”，可得输出电压与输入电压的关系为
同相比例运算电路有如下几个特点：
① 输出电压与输入电压同相，且与RF与R1的比值成正比，电压放大倍数当Rf＝∞或R1＝0时，则uO＝uI。这种电路的输出电压与输入电压幅度相等、相位相同，称为电压跟随器，又称为同相跟随器。
② 同相比例运算电路的输入电阻很高。由于电路存在很深的负反馈实际的输入电阻要比Rid高很多倍。
③ 同相比例运算电路由于u＋＝u－而u＋＝uI，因此同相比例运算电路输入端本身加有共模输入电压uIC＝uI。故对运放的共模抑制比相对要求高。
无论是反相比例运算电路还是同相比例运算电路由于引入的是电压负反馈（详细分析见第七章），所以输出电阻Ro很低。
3．差分比例运算电路
利用“虚短”和“虚断”，即i＋＝i－＝0、u＋＝u－，应用叠加定理可求得
当满足条件R1＝R2、RF＝R3时，
电路的输出电压与两个输入电压之差成正比，实现了差分比例运算。 电路的差模输入电阻为Ri＝2R1。
缺点：对元件的对称性要求较高，外接电阻要求精密匹配，即使选用误差为±0.1％的电阻，也往往不能满足要求。在要求改变运算关系时，又必须同时选配两对高精密电阻，非常不方便。输入电阻不够高。 4．比例电路应用实例 二、加法电路
加法电路的输出量是多个输入量相加，用运放实现加法运算时，可以采用反相输入方式，也可以采用同相输入方式。 1．反相输入加法电路
利用“虚短”和“虚断”，即i＋＝i－＝0、u＋＝u－＝0可得
i1＋i2＋i3＝iF
由于同相端接地，故反相端为“虚地”。上式可写为
因此，输出电压uO与输入电压uI1、uI2、uI3之间的关系为
即电路可完成下列数学运算
y＝－（a1x1＋a2x2＋a3x3）
从同相端与反相端外接电阻必须平衡的条件出发，同相输入端电阻的阻值应为
＝R1//R2//R3//RF
2．同相输入加法电路
可以看出同相输入加法电路是同相比例运算电路的扩展。由同相比例运算电路式（5-1-5）可得出
利用叠加定理，可求出u+与uI1、uI2、uI3之间的关系
则输出电压为
令为反相端与地之间向外看出的等效电阻，则上式可变为
根据输入端外接电阻应该平衡的要求，有R－＝R＋。即当
＝R1//RF时
（5-1-14）
图5-1-9 同相输入加法电路
上式与反相输入加法电路式（5-1-11）形式上相似，只差一个负号。但是上式是在 R－＝R＋的条件下得出的。而R＋与各输入回路的电阻都有关系，因此，当改变某一回路的电阻值时，其它各路电压的关系也将随之改变。所以在外接电阻的选配上，即要考虑各个运算比例系数的关系，又要使外接电阻平衡，计算和调节都比较麻烦，不如反相输入的加法电路方便。另外由于不存在“虚地”，运放的共模输入电压为uC＝u＋＝u－，运放承受的共模输入电压比较高。在实际应用中，同相输入加法电路不如反相输入加法电路的应用广泛。 三、减法电路
要实现减法运算，可以有两种方案：一种是将输入信号其中的一个反相，然后再用加法电路相加。这种方案需要两级运算电路。另一种是应用差动输入运算电路直接相减。
1．由两级运放组成的减法运算电路
图5-1-10所示为由两级运放组成的反相输入减法电路。利用“虚短”和“虚断”条件可求得
由此可得整个运算电路的输出电压uO与各输入电压间的关系为
（5-1-15）
取RF1＝R1，则上式变为
（5-1-16）
图5-1-10 反相输入减法运算电路
反相输入减法电路的特点是反相输入端为“虚地”，因此对运放的共模抑制比要求低，同时各电阻值的计算和调整方便，但输入电阻较低。另一种减法电路为同相输入减法电路如图5-1-11所示
图5-1-11 同相输入减法电路
不难得出
（5-1-17）
由图5-1-11可以看出，后级运放相当于差分输入比例运算电路。将输入信号uI1和uI2分为差模部分uID和共模部分uIC，即
，
，则式（5-1-17）变为
为了抑制共模部分，必须使
＝0
即
取R2＝R3，R1＝R4，代入式（5-1-17）得
（5-1-18）
该电路有很高的输入电阻。为了提高抑制共模信号的能力，要求运放具有较高的共模抑制比。此外，应严格选配电阻。 2．利用差分输入的减法电路
电路如图5-1-12所示，利用叠加定理即可以很方便的求出输出与输入间的关系。
图5-1-12 差分输入减法电路
令同相端输入信号为零，得
再令反相端输入信号为零，得
其中，R＋＝R3//R4//，R—＝R1//R2//RF。
在外接平衡电阻R＋＝R—的条件下
（5-1-19）
本电路由于是差分输入，故电路中没有虚地点，电路输入端存在共模电压，应选用共模抑制比较高的运放。
第二节 积分与微分运算电路
一、积分电路 基础关系：
即
式中电阻与电容的乘积称为积分时间常数，用符号τ表示，即
τ＝RC
式中uO（t0）为积分开始时电容上充的初始电压值。若积分开始前，电容上的初始电压为零，即uO（t0）＝0，则
（5-2-2）
积分电路输出电压是输入电压的积分，随着不同的输入电压，输出电压也表现为不同的形式。电路除了进行积分运算外，很多情况下应用在波形变换电路中。
例如，输入为一个矩形波电压，如图5-2-2所示，则由式（5-2-1）可知，当t≤t0时，uI＝0，故uO＝0，当t0＜t≤t1时，
uI＝UI＝常数，则
此时uO将随时间而向负方向线性增长，增长的速率与输入电压的幅值UI成正比，与积分时常数RC成反比。 当t＞t1时，uI＝0，由式（5-2-1）可知，此时uO理论上将保持t＝ t0时的输出电压值不变，图中实线所示。
但若电容C漏电，uO将按虚线下降。积分电容器C漏电是积分误差的主要原因之一。 二、微分电路
利用“虚短”和“虚断”，即i＋＝i－＝0、u＋＝u－＝0可得
iC＝iR 则 uO＝－iRR＝－iCR＝
可见，输出电压是输入电压的微分。
一、对数运算电路
第三节 对数与指数运算电路
二极管电压电流间方程为
式中IS为二极管的反向饱和电流，UT为温度的电压当量，在常温下（T＝300K）,UT＝26mV。当uD>>UT时，上式可近似为
或
利用“虚短”和“虚断”，即i＋＝i－＝0、u＋＝u－＝0可得
即输出电压与输入电压的对数成正比。 ·基本电路的问题
由于二极管本身电流电压间的关系并不是严格的指数特性，故上述基本对数运算电路并不精确。在小信号输入时，uD值小，不能满足
的条件，因而误差较大。当通过二极管的电流较大时，二极管的伏安特性与指数曲线差别较大，
故误差也较大。且二极管方程中UT和IS都是温度的函数，所以运算精度受温度影响很大。另外输出电压的幅度较小，值等于二极管的正向压降，而且输入信号只能是单方向的。
·以三极管代替二极管，可以在比较宽的电流范围内，获得较精确的对数关系。看书。 二、指数运算电路
当uI＞0时，利用“虚短”和“虚断”，即i＋＝i－＝0、u＋＝u－＝0可得
输出电压正比于输入电压的指数。
与基本对数运算电路相同，基本指数运算电路同样具有输入信号范围较窄、误差大及受温度影响大等缺点，可以采用与对数电路类似的措施加以改进。
第四节 乘法和除法运算电路
乘法和除法电路可以对两个输入模拟信号实现乘法和除法运算。它们可以由对数、加法或减法、指数等电路组合而成。也有单片集成模拟乘法器，目前应用较多的是单片集成模拟乘法器。 一、乘法和除法电路
乘法电路的输出信号正比与两个输入信号的乘积，即
uO＝uI1uI2
上式取对数得 lnuO＝ln（uI1uI2）＝lnuI1＋lnuI2 或 显然可以用下面的电路方框图来实现。
同理，除法电路的输出信号是两个输入信号相除，即
上式取对数得 lnuO＝ln＝lnuI1－lnuI2
或
对比乘法电路可看出，差别仅仅是将加法电路变为减法电路。
二、模拟乘法器 1．集成模拟乘法器
集成模拟乘法器是将乘法运算电路集成在一块单片集成电路中的一种模拟集成电路，应用十分广泛。模拟乘法器输出与输入的关系有两种，分别是
uO＝KuXuY uO＝－KuXuY
其中，K为正值。
下图模拟乘法器的电路符号。
在模拟运算电路中，乘法电路常与集成运放联用。当电源电压为±15V时，模拟乘法器的输入电压最大值一般为±10V，其输出最大值一般也为±10V，因此常取K＝0.1，使uOM＝KuXMuYM＝10V。在某些应用场合，K可取任意值。
模拟乘法器分类：按输入电压允许的极性，可分为三种：四象限乘法器，它的两个输入端电压极性可正可负，或者正负交替；两象限乘法器，它只允许两个输入电压之一极性可正可负，另一个应该是单极性的；单象限乘法器，两个输入电压都只能是单极性的。 2．模拟乘法器的应用
利用模拟乘法器和运放相结合，再加上各种不同的外接电路，可组成平方、平方根、高次方和高次方根的运算电路。利用模拟乘法器还可组成各种函数发生电路。在通信电路中，模拟乘法器还可用于振幅调制、混频、倍频、同步检波、鉴相、鉴频、自动增益控制等。模拟乘法器的应用十分广泛。下面是几个方面的一些应用电路 （1）平方运算
将模拟乘法器的两个输入端接同一个输入信号，即可构成平方运算电路，如图所示。
输出电压与输入电压的关系为
uO＝KuI2
同理，如果将几个乘法电路串连起来，就可组成高次方运算电路。下图为一个立方运算电路。
（2）平方根运算
用模拟乘法器组成的平方根电路如下图所示。由图可得
＝KuO2
利用“虚短”和“虚断”条件可求得
即 （5-4-7）
由上式可以看出，uO是（－uI）的平方根。因此输入信号uI必须为负值。如果输入信号uI为正，则必须采用反相乘法器。否则电路为正反馈，使电路不能正常工作。 （3）均方根运算电路
对于任意周期信号电压的有效值，即均方根值可以用下式表示
其中，T为取平均的时间间隔。
均方根运算电路可以用下图所示的框图来实现。由于平均值即是函数的直流分量，故框图中的平均值电路可以用一个集成运放组成的低通滤波器来实现。按上述原理构成的均方根运算电路可以测量任意波形的周期性电压信号，包括噪声电压的有效值。
图5-4-9 均方根电路框图
（4）除法运算
用模拟乘法器组成的除法电路如图5-4-10所示。由图可得
＝KuXuO
利用“虚短”和“虚断”条件可求得
则 即输出电压为两个输入电压相除。 （5）倍频
如果将一个正弦波电压同时接到乘法器的两个输入端，即
uX＝uY＝Umsinωt
则乘法器的输出电压为
输出电压中包含两部分，一部分是直流分量，另一部分是角频率为2ω的余弦电压。可在输出端接一个隔直流电路，此电容即将直流电压隔离，则输出可得到二倍频的余弦波输出电压，实现了倍频。 （6）电压增益控制
若模拟乘法器的一个输入端接直流控制电压UC，另一个输入端接输入信号uI，则输出电压为
uO＝KUCuI
此时乘法器相当于一个电压增益为Au＝KUC的放大器，其电压增益Au与控制电压UC成正比，则电路的增益将随直流控制电压的大小而变化，因此是压控增益放大器。 （7）功率测量
将被测电路的电压信号与电流信号（转换为电压信号）分别接到乘法器的两个输入端，则其输出电压即反映了被测信号的功率。
第五节 有源滤波电路
一、滤波电路
1. 滤波电路的功能
在电子电路的输入信号中，一般包含很多频率分量，其中有需要的频率分量，也有不需要的、甚至是对电路的工作有害的频率分量（如高频干扰和噪声）。滤波电路的作用实质上就是“选频”，即容许某一频段的信号顺利通过，而使其余频段的信号被尽可能地抑制或削弱（即被滤掉）。通常将能够通过滤波电路的信号频率范围叫滤波电路的“通带”（通频带）。在通带内，滤波电路的增益应保持常数。将滤波电路应加以抑制或削弱的信号频率范围叫“阻带”。在阻带内，滤波电路的增益应该为零或很小。
2. 滤波电路的一般分析方法
在滤波电路中，为了将有用的频率段分量分离出来，电路中一般情况下常包含输出量随频率变化的网络，通常它们是R、C，L、C元件的串连和并联组合。在分析这种电路时，一般通过“拉普拉式变换”，将电压和电流变换成“象函数”U（s）和I（s），而R、C等元件的阻抗被变换成“复阻抗”的形式。电阻R的复阻抗为R，电容元件的复阻抗为ZC（s）＝，电感的复阻抗为ZL（s）＝SL。在求得运算电路的传递函数Au（s）＝后，应用“拉氏反变换”，就可求得表示输出量与输入量在时间域内的关系的微分方程式。对于实际的频率来说，即输入信号为周期性频率时，S＝jω，即用jω替换S可得传递函数的频率特性。
式中
为传递函数的模，
为其相角。
通常用幅频特性，即随频率的变化关系来表征一个滤波电路的特性。
3. 滤波电路的分类
根据滤波电路工作信号的频率范围，滤波电路可以分为四大类，它们分别是低通滤波电路、高通滤波电路、带通滤波电路和带阻滤波电路。
图5-5-1 滤波电路的理想幅频特性
（a）低通 （b）高通 （c）带通 （d）带阻
二、有源滤波电路
利用集成运放开环增益高、输入电阻高、输出电阻低等优点，由集成运放与R、C元件构成的无源滤波网络组合在一起，即可构成有源滤波电路。它克服了无源滤波网络放大倍数低、带负载能力差以及负载电阻影响通带截止频率等等缺点。具有不用电感、体积小、重量轻等优点。但是，集成运放的带宽有限，所以目前有源滤波电路的工作频率可达1MHz左右，这是他的不足之处。
1．一阶有源滤波电路
将一级RC低通电路的输出端再加上一个运放组成的同相放大器，利用同相放大器输入电阻高，输出端低的特点，可以隔离负载电阻对RC电路的影响，增强了带负载能力，也可以有放大作用。即构成了一个简单的一阶有源低通滤波电路，如图5-5-2所示。由图可得
而 由上两式可得
图5-5-2 一阶低通有源滤波电路 （a）电路图 （b）对数频率特性
式中Aup＝1＋RF/R1为同相放大器的电压增益，ω0＝1/RC，是低通电路的上限截止角频率。
上述有源低通滤波电路的传递函数的分母为s的一次幂，故称为一阶滤波电路。 对于实际的频率，将式中s替换为jω，即可得电路的频率特性Au（jω）。
图5-5-2b为此低通滤波电路的幅频特性。
将上述有源滤波电路的R与C互换位置，即可得到一阶高通有源滤波电路。这里不再赘述。
由图5-5-2b可以看出，一阶滤波电路的滤波特性与理想的滤波电路特性相比，差距很大。在理想情况下，希望f＞f0时，电压放大倍数立即降到零，但一阶滤波电路的对数幅频特性只是以－20dB/十倍频程的缓慢速度下降。
为了实滤波特性更接近于理想情况，可采用高阶滤波电路。二阶可达－40dB/十倍频程的下降速度，三阶－60dB/十倍频程的下降速度。可使滤波电路的特性更接近于理想情况。
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