启杰教育 高中数学三角函数专题精编版

启杰教育三角函数专题

一、三角函数的概念

(1) 角的概念：终边相同角的集合：所有与终边相同的角,连同在内,可构成集合

|k3600,kZ或|2k,kZ

2(2) 象限角：第一象限角的集合x|2kx2k,kZ

第二象限角的集合x|2kx2k,kZ

2 第三象限角的集合x|2kx2k,kZ2 第四象限角的集合x|2kx2k,kZ2

(3) 角度、弧度的换算关系：（1）3602rad,1180

rad,1rad180（4）扇形的弧长、面积公式：设扇形的弧长为l,圆心角为(rad),半径为r,则lr,扇形的面积

11Slrr2

22(5)、三角函数定义： 若Px,y是角终边上任意异于O的一点,O为坐标原点,OPr,则

sinyxyx,cos,tan,cot rrxy(6)、三角函数在各象限的符号规律：口诀“一全正, 二正弦,三正切,四余弦.

+ + + ——

+ + ———

二、同角三角函数的基本关系与诱导公式

1、同角三角函数的基本关系式（1）倒数关系：tancot1 sec+ —

sin cos tan（cot）

1， cos cos11，cot

tansin22（2）商的关系：tansin,cotcos. （3）平方关系：sincos1

cossin2、诱导公式

函数 1

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x  sinx sin cos cosx cos tanx tan cotx cot 2 sin cos cot tan tan cot  3 2sin cos sin cos cot tan cot 2

sin tan [例1]已知sincos解： sincos1，（0，），则cot__________ 51 ，（0，），5121 两边同时平方，有sincos 0与sincos联立，255433cos， 求出sin，∴cot 554[例2]若sinA．解：cos12，则cos2=（ ） 6337117 B． C． D． 933922=cos[(2)]

332=—cos(2)=—1+2sin(63)=—

7.故选A. 9[例3]已知2x0,sinxcosx1. 5 （1）求sinx－cos x的值；

xxxx2sincoscos22222的值. （2）求

tanxcotx11 解法一：（1）由sinxcosx,平方得sin2x2sinxcosxcos2x,

5252449 即 2sinxcosx.(sinxcosx)212sinxcosx.

25257 又x0,sinx0,cosx0,sinxcosx0, 故 sinxcosx.

52xxxxx3sin2sincoscos22sin2sinx122222 （2）

sinxcosxtanxcotxcosxsinx3sin2

2

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sinxcosx(2cosxsinx)

121108()(2)255125

1sinxcosx, 解法二：（1）联立方程5

sin2cos2x1. 由①得sinx①②

1cosx,将其代入②，整理得25cos2x5cosx120, 54.53sinx,5 故 sinxcosx7.

x0,542cosx.5 cosx或cosx35xxxxsincoscos22222 （2）

tanxcotxx2sin2sinx12sinxcosxcosxsinx

3sin2sinxcosx(2cosxsinx)3443108 ()(2)5555125

三、两角和与差的三角函数

1、两角和与差的三角函数公式：

sin()sincoscossin,cos()coscossinsin,tan()tantan。 1tantan2,二倍角公式

sin22sincos222tan；

1tan2221tan22tancos2cossin2cos112sin； tan21tan21tan2注意：熟悉以下公式变形

（1）tantantan1tantan（2）sin221cos21cos2 ;cos2222（3）1cos2cos,1cos2sin （4）1sinsincos

22222[例1] 在ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则C的大小应为( )

3

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A．

 6 B．

 3 C．

5或 66 D．

2或 33解：A

53，sinB=，则cosC的值为（ ）

5131656165616 A. B. C.或 D.

6565656565解：A

[例2] △ABC中，已知cosA=

[例3] 已知是第三象限的角，若s等于（ ） incos，则sin24459A.

22 3

B. 224 C. 33

D. 2 3解：选A.

解析：s incos44  (sincos)2sincos 1sin2

2222221259 sin2

289324k224k3（kZ）

sin202k2ksin2223

四、三角函数的图象及性质 函图数 ysinx ytanx ycosx y o y   232y 3 2 2象 x 2o  2 x o  2 32 x 定义域 R R x|xk,kZ 2 4

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值域 [1,1] 奇函数 [1,1] 偶函数 R 奇函数 无界函数 奇偶性 有界性 最小正 周期 单 调 区 间 sinx1 cosx1 2 增区间2k,2k22(kZ) 3减区间2k,2k22(kZ)2  增区间2k,2k(kZ)减区间2k,2k(kZ)xk(kZ) 增区间k,k22 (kZ)无对称轴 对称轴 对中 最值 称 心 xk2(kZ) k,0kZ x2kymax1;x2kymin1k,0kZ 2k,0kZ 2 2kZ时， x2kkZ时，ymax1;x2k1kZ时，ymin1 2无最值 kZ时， (0,A0)

函数 yAsinx yAcosx yAtanx 2k2,kZ x|x2R 定义域 值域 R R [A,A] [A,A] kkZ时是奇函数, k奇偶性 函数。 有界性 k2kZ时是2kZ时是偶奇函数,kkZ时是偶函数。 kkZ时是奇函数 无界函数 AsinxA AcosxA 5

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最小正 周期 增区间单 调 区 间 2 2  4k24k2,22(kZ)减区间4k24k32,(kZ)222k2k增区间,(kZ)减区间 2k2k,kZkx(kZ) 2k2,0kZ2 2k22k2增区间,22 (kZ) 对称轴 x2k2(kZ) 2无对称轴 对中 称 心 k,0kZ k2,0kZ 2 最值 2k4k2xkZ时，kZ时，x2ymaxA;ymaxA;(2k)4k2kZkZ时，x2yminA时，yminAx 无最值 注：（1）注意会解三角函数在区间上的值域（或范围）如：求sin,0,上的取值范围。 42（2）注意求单调区间时的整体意识。如：求ysin2x的单调增区间,在0,2上的单调增区间。6而ysin区间。

2x求单调增区间时,先化成ysin2x的形式,再求ysin2x的单调递减

666（3）求对称轴、对称中心时,注意整体意识,同时ysinx、ycosx在对称轴处取最值。 五、图象变换：函数yAsinxA0,0的图象可由ysinx的图象做如下变换得到 1、先相位变换 周期变换 振幅变换

ysinx ysinx：把ysinx图象上所有的点向左（0） 或向右（0）

平移个单位。

ysinx：把ysinx图象上各点的横坐标伸长（01）或缩短

6

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（1）到原来的

1倍,纵坐标不变。

yAsinx：把ysinx图象上各点的纵坐标伸长（A1）或缩短（0A1）到原来的A倍,横坐标不变。

2、先周期变换 相位变换 振幅变换

ysinx 把ys（01）或缩短（1）ysinx：inx图象上各点的横坐标伸长

到原来的

1 倍,纵坐标不变。

把ys（0）或向右（0）平移inx图象上所有的点向左ysinx：

个单位.

yAsinx：把ysinx图象上各点的纵坐标伸长（A1）或缩短

（0A1）到原来的A倍,横坐标不变。

3、 注意：（1）要会画yAsinx在一个周期的图象：（用“五点法”作

yAsin(x)(A0,0)图时，将x看作整体，取0,对应的y值，再描点作图). [例1] 为了得到函数ysin2x2，,3,2来求相应的x值及2的图像，可以将函数ycos2x的图像（ ） 6 A 向右平移解：B

 B 向右平移 C 向左平移 D向左平移 6363[例2]函数y2sin(A. [0,62x)(x[0,])为增函数的区间是 ( )

3] B. [12,7] 122C. [3,5] 6D. [5,] 6解： C

[例3]函数f(x)3sinxcosx4cosx的最大值为__________.

1cos2x5sin(2x)2 2251sin(2x)1时，f(x)取最大值2 当

22[例4] 函数y的部分图像是（ ） xcosx(x)sin2x4解：f32 7

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y y y y O O x O x x O x A B C D 解：选D.

提示：显然yxcosx为奇函数，故排除A、C

令x0且x0，判断出相应的y0，即当横坐标x0且x0时，纵坐标y0，故弃D选B

[例5] 当22x时，函数yxsinc3osx的（） A. 最大值为1，最小值为-1 B. 最大值为1，最小值为12 C. 最大值为2，最小值为2 D. 最大值为2，最小值为1

解：选D

解析：ysinx3cosx2sin(x)，而x32 x2

，5，故sin(x)1，136632 ymax2，ymin1 高考试卷数学三角试题汇集

选择题

1.（北京卷）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 （A）sin(α+β)>sinα+sinβ （B）sin(α+β)>cosα+cosβ （C）cos(α+β)1cos2xcosx

（A）在[0,2),(2,]上递增，在[,332),(2,2]上递减 （B）在[0,32),[,2)上递增，在(2,],(32,2]上递减 （C）在(32,],(2,2]上递增，在[0,32),[,2)上递减

8

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（D）在[,33),(,2]上递增，在[0,),(,]上递减 22221cos2x8sin2x3.（全国卷Ⅰ）当0x时，函数f(x)的最小值为

sin2x2（A）2

（B）23

（C）4

（D）43

4.（全国卷Ⅰ）在ABC中，已知tan① tanAcotB1

ABsinC，给出以下四个论断： 2② 0sinAsinB2 ③ sin2Acos2B1 ④

cos2Acos2Bsin2C 其中正确的是

（A）①③

（B）②④

（C）①④

（D）②③

5.（全国卷Ⅱ）函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是

 (B) （C） （D）2 426.（全国卷Ⅱ）已知函数y =tan x 在（-，）内是减函数，则

22（A）0 <  ≤ 1 （B）-1 ≤  < 0 （C）≥ 1 （D）≤ -1

(A)

7（全国卷Ⅲ）已知为第三象限角，则

所在的象限是 2 （A）第一或第二象限（B）第二或第三象限（C）第一或第三象限（D）第二或第四象限 8.（全国卷Ⅲ）设0x2,且1sin2xsinxcosx,则

(A) 0x (B)

4x753xx (C) (D)

444222sin2cos2 9.（全国卷Ⅲ）

1cos2cos2(A) tan (B) tan2 (C) 1 (D)10.(浙江卷)已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k＋1 (D) －2k＋1 11．(浙江卷)函数y＝sin(2x＋(A)

1 2)的最小正周期是( ) 6 (B)  (C) 2 (D)4 212．（江西卷）已知tan3,则cos

2 （ ）

9

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A．

4 5B．－

4 5C．

4 15D．－

3 5

（ ）

13.（江西卷）设函数f(x)sin3x|sin3x|,则f(x)为

A．周期函数，最小正周期为

2 3B．周期函数，最小正周期为D．非周期函数

 3C．周期函数，数小正周期为2

14.（江西卷）在△OAB中，O为坐标原点，A(1,cos),B(sin,1),(0,大值时， A．

B．

2]，则当△OAB的面积达最

（ ）

 6 4C．

 3D．

 215、（江苏卷）若sinA．12，则cos2=（ ） 6337117 B． C． D． 933916．（湖北卷）若sincostan(0),则

2

A．(0,（ ）

6) B．(,)

64C．(

,) 43D．(

,) 32（ ）

17．（湖南卷）tan600°的值是

A．3 3B．

3 3C．3 D．3

18．（重庆卷）(cos12sin)(cossin)

121212 （ ）

A．3 2 B．311 C． D．

22219．（福建卷）函数ysin(x)(xR,0,02)的部分图象如图，则

A．（ ）

265C．, D．,

4444,4 B．3,

20．（福建卷）函数ycos2x在下列哪个区间上是减函数（ ）

A．[3,] B．[,] C．[0,] D．[,]

224444 10

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)cos(x)，则下列判断正确的是（ ） 1212 （A）此函数的最小正周期为2，其图象的一个对称中心是(,0)

12 （B）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是(,0)

12

（C）此函数的最小正周期为2，其图象的一个对称中心是(,0)

6 （D）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是(,0)

621.（山东卷）已知函数ysin(x2sin(x),1x022（山东卷）函数f(x)，若f(1)f(a)2，则a的所有可能值为（ ）

x1e,x0 （A）1 （B）1, 23.（天津卷）要得到函数y(A)横坐标缩短到原来的

222 （C） （D）1, 2222cosx的图象，只需将函数y2sin(2x4（ ） )的图象上所有的点的

1倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度 281(B)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

24个单位长度 4(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

824（天津卷）函数yAsin(x)(0,,xR)的

2(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动象如图所示，则函数表达式为（ ）

部分图

x) （B）y4sin(x) 8484（C）y4sin(x) （D）y4sin(x)

8484（A）y4sin(填空题：

1.（北京卷）已知tan

4=2，则tanα的值为－，tan()的值为 234sin3a13，则tan 2a =______________. sina52.（全国卷Ⅱ）设a为第四象限的角，若

3.（上海卷）函数f(x)sinx2|sinx|,x0,2的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是__________。

11

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4.（上海卷）函数ycos2xsinxcosx的最小正周期T=__________ 5.（上海卷）若cos1，0,，则cos=__________。

3726.（湖北卷）函数y|sinx|cosx1的最小正周期与最大值的和为 .

7.（湖南卷）设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，

22]上的面积为（n∈N* ），（i）y＝sin3x在[0,]上的面积为 ；（ii）nn34y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面积为 .

33已知函数y＝sinnx在[0，

8.（重庆卷）已知、均为锐角，且cos()sin(),则tan= . 解答题： 15．（广东卷）

化简f(x)cos(的值域和最小正周期. 16.（北京卷） 已知tan（I）tan(6k16k12x)cos(2x)23sin(2x)(xR,kZ),并求函数f(x)3332=2，求

4)的值； （II）

6sincos的值．.

3sin2cos答案： 选择题

1.D 2.A 3.D 4.B 5.C 6.B 7.D 8. C 9.B 10.A

11.B 12.B 13.A 14.D 15.A 16.C 17.D 18.D 19.C 20． C 21.B 22.B 23.C 24.A 填空题：

13111 2. 3.1k3 4. 5. 6.2 7214442

7. ,  8.１

33

1.-解答题：

15．解：f(x)cos(2k2x)cos(2k2x)23sin(2x) 3332cos(2x)23sin(2x)

334cos2x

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所以函数f(x)的值域为4,4，最小正周期T2

2224; =2, ∴ tan14231tan2241tantan14tan1=3所以tan()； 741tantan1tan143446()1746sincos6tan13（II）由(I), tanα=－, 所以==.

33sin2cos3tan23(4)26316.解：（I）∵ tan

三角恒等变换公式图

13

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