概率论与数理统计公式全

（1）排列组合公式 nCmnPmm! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 (mn)!m! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 n!(mn)!加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完（2）加成。 法和乘乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 法原理 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一重复排列和非重复排列（有序） 些常见对立事件（至少有一个） 排列 顺序问题 （4）随如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能机试验结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个和随机结果，则称这种试验为随机试验。 事件 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一本事件、组事件，它具有如下性质： 样本空①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事间和事件； 件 ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。 为必然事件，为不可能事件。 不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：AB 如果同时有AB，BA，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 （6）事件的关系与运算 A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： AAii1i1i ABAB，ABAB 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实（7）概数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 率的公2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件A1，A2，…有 理化定常称为可列（完全）可加性。 义 则称P(A)为事件A的概率。 1° 1,2n， （8）古典概型 1。 n设任一事件A，它是由1,2m组成的，则有 2° P(1)P(2)P(n)P(A)=(1)(2)(m) =P(1)P(2)P(m) 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性（9）几何概型 均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A， P(A)L(A)。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。 L()（10）加P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 法公式 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) （11）减当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B) 法公式 当A=Ω时，P(B)=1- P(B) P(AB)为事件A发P(A)（12）条生条件下，事件B发生的条件概率，记为P(B/A)P(AB)。 P(A)定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称件概率 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1P(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A) （13）乘更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 法公式 P(A1A2…An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An1)。 ①两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且P(A)0，则有 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。 必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 设事件B1,B2,,Bn满足 （15）全概公式 1°B1,B2,,Bn两两互不相容，P(Bi)0(i1,2,,n)， 2°则有 ABii1n（14）独， P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。 设事件B1，B2，…，Bn及A满足 （16）贝1° B1，B2，…，Bn两两互不相容，P(Bi)>0，i1，2，…，n， 叶斯公式 2° 则 ABii1n，P(A)0， ，i=1，2，…n。 jP(Bi/A)P(Bi)P(A/Bi)P(B)P(A/B)jj1n此公式即为贝叶斯公式。 P(Bi)，（i1，2，…，n），通常叫先验概率。P(Bi/A)，（i1，2，…，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 我们作了n次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试（17）伯验A发生与否是互不影响的。 n努利概这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。 型 用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1pq，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率， Pn(k)Cnpkqnk，k0,1,2,,n。 k第二章 随机变量及其分布

（1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取P(X=xk)=pk，k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。Xx1,x2,,xk,|P(Xxk)p1,p2,,pk,。 显然分布律应满足下列条件： （1）pk0，k1,2,， （2）k1xpk1。 F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，设（2）连续型随机变量的分布密度 ， 则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数具有下面4个性质： F(x)f(x)dx1° f(x)0。 2° f(x)dx1。 （3）离散与连续型随机变积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X量的关系 （4）分布函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 P(aXb)F(b)F(a) 可以得到X落入区间(a,b率。 分布函数具有如下性质： 1° 0F(x)1, x； 2° F(x)是单调不减的函数，即x1x2时，有 F(x1)xx3° F()limF(x)0， F()limF(x)1； 4° F(x0)F(x)，即F(x)是右连续的； 5° P(Xx)F(x)F(x0)。 对于离散型随机变量，F(x)对于连续型随机变量，F(x)（5）八大分布 0-1P(X=1)=p, P(X=0)=q 分布 二项分xkxxpk； f(x)dx 。 在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事kP(Xk)Pn(k)Cnpkqnk， 其中q1p,0p1则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为布 当n1时，P(Xk)pkq1k，k0.1，这就是（0-1泊松分布 设随机变量X的分布律为 P(Xk)kk!e，0，k0,1,2， 则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X~泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。超几何分布 几何分布 均匀分P(Xk)qk1p,k1,2,3,，其中p≥0，q=1-p。 随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数f(1,a≤x≤b f(x)ba 其他， 0,布 则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~分布函数为 0， xb。 当a≤x1（1）离散型 联合分布 如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至设=（X，Y）的所有可能取值为(xi,yj)(i,j1,2,为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。 Y y1 X x1 x2 y2 … yj … p11 p21 p12 p22 … … … p1j p2j … … xi pi1 … 这里pij具有下面两个性质： （1）pij≥0（i,j=1,2,…）； （2）pij1. ij连续型 对于二维随机向量(X,Y)，如果存在非负函数f(x轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|ax1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ≥F(x,y1); （3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即 （4）F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1. （5）对于x1x2，y1y2， F(x2，y2)F(x2，y1)F(x1，y2)F(x1，y1)0. （4） 离散型与连续型的关系 （5）离散型 边缘分布 X的边缘分布为 Pi•P(Xxi)pij(i,j1,2,)； jY的边缘分布为 P•jP(Yyj)pij(i,j1,2,)。 i连续型 X的边缘分布密度为 Y的边缘分布密度为 （6）离散型 条件分布 连续型 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为 在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 f(x|y)f(x,y)； fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为 （7）一般型 独立离散型 性 连续型 F(X,Y)=FX(x)FY(y) 有零不独立 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 二维正态分布 随机变量的函数 ＝0 若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g为连续函数，h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。 特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。 例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。 （8）设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 二维其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～均匀例如图、图和图。 分布 y 1 D1 O 1 图 x y 1 O 2 图 1 D 2 x y d c O a b x 图 D3 （9）设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 二维其中1,2,10,20,||1是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布， 22正态记为（X，Y）～N（1,2,1,2,). 分布 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布2即X～N（1,12),Y~N(2,2). 2但是若X～N（1,12),Y~N(2,2)，(X，Y)未必是二维正态分布。 （10Z=X+Y ）函数分布 根据定义计算：FZ(z)P(Zz)P(XYz) 对于连续型，fZ(z)＝f(x,zx)dx 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12,12n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分Cii， 2Ci2i2 iiZ=max,min(X1,X2,…Xn) 2分布 若X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别为Fx(x)，F1设n个随机变量X1,X2,,Xn相互独立，且服从标准的分布密度为 我们称随机变量W服从自由度为n的2分布，记为所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是2分布满足可加性：设 则 t分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且 可以证明函数 的概率密度为 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为TF分布 设X~2(n1),Y~2(n2)，且X与Y独立，可以证明F我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自第四章 随机变量的数字特征

（1） 一维期望 随机期望就是平均值 变量的数字特函数的期望 征 方差 D(X)=E[X-E(X)]2， 标准差 离散型 连续型 设X是离散型随机变量，设X是连续型随机变量，其分布律为P(Xxk)＝（要求绝对收敛） pk，k=1,2,…,n， （要求绝对收敛） Y=g(X) Y=g(X) (X)D(X)， 矩 ①对于正整数k，称随机①对于正整数k，称随机k变量X的k次幂的数学期νk=E(X)=xkf(x)dx, 望为X的k阶原点矩，记 k=1,2, …. 为vk,即 νk=E(Xk)= xikpi, i②对于正整数k，称随机变即 =(xE(X))kf(x)dx, k=1,2, …. ②对于正整数k，称随机k=1,2, …. 变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为k，即 =(xiiE(X))kpi， k=1,2, …. 切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对的一种估计，它在理论上有重要意义。 （2）期望的性质 （4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 （1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(CiXi)CiE(Xi) i1i1nn（3）方差的性质 （1） D(C)=0；E(C)=C （2） D(aX)=aD(X)； E(aX)=aE(X) （3） D(aX+b)= aD(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X)-E(X) （5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 2222（4） 常见分布的期望和方差 0-1分布B(1,p) 二项分布B(n,p) 泊松分布P() 几何分布G(p) 期望 p np 超几何分布H(n,M,N) 均匀分布U(a,b) 指数分布e() 正态分布N(,2) t分布 n 0 E[G(X,Y)]＝ （5）期望 二维函数的期望 随机方差 E[G(X,Y)]＝ 变量协方差 的数字特相关系数 征 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩11为与记号XY相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称为X与Y的相关系数，记作XY（有时可简记为）。 ||≤1，当||=1时，称X与Y完全相关：P(完全相关而当0时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的： ①XY0； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 混合矩 对于随机变量X与Y，如果有E(XkYl)存在，则称之（6）(i) cov (X, Y)=cov (Y, X); 协方(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); 差的(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); 性质 (iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). （7）（i） 若随机变量X与Y相互独立，则XY0；反之不真。 2,）， 独立（ii） 若（X，Y）～N（1,2,12,2和不相关 则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。 第五章 大数定律和中心极限定理

（1）大切数定律 比雪夫大数定律 伯努利大数定律 设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有 伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）（1）总数理体 统计的基个本概体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。 念 样本 我们把从总体中抽取的部分样品x1,x2,,xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，x1,x2,,xn表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，x1,x2,,xn表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 样本函数和统计量 设x1,x2,,xn为总体的一个样本，称  （x1,x2,,xn） 为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（x1,x2,,xn）为一个统计量。 常见统计量样本均值 1nxxi. ni1样本方差 1n2S(xx). in1i12样本标准差 1n2S(xx). in1i1样本k阶原点矩 及样本k阶中心矩 其性质 E(X)，D(X) 2n， n12, nE(S2)2，E(S*2)21n其中S*(XiX)2，为二阶中心矩。 ni1（2）正正态态总体分下的布 设x1,x2,,xn为来自正态总体N(,2)的一个样本，则样本函数 四大t分设x1,x2,,xn为来自正态总体N(,2)的一个样本，则样本分布 布 函数 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。 设x1,x2,,xn为来自正态总体N(,2)的一个样本，则样本函数 其中2(n1)表示自由度为n-1的2分布。 2F分设x1,x2,,xn为来自正态总体N(,1)的一个样本，而布 2)的一个样本，y1,y2,,yn为来自正态总体N(,2则样本函数 其中 F(n11,n21)表示第一自由度为n11，第二自由度为n21的F分布。 （3）正态总体下分布的性质 X与S2独立。 第七章 参数估计

（1）矩点估估计 计 设总体X的分布中包含有未知数1,2,,m，则其分布函数可以表成F(x;1,2,,m).它的k阶原点矩vkE(Xk)(k1,2,,m)中也包含了未知参数1,2,,m，即vkvk(1,2,,m)。又设x1,x2,,xn为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有 由上面的m个方程中，解出的m个未知参数(1,2,,m)即为参数（1,2,,m）的矩估计量。 若为的矩估计，g(x)为连续函数，则g(ˆ)为g()的矩估计。 极大似然估计 当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f(x;1,2,,m)，其中1,2,,m为未知参数。又设x1,x2,,xn为总体的一个样本，称 为样本的似然函数，简记为Ln. 当总体X为离型随机变量时，设其分布律为P{Xx}p(x;1,2,,m)，则称 为样本的似然函数。 若似然函数L(x1,x,,xn;1,,,m)在1,,,m处取222到最大值，则称1,,,m分别为1,,,m的最大似然估22计值，相应的统计量称为最大似然估计量。 若为的极大似然估计，g(x)为单调函数，则g(ˆ)为g()的极大似然估计。 （2）无估计偏设(x1,x2,,xn)为未知参数的估计量。若E （）=，则称 为的无偏估计量。 量的性 E（X）=E（X）， E（S2）=D（X） 评选有标准 效性 设11(x1,x,2,,xn)和22(x1,x,2,,xn)是未知参数的两个无偏估计量。若D(1)D(2)，则称1比2有效。 一致设n是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有 则称n为的一致估计量（或相合估计量）。 性 若为的无偏估计，且D(ˆ)0(n),则为的一致估计。 只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。 （3）置区间信估计 区间和置信度 单正态总体的设x1,x,2,,xn为总体X~N(,2)的一个样本，在置信度为1下，我们来确定和2的置信区间[1,2]。具体步骤如设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本x1,x,2,,xn出发，找出两个统计量11(x1,x,2,,xn)与22(x1,x,2,,xn)(12)，使得区间[1,2]以1(01)的概率包含这个待估参数，即 那么称区间[1,2]为的置信区间，1为该区间的置信度（或置信水平）。 下： （i）选择样本函数； （ii）由置信度1，查表找分位数； （iii）导出置信区间[1,2]。 期望和方差的区间估计 已知方差，估计均值 （i）选择样本函数 (ii) 查表找分位数 （iii）导出置信区间 未知方差，估计均值 （i）选择样本函数 (ii)查表找分位数 （iii）导出置信区间 方差的区间估计 （i）选择样本函数 （ii）查表找分位数 （iii）导出的置信区间 第八章 假设检验

基假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为本基本上是不会发生的，即小概率原理。 思 为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根想 据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。 这里所说的小概率事件就是事件{KR}，其概率就是检验水平α，通常我们取α=，有时也取或。 基假设检验的基本步骤如下： 本步骤 (i) 提出零假设H0； (ii) 选择统计量K； (iii) 对于检验水平α查表找分位数λ； (iv) 由样本值x1,x2,,xn计算统计量之值K； 将K与进行比较，作出判断：当|K|(或K)时否定H0，否则认为H0相容。 两第一类当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检类错误 错误 验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即 P{否定H0|H0为真}=； 此处的α恰好为检验水平。 第二类当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检错误 验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即 P{接受H0|H1为真}=。 两类错人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当误的关容量n一定时，变小，则变大；相反地，变小，则变系 大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。 在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显着性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把α取得很小，如，甚至。反之，则应把α取得大些。 单正态总体均值和方差的假设检验

条零假设 件 已 知 2 对应样本 统计量 函数分布 N（0，1） 未 知 2 未 知 2