概念与公式

第1章的重要概念与公式

1．函数：单值函数、多值函数，复合函数，分段函数、初等函数． 2．函数的几种特性：周期性，单调性，奇偶性，有界性． 3．邻域：x0的邻域 U(x0,)＝x0,x0

＝x0,x0x0,x0 x0的去心邻域 U0(x0, )4．极限的定义（数列的极限、函数的极限、单侧极限、无穷小与无穷大） 5．分段函数在分段点处的极限：一般要用左右极限，即

limf(x)Af(x00)f(x00)A

xx0

6．极限的运算法则：四则运算法则，复合函数的运算法则，一些分式极限． 7．极限的两个重要准则：两边夹法则，单调有界准则．

sinx18．两个重要极限：lim1e ，lim＝１．

x0xxx 9．无穷小与无穷大的关系：非零无穷小的倒数是无穷大,无穷大的倒数是无穷小． 10．无穷小的比较：等价无穷小(a~)，同阶无穷小，高阶无穷小（ao） 常见的等价无穷小：当x０时，

sinx,tanx,arcsinx,arctanx,ln(1x),ex1都与x等价；

xx21cosx~；(1x)k1~kx(k0)；ax1~xlna(a0,a1)．

2011．等价无穷小的性质：等价无穷小代换求“”型极限．

012．连续函数的定义与间断点的分类

13．连续函数的运算：四则运算，复合函数的运算．

14．初等函数的连续性：初等函数在其有定义的区间内是连续的. 15．闭区间上连续函数的性质: 最值定理，介值定理，零点定理(根的存在定理)． 16．经济管理中的函数模型：需求函数,供给函数,成本函数,收益函数,利润函数．

第2章的重要概念与公式

fxxfx1．导数的定义：fxlim． x0xdnyddn1y(n)(n1)2．高阶导数：y[y]即n(n1) (n2)．

dxdxdx函数y1、ysinx、ycosx、yex的n阶导数公式：„ x

3．莱布尼兹公式：

1(n1)k(nk)(k)(uv)(n)u(n)v(0)CnuvCnuvu(0)v(n)．

4．可导与连续的关系：可导必连续，反之不真． 5．导数的几何意义: 切线的斜率．

6．导数的其它意义：函数对自变量的瞬时变化率 7．基本求导公式（见公式表）

8．基本求导法则：（注意！公式中出现的导数必须均存在，否则法则不能使用）

uvuvu四则运算法则：(uv)uv；(uv)uvuv；． 2vv1dy反函数的求导法则：dx．

dxdy复合函数的求导法则：

dydydu即yxyuux． dxdudx9．三个求导方法：

隐函数的求导法：方程两边对自变量求导，解出未知导数． 取对数求导法：注意何时考虑用此法

参数方程所确定的函数的求导法：用微分的比值（微商）理解．

10．分段函数在分段点处的求导：首先看是否连续，若连续，再计算单侧导数． 11．微分：dyf(x)dx．

12．微分的基本公式和四则运算法则：与基本求导公式和求导法则对应．

13．一阶微分形式的不变性：设yf(u)，不管u是自变量还是中间变量，始终有

dyf(u)du．

14．微分的应用：注意近似公式的推导和应用．

如当|x|很小时，ex1x；(1x)n1nx．

15．函数的边际与弹性：在经济管理学中称f(x)为函数f(x)的边际函数；称xf(x)为函数f(x)的弹性． f(x)f(xk)16．牛顿法求方程近似根的迭代公式：xk1xk

f(xk)

第3章的重要概念与公式

1．微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒定理． 2．罗尔定理结论的代数意义：f(x)0有根；构造函数用于判别方程根的情况． 3．常见的初等函数的马克劳林展式（略）

f(x)0A（或）4．洛必达法则：或型未定式：若lim，则不定式的极限

0g(x)f(x)limA（或），其他形式的未定式可先转化再用法则

g(x)

5．函数的增减性：f(x)0（等号成立有限或可列），则f(x)单增；

f(x)0（等号成立有限或可列），则f(x)单减． 6．驻点：方程f(x)0的解．

7．极值点的必要条件:f(x0)0或f(x0)不存在.

8．极值点的充分条件：第一充分条件 f(x)在可能的极值点x0的两侧异号； 第二充分条件 f(x0)0且f(x0)0；

9．曲线为凹凸的判定: f(x)0时，曲线为凹的；f(x)0时，曲线为凸的． 10．拐点：连续曲线的凹弧与凸弧的分界点（在曲线上）．

11．渐近线：水平渐近线 若limf(x)b，则yb为水平渐近线；

x 铅直渐近线 若limf(x)，则xc为铅直渐近线；

xcxcxc

斜渐近线 若lim[f(x)axb]0(a0)，则yaxb为斜渐近

x线．

alimxf(x),blim[f(x)ax].

xx12．作图的基本步骤：

（１）．确定函数的定义域及函数的特性； （２）．求一、二阶导数并求分点； （３）．列表讨论函数及曲线的性态； （４）．求渐近线； （５）．描点连线作图． 13．最值应用题的解题步骤：

（１）．建目标函数并指出其定义域； （２）．求导数找驻点（常常惟一）；

（３）．由实际问题知，目标函数恰在此惟一的驻点处取得所需要的最值．

第4章和第5章的重要概念与公式

1．原函数：若F(x)f(x)，则称F(x)是f(x)的原函数．

2．不定积分：f(x)的所有原函数构成的集合，记为 f(x)dx=F(x)+C 3．基本积分公式 （见公式表） 4．积分方法：

直接积分法（利用基本积分公式和积分性质）； 第一换元法(凑微分法)；

第二换元法（三角代换、倒代换）； 分部积分法(udvuvvdu）；

有理函数的积分法（化被积函数为部分分式）；

简单根式代换法；

三角函数有理式的积分（可用万能代换）． 5．定积分：f(x)dxlimf(i)xi

abn0i16．原函数存在定理：设f(x)为连续函数，则f(x)必有原函数f(t)dt，即

axdxf(t)dtf(x) adx

dv(x)f(t)dtf[v(x)]v(x)f[u(x)]u(x) 一般地：u(x)dx

7．牛顿－莱布尼兹公式：f(x)dxF(x)aF(b)F(a)(f(x)连续).

abb8．定积分的性质（见有关性质）

9．简化定积分计算的几个重要公式：

（１）．xf(sinx)dxf(sinx)dx（函数f在[0,1]上连续）

020（２）．sinxdx22sinnxdx

00nn（３）．sinxdx2cosxdx2n00(n1)!!J(n为偶数时J为奇数时2,nn!!J1)

mnsinxcosxdx（４）．02(m1)!!(n1)!!k(m和n均为偶数时k，否则k1) 2(mn)!!（５）．义） （６）．a0axdx22a24，aaaxdx22a22（利用定积分的几何意

aaa2f(x)dxf(x)dx00Tn为连续偶函数时

n为连续奇函数时（７）．anTaf(x)dxnf(x)dx（T为连续函数f(x)的周期）

0

10．定积分应用的微元法：

⑴. 选取适当的积分变量，并确定其变化范围[a,b]（积分区间）；

⑵. 求出相应于[a,b]的任意一小区间［x,xx］上所求量U的部分量U的近似值，即微元dU，并将其表示为 f(x)dx的形式； ⑶ Uf(x)dx．

ab11．常用的几个公式：

曲边梯形的面积：A弧长：s

babaf(x)dx．

1(y)2dx（直角坐标）；

s[x(t)]2[y(t)]2dt（参数方程）．

ba旋转体：体积Vx[f(x)]2dx；

侧面积s2f(x)1f2(x)dx．

ab1f(x)dx． 平均值：

baa

物理等其它应用（略）． 12．广义积分：

b

abf(x)dxlimf(x)dxlimF(x)F(a)F(x)a

baxbf(x)dxlimf(x)dxF(b)limF(x)F(x)

aaxbbf(x)dx＝af(x)dx＋caaf(x)dx（当两个都收敛时，xc才收敛）．

设f(x)在[a,c)(c,b]上连续，且limf(x)，

caf(x)dxlim0f(x)dxlimF(x)F(a)F(x)a xccbcbaf(x)dxlim0bcf(x)dxF(b)limF(x)F(x)c xcbf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx（当两个都收敛时，f(x)dx才收敛）．

ab

13．Г函数：

()0x1exdx（0时收敛），

(1)()，

(n1)n!，

()120xedx212x0． etdt＝(12)2

14．定积分的近似计算：辛普生公式

第6章重要概念与公式

1． 空间直角坐标系

坐标系的建立（右手系）；坐标轴；坐标面； 卦限；点的坐标—三元有序数组(x,y,z)，依次称x、y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标．

原点O的坐标为(0,0,0)；x轴、y轴和z轴上点的坐标分别为(x,0,0)、(0,y,0)、(0,0,z)；xOy平面、yOz平面和zOx平面上点的坐标分别为(x,y,0)、(0,y,z)和(x,0,z)． 2．空间两点间的距离

M1M2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2．

3．曲面方程

F(x,y,z)0

4．以点M0(x0,y0,z0)为球心、R为半径的球面方程．

(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2．

5．母线平行于z轴，准线C是xOy平面上的曲线F(x,y)0的柱面方程是 F(x,y)0．

6．旋转曲面：yOz平面上有一已知曲线C：F(y,z)0绕z轴旋转一周，所得旋转曲面(的方程为F(x2y2,z)0．

同理，曲线C绕y轴旋转一周所成的旋转曲面的方程为F(y,x2z2)0． 7．平面：平面的一般式方程

AxByCzD0 其中A、B、C不同时为零．

几种特例：

Ⅰ．若D0，方程(2)变成AxByCz0．平面通过坐标原点．

Ⅱ．若C0，方程(2)变成AxByD0．表示平行于z轴的平面．同样，AxCzD0和ByCzD0分别表示平行于y轴和x轴的平面．

Ⅲ．若A0，B0，方程CzD0表示平行于xOy平面的平面．同样，AxD0和ByD0分别表示平行于yOz平面和zOx平面的平面．

平面的截距式方程：

xyz1． abc

8．空间曲线及其方程

空间曲线C的一般方程：

F1(x,y,z)0, F(x,y,z)0.2

9．常用二次曲面

x2y2z2Ⅰ．椭球面 2221

abcx2y2Ⅱ．椭圆抛物面z (p与q同号)

2p2qx2y2z2Ⅲ．锥面2220

abca22xz22当ab时，方程变为xy2z，它表示xOz平面上的直线0绕

accz轴旋转一周所生成的旋转曲面，是一圆锥面．

第7章的重要概念与公式

1．多元函数：二元及二元以上的函数统称多元函数．

2．二重极限：limf(x,y)（可利用一元函数求极限的方法计算二重极限，用特

xx0yy0殊的路径证明极限不存在）．

3．多元初等函数的连续性：在定义域内是连续的．

4．有界闭区域上连续函数的性质：有界性，最值性，介值定理，零点定理．

zf(xh,y)f(x,y)lim5．偏导数：zf(x,y),z xh0xhd(x,y)z(x,y)f(x,y0)xx zx00x(x0,y0)0dx

6．可微、偏导数存在、连续的关系：偏导数连续则可微，偏导数存在不一定连续

7．全微分的计算：uf(x,y,z)，dufxdxfydyfzdz（偏导数连续）． 8．高阶偏导数：二阶及二阶以上的偏导数统称高阶偏导数（注意记号）. 9．多元复合函数的求导法则：要注意利用函数关系图． 10．隐函数的求导法则：

FdyF(x,y)0，x；

dxFyFyFxzz F(x,y,z)0，， xFzyFz11．注意记号fi与fij的意义

12．二元函数极值的必要条件与充分条件 13．约束优化与拉格朗日乘数法 14．最小二乘法

15．二重积分：f(x,y)dlimf(,)i

Dn0i1 直角坐标系下面积元素 ddxdy 极坐标系下面积元素 drdrd 16．二重积分的性质(性质1-7) 17．中值定理与函数的平均值：

中值定理:f(x,y)df(,)，（f(x,y)连续），

D1f(x,y)在区域Ｄ上的平均值:f(,)f(x,y)d．

D18．二重积分的计算：

b2(x)axbf(x,y)dy. ,f(x,y)ddxx－型区域先对y，D:a1(x)(x)y(x)21D

d2(y)1(y)x2(y)f(x,y)dx． ,f(x,y)ddyc(y)1cydDy－型区域先对x，D:－型区域先对r，Dr:,

r1()rr2() f(x,y)dDDrf(rcos,rsin)rdrddr2()r1()f(rcos,rsin)rdr．

arb（此种情况不常见） r-型区域先对，Dr：1(r)2(r) f(x,y)dDDrf(rcos,rsin)rdrdbadr2(r)1(r)f(rcos,rsin)rd.

19．二重积分的应用：

曲顶柱体的体积 Vf(x,y)d

DD平面区域Ｄ的面积 d 平面薄片的质量 m(x,y)d

D

第8章的重要概念与公式

1．微分方程：阶、解、通解、特解、初始条件与初值问题．

2．一阶微分方程：可分离变量的方程：g(y)dyf(x)dx 两边求不定积分

yy一阶齐次：y(xu转化为可分离变量的方程 ) 令x形如：yf(axbyc)（b0） 令axbycu转化为可分离变量

一阶线性：yP(x)yQ(x)的通解为 yeP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdxC]

贝努里方程：yP(x)yQ(x)yn 令y1nu转化为一阶线性方程 3．二阶微分方程：yf(x,y) 令yp,yp代入降为一阶再分类

dp代入降为一阶再分类 yf(y,y) 令yp，（注意！）ypdy二阶线性常系数齐次：ypyqy0通解可用公式直接写结论

二阶线性常系数非齐次：ypyqyf(x)的通解等于对应齐次方程的通 解加上自身的一个特解y*（特别注意y*的设法） 4．差分方程：阶、解、通解、特解、初始条件．

5．差分方程的分类：一阶线性常系数： yn1byn0(b0)，通解ycbn．

**（特别注意yn的设法） yn1bynPm(n)an的通解为ycbnyn二阶线性常系数：yn2byn1cyn0的通解见表５－２

yn2byn1cynPm(n)an的通解等于对应齐次方程的通解加上自身的一

个特解y*（特别注意y*的设法）

第9章的重要概念与公式

1．无穷级数：常数项级数un，幂级数anxn．

n1n0

2．收敛与发散的定义：部分和数列有极限称级数收敛，否则称级数发散． 3．级数收敛的必要条件：一般项趋于零(常用来判别级数发散．但不能判别收敛) 4．正项级数收敛的充要条件：部分和数列有界． 5．正项级数的审敛法：

比较审敛法（含两个推论）

a比值审敛法 limn1,1时收敛；1时发散；1时失效．

nan

6．两个重要级数（它是比较审敛法的比较标准）

a等比级数（几何级数） aqn，当q1时收敛于；当q1时发散．

1qn11p级数p，当p1时收敛，当p1时发散（p1时称调和级数）．

n1n

7．交错级数的审敛法：莱布尼兹判别法．

8．任意项级数的审敛法：绝对收敛定理 若un收敛，则un收敛．

n1n19．幂级数anxn的收敛半径：Rlimn0an

nan110．阿贝尔定理：若x0是anxn的收敛点，则满足xx0的x都绝对收敛．

n0

11．幂级数分析运算(它是求和函数的重要工具，不改变收敛半径，但在收敛域的端点处可能改变其敛散性)

逐项求导 [anx][anx]nanxn1

nnn0n0n1逐项积分 [anx]dx[anxdx]nn0n0n00xxann1x

n0n1

12．泰勒级数：

f(n)(x0)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)n

n!

13．函数展开成幂级数的几个重要展开式：

11 ex1xx2xn (x)；

2!n!11 sinxxx3(1)mx2m1 (x)；

3!(2m1)!111 cosx1x2x4(1)mx2m (x)；

2!4!(2m)!1111(x)xx2x3(1)n1xn (1x1)； ln23n (1x)m1mxm(m1)(mn1)n!xn