导数的基本练习

导数的基本练习

一、导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即

如果当x0时，

yxyf(x0x)f(x0)=。

xxy有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处x的导数，记作f’（x0）或y’|xx0。

即f（x0）=lim说明：

（1）函数f（x）在点x0处可导，是指x0时，不可导，或说无导数。

（2）x是自变量x在x0处的改变量，x0时，而y是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y=f（x0+x）－f（x0）；

x0f(x0x)f(x0)y=lim。

xxx0yy有极限。如果不存在极限，就说函数在点x0处xx（2）求平均变化率

yf(x0x)f(x0)=；

xxy。

x0x（3）取极限，得导数f’(x0)=lim二、导数的几何意义

函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0）） 处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。

三、常见函数的导出公式．

nn1(x)nx(C)0 （１）（C为常数） （２）

 （３）(sinx)cosx （４）(cosx)sinx

(5)(ex)'ex(6)(ax)'axlna(7)(lnx)'1x1logaex

(8)(logax)'四、两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (uv)uv.

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)uvuv.

若C为常数,则(Cu)CuCu0CuCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

'''''''''''(Cu)'Cu'.

法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：

u'vuv'u‘=（v0）。 2vv五、导数的应用

1.（1）一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数；

（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为

负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

（3）一般地，在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ(x)在(a，b)内的极值； ②求函数ƒ(x)在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)； ③将函数ƒ (x)的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 小结：

1、导数的常规问题：

（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；

（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；

（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。

2、导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。 3、导数的几何意义

函数y=f(x)在点x0处的导数，就是曲线y=(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：

(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率；

'''

(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为yy0f'(x0)(xx0) 方程为xx0

4、导数在研究函数中的应用

特别地，如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线

① 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）．

② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次）． 题型一：导数概念，公式，运算性质的应用

1、 已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：lim2、若函数yfx在xa处的导数为A，求

练习1：（1）设yfx在xx0附近有定义，且

h0f(a3h)f(ah)=___________；

2hlimt0fa4tfa5t。

tlimh02fx02hfx011，求fx0的值。

h2faxf(a) （2）设函数fa3，求lim的值。0

h0x

题型二：导数的几何意义

2x在点（1，1）处的切线方程； x21t12 （2）运动曲线方程为S22t，求t=3时的速度。

t3．（1）求曲线y

题型三：导数的运算

导数的四则运算：和差fxgxfxgx 积fxgxfxgxfxgx



fxfxgxfxgx 商 2gxgxxfux 复合函数的导数：设函数ux在点x处有导数uxx，则f4. 求下列函数的导数：

（1）yxsinx （2）y2x3x5x4

5. 求下列函数的导数：

（1）y(2x3)(3x2) （2）yxe

（3）yxsinxcosx （4） yxcosx

6.求函数y(x1)(x1)在x=1处的导数

练习二：求下列函数的导数：

（1）yx1x2x3 （2）yxsinx

2222nx332

（3）yx2x3e

7、求下列函数的导数： （1）y2xlnxsinx （2） y xx

（3）ytanx 8、求yx3在点x3处的导数。 2x3

练习三、求下列函数的导数： （1）yxx5sinxxcosx （2） yx2xsinx

ex1（3）yx

e1

9、求下列函数的导数：

(1)y1x (2)y(axbsin2x)3 (3)yf(x21) 2(1x)cosx

练习：求下列函数的导数： （1）yx111cosx2 （2）yxe （3）ysin2x （4）y3 1x31x1x