2014-2015学年湖南省娄底市冷水江一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）设S={x|2x+1＞0}，T={x|3x﹣5＜0}，则S∩T=（） A． ∅
2．（4分）函数
的定义域为（）
B．
C．
D．
A． B． C． D．
3．（4分）下列函数与函数y=x相等的是（） A． y=logaa（a＞0，a≠1） C． y=
4．（4分）已知a=log20.3，b=2，c=0.2，则a，b，c三者的大小关系是（） A． b＞c＞a B． b＞a＞c C． a＞b＞c D．c＞b＞a 5．（4分）如果奇函数f（x）在区间[1，5]上是减函数，且最小值3，那么f（x）在区间[﹣5，﹣1]上是（） A． 增函数且最小值为3 B． 增函数最大值为3 C． 减函数且最小值为﹣3 D． 减函数且最大值为﹣3
6．（4分）函数f（x）=a+loga（x+1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（） A．
7．（4分）设函数 A． （0，1）
B． （1，2）
，则其零点所在区间为（） C． （2，3）
D．（3，4）
B．
C． 2
D．4
x
0.3
0.3
x
B． y=D．
8．（4分）已知f（x）= A． 3
B． ﹣1
，若f（x）为奇函数，则g（﹣1）的值为（） C． ﹣3
D．1
9．（4分）若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则
的解集为（）
A． （﹣3，3） B． （﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D． （﹣∞，﹣3）∪（0，3）
10．（4分）设定义在R上的函数（fx）=
C． （﹣3，0）∪（3，+∞）
，若关于x的方程[f（x）]+bf
2
（x）+c=0有7个不同的实根，则必有（） A． b＜0且c=0 B． b＞0且c＜0 C． b＜0且c＞0 D．b≥0且c=0
二、填空题：（本大题共5个小题，共20分） 11．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，3，5}，N={2，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是．
12．（4分）若f（x）是幂函数，且满足
=3，则f（）=．
13．（4分）某方程在区间D=（2，4）内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，且使所得近似值的精确度达到0.1，则应将D分次．
14．（4分）函数f（x）=
15．（4分）已知函数f（x）=
，下列命题： 的值域是．
①函数f（x）的零点为1； ②函数f（x）的图象关于原点对称； ③函数f（x）在其定义域内是减函数；
④函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． 其中所有正确的命题的序号是．
三、解答题： 16．（8分）计算： （1）log2.56.25+lg
+ln（e
）+log2（log216）；
（2）解含x的不等式：
+2＜0．
17．（10分）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={x∈N|1＜x≤4}，B={x∈R|x﹣3x+2=0} （1）用列举法表示集合A与B； （2）求A∩B及∁U（A∪B）．
18．（10分）已知f（x）=
（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5），
2
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式．
（2）若y=lg[f（x）﹣ax+1]的定义域为实数R，求实数a的取值范围． 19．（10分）有甲乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为p和q（万元）；它们与投入资金x（万元）的关系有经验函数：p=x，q=
．现有4万元资金投入经营甲
乙两种商品，为获得最大利润，对甲乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润为多少？ 20．（10分）已知函数f（x）是定义在实数R上的偶函数，且f（1﹣x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=1﹣x，函数
g（x）=log5|x|．
（1）判断函数g（x）=log5|x|的奇偶性；
（2）证明：对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x）；
（3）在同一坐标系中作出f（x）与g（x）的大致图象并判断其交点的个数．
21．（12分）已知函数f（x）=log4（4+1）+kx（k∈R）是偶函数． （1）求实数k的值；
x
（2）设g（x）=log4（a•2+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．
x
2014-2015学年湖南省娄底市冷水江一中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）设S={x|2x+1＞0}，T={x|3x﹣5＜0}，则S∩T=（） A． ∅
B．
C．
D．
考点： 交集及其运算．
分析： 集合S、T是一次不等式的解集，分别求出再求交集．
解答： 解：S={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，T={x|3x﹣5＜0}={x|x＜}， 则S∩T=
，
故选D．
点评： 本题考查一次不等式的解集及集合的交集问题，较简单．
2．（4分）函数
的定义域为（）
A． B． C． D．
考点： 对数函数的定义域．
分析： 令被开方数大于等于0，且分母不等于0，同时对数的真数大于0；列出不等式组，求出x的范围即为定义域．
解答： 解：要使函数有意义，需
即﹣＜x＜1
故选：C．
点评： 本题考查求函数的定义域需要开偶次方根的被开方数大于等于0，对数的真数大于0底数大于0且不大于1． 3．（4分）下列函数与函数y=x相等的是（） A． y=logaa（a＞0，a≠1） C． y=
x
B． y=D．
考点： 判断两个函数是否为同一函数． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的两个函数是相等函数，进行判断即可．
x
解答： 解：对于A，y=logaa=x（x∈R），与函数y=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数；
对于B，y=对于C，y=对于D，y=
=|x|（x∈R），与函数y=x（x∈R）的对应关系不同，不是相等函数； =x（x≠0），与函数y=x（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；
=x（x≥0），与函数y=x（x∈R）的定义域不同，不是相等函数．
故选：A．
点评： 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域和对应关系是否相同，是基础题．
4．（4分）已知a=log20.3，b=2，c=0.2，则a，b，c三者的大小关系是（） A． b＞c＞a B． b＞a＞c C． a＞b＞c D．c＞b＞a
考点： 对数值大小的比较． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据指数函数，对数函数的性质，分别判断a，b，c的大小即可得到结论．
0.30.3
解答： 解：log20.3＜0，2＞1，c=0.2∈（0，1）， ∴b＞c＞a， 故选：A
点评： 本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数，对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础． 5．（4分）如果奇函数f（x）在区间[1，5]上是减函数，且最小值3，那么f（x）在区间[﹣5，﹣1]上是（） A． 增函数且最小值为3 B． 增函数最大值为3 C． 减函数且最小值为﹣3 D． 减函数且最大值为﹣3
考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．
解答： 解：由奇函数的性质可知，若奇函数f（x）在区间[1，5]上是减函数，且最小值3， 则那么f（x）在区间[﹣5，﹣1]上为减函数，且有最大值为﹣3， 故选：D
点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．
0.30.3
6．（4分）函数f（x）=a+loga（x+1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（） A．
B．
C． 2
D．4
x
考点： 函数单调性的性质． 专题： 计算题．
分析： f（x）在[0，1]上，当a＞1时是增函数；当0＜a＜1时是减函数；由单调性分析可得
f（0）+f（1）=a，即可解得a=．
解答： 解：f（x）是[0，1]上的增函数或减函数， 故f（0）+f（1）=a，即1+a+loga2=a⇔loga2=﹣1， ∴2=a⇔a=．
故选B
点评： 可分类讨论做．因为单调性不变，也可合二为一做．
﹣1
7．（4分）设函数
，则其零点所在区间为（）
A． （0，1） B． （1，2） C． （2，3） D．（3，4）
考点： 函数的零点． 专题： 计算题．
分析： 分别求出所给区间两个端点的函数值的乘积，由零点的性质知，零点在乘积小于0的区间内．
解答： 解：∵f（1）f（2）=（1﹣2）×（8﹣1）=﹣7＜0， ∴其零点所在区间为（1，2）． 故选B．
点评： 本题考查函数的零点，解题时要熟练掌握零点存在区间的判断方法．
8．（4分）已知f（x）=，若f（x）为奇函数，则g（﹣1）的值为（）
A． 3 B． ﹣1 C． ﹣3 D．1
考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据奇函数的性质即可得到结论． 解答： 解：∵f（x）为奇函数， ∴f（0）=1+b=0，解得b=﹣1， 且f（﹣1）=﹣f（1），
即g（﹣1）=﹣（2+2﹣1）=﹣3， 故选：C
点评： 本题主要考查函数值的计算，根据奇函数的性质是解决本题的关键． 9．（4分）若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则
的解集为（）
A． （﹣3，3） B． （﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） C． （﹣3，0）∪（3，+∞） D． （﹣∞，﹣3）∪（0，3）
考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．
解答： 解：因为y=f（x）为偶函数，所以，
所以不等式等价为．
因为函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，
所以解得x＞3或﹣3＜x＜0，
即不等式的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）． 故选C．
点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
10．（4分）设定义在R上的函数（fx）=
，若关于x的方程[f（x）]+bf
2
（x）+c=0有7个不同的实根，则必有（） A． b＜0且c=0 B． b＞0且c＜0 C． b＜0且c＞0 D．b≥0且c=0
考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用．
2
分析： 先画出f（x）的图象，观察图形可知若关于x的方程f（x）+af（x）+b=3有三个不同实数解满足的条件，然后图象对称性求出三个根即可． 解答： 解：作出f（x）的图象如图所示：
设t=f（x），则方程[f（x）]+bf（x）+c=0等价为t+bt+c=0， 由图可知，只有当t=f（x）≥1时，方程t=f（x）有2个根． 当t=f（x）∈（0，1）时，t=f（x）有4个根． 当t=f（x）=0时，t=f（x）有3个根．
2
若关于x的方程f（x）+af（x）+b=0有7个不同实数解，
2
则等价为t+bt+c=0的两个根满足t1=0或t2∈（0，1），
2
则c=0，此时方程等价为t+bt=0，
则t（t+b）=0，另外一个根t2=﹣b∈（0，1）， 则﹣1＜b＜0． 即﹣1＜b＜0且c=0 故选：A
22
点评： 本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数的图象与方程之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键．
二、填空题：（本大题共5个小题，共20分） 11．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，3，5}，N={2，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是{1，3}．
考点： Venn图表达集合的关系及运算． 专题： 计算题；集合．
分析： 由图可知，阴影部分表示了M∩（∁UN）． 解答： 解：由图可知， ∁UN={1，3，4}，
故M∩（∁UN）={1，3}． 故答案为：{1，3}．
点评： 本题考查了识图能力及集合的运算，属于基础题．
12．（4分）若f（x）是幂函数，且满足
考点： 幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 专题： 计算题．
=3，则f（）=．
分析： 可设f（x）=x，由
α
α
=3可求得α，从而可求得f（）的值．
α
解答： 解析：设f（x）=x，则有
=3，解得2=3，α=log23，
∴f（）=
=
=
==．
故答案为：
点评： 本题考查幂函数的单调性和奇偶性及应用，关键是掌握对数恒等式及其灵活应用，属于中档题． 13．（4分）某方程在区间D=（2，4）内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，且使所得近似值的精确度达到0.1，则应将D分5次．
考点： 二分法的定义． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 二分法求方程的近似解的定义和方法，由2×从而得出结论．
解答： 解：每一次二等分，区间长度变为原来的，由2×
≤ 且n∈N，求得n的最小值，
*
≤ 且n∈N，
*
求得n≥5， 故答案为：5．
点评： 本题主要考查用二分法求方程的近似解的定义和方法，属于基础题．
14．（4分）函数f（x）=
的值域是[0，1）．
考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 先求出函数f（x）的定义域，再根据定义域求出函数f（x）的值域．
解答： 解：∵函数f（x）=∴1﹣2≥0， x
∴2≤1， 即x≤0； 当x≤0时， 0＜2≤1，
x
∴0≤1﹣2＜1； 即0＜
≤1，
xx
，
∴f（x）的值域是[0，1）． 故答案为：[0，1）．
点评： 本题考查了求函数定义域和值域的问题，解题时应根据函数的解析式与定义域求出函数的值域，是基础题．
15．（4分）已知函数f（x）=，下列命题：
①函数f（x）的零点为1； ②函数f（x）的图象关于原点对称； ③函数f（x）在其定义域内是减函数；
④函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． 其中所有正确的命题的序号是②④．
考点： 命题的真假判断与应用；函数奇偶性的判断． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 已知函数f（x）=
x
﹣x
，
①由于e＞0，e＞0，可得函数f（x）的无零点； ②由于函数的定义域为{x|x∈R且x≠0}，f（﹣x）=奇函数，即可得出图象的对称性； ③函数f（x）=
=1+
，当x＞0时，利用函数y=e单调递增，可得e＞1，
2x
2x
=﹣f（x），因此函数f（x）是
函数f（x）在x＞0时单调递减；同理函数f（x）在x＜0时单调性质．但是在其定义域内不
是单调函数； ④变形函数f（x）=1+
，当x＞0时，利用函数f（x）在x＞0时单调递减，可得f（x）
＞1；利用奇函数的性质可得：当x＜0时，可得f（x）＜﹣1．即可得出函数f（x）的值域． 解答： 解：已知函数f（x）=
x
﹣x
，
①∵e＞0，e＞0，∴函数f（x）的无零点，不正确； ②∵函数的定义域为{x|x∈R且x≠0}，f（﹣x）=数，因此其函数f（x）的图象关于原点对称，正确； ③函数f（x）=
=1+
，当x＞0时，函数y=e单调递增，且e＞1，∴函数f
2x
2x
=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函
（x）在x＞0时单调递减；同理函数f（x）在x＜0时单调递减，但是函数f（x）在其定义域
内不是单调函数；
④函数f（x）==1+，当x＞0时，函数f（x）在x＞0时单调递减，可得f（x）
＞1；同理利用奇函数的性质可得：当x＜0时，可得f（x）＜﹣1．因此函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． 综上可得：正确的命题为②④． 故答案为：②④．
点评： 本题考查了函数f（x）=与计算能力，属于中档题．
三、解答题： 16．（8分）计算： （1）log2.56.25+lg
+ln（e
）+log2（log216）；
+2＜0．
的单调性奇偶性值域及其零点，考查了推理能力
（2）解含x的不等式：
考点： 一元二次不等式的解法；对数的运算性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）直接利用对数的运算性质化简求值；
（2）把原不等式看作关于解答： 解：（1）log2.56.25+lg
的一元二次不等式，求解后再求解指数不等式得答案． +ln（e
）+log2（log216）
=
=2﹣2++2 =； （2）由
+2＜0，得
，
解得：1＜∴不等式：
，即﹣1＜x＜0．
+2＜0的解集为（﹣1，0）．
点评： 本题考查了指数不等式和对数不等式的运算性质，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
17．（10分）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={x∈N|1＜x≤4}，B={x∈R|x﹣3x+2=0} （1）用列举法表示集合A与B； （2）求A∩B及∁U（A∪B）．
考点： 交、并、补集的混合运算；集合的表示法． 专题： 常规题型；计算题．
分析： （1）列举出A与B即可；
（2）求出A与B的交集，以及A与B并集的补集即可． 解答： 解：（1）集合A={2，3，4}，B={1，2}； （2）A∩B={2}；A∪B={1，2，3，4}， ∵全集U={0，1，2，3，4，5，6}，
2
∴∁U（A∪B）={0，5，6}．
点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
18．（10分）已知f（x）=
（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5），
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式．
（2）若y=lg[f（x）﹣ax+1]的定义域为实数R，求实数a的取值范围．
考点： 幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）根据幂函数的定义和性质即可求m的值，并确定f（x）的解析式． （2）若y=lg[f（x）﹣ax+1]的定义域为实数R，求实数a的取值范围．
解答： 解：（1）∵f（x）=∴﹣2m+m+3＞0，
2
即2m﹣m﹣3＜0， 解得﹣1＜m＜， ∵m∈Z，∴m=0或m=1，
2
（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5），
当m=0时，f（x）=x为奇函数，不满足条件．
2
当m=1时，f（x）=x为偶函数，满足条件． （2）若y=lg[f（x）﹣ax+1]的定义域为实数R， 则f（x）﹣ax+1＞0恒成立，
2
即x﹣ax+1＞0恒成立，
2
则判别式△=a﹣4＜0， 解得﹣2＜a＜2，
故实数a的取值范围是a∈（﹣2，2）．
点评： 本题主要考查幂函数的图象和性质，根据条件求出幂函数的解析式是解决本题的关键． 19．（10分）有甲乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为p和q（万元）；它们与投入资金x（万元）的关系有经验函数：p=x，q=
．现有4万元资金投入经营甲
3
乙两种商品，为获得最大利润，对甲乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润为多少？
考点： 函数最值的应用． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 本题可以先设对乙产品投入x万元，得到对甲产品投入4﹣x万元，利用利润与投入资金的关系，得到相应的函数，配方得到函数的最值，得到本题结论． 解答： 解：设对乙产品投入x万元， ∵共4万元资金投入经营甲乙两种商品， ∴0≤x≤4，对甲产品投入4﹣x万元，
∵甲乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为p和q（万元与投入资金x（万
元）的关系有经验函数：p=x，q=∴p=（4﹣x），q=∴总的利润为： y=（4﹣x）+∴y==
（
2
，
，
，（0≤x≤4），
﹣1）+1≤1．
当且仅当，即x=1时，取等号．
∴甲投3万元，乙投1万元，最大利润为1万元．
点评： 本题考查了函数的实际应用，本题难度不大，属于基础题． 20．（10分）已知函数f（x）是定义在实数R上的偶函数，且f（1﹣x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=1﹣x，函数 g（x）=log5|x|．
（1）判断函数g（x）=log5|x|的奇偶性；
（2）证明：对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x）；
（3）在同一坐标系中作出f（x）与g（x）的大致图象并判断其交点的个数．
考点： 函数的周期性；函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 本题（1）利用函数的奇偶性定义判断并证明，得到本题结论；（2）利用函数的奇偶性、对称性、周期性与函数解析式的关系，可判断比哦的周期性，也可辅助画图观察，得到本题结论；（3）先画出部分函数图象，再根据函数的奇偶性、周期性画出函数在定义域内的草图，观察图象交点，得到本题结论．
解答： （1）判断结论：g（x）为偶函数．以下证明． 证明：∵g（x）=log5|x|， ∴x≠0．
∴对于任意的x∈（﹣∞，0）∪（0，∞）， g（﹣x）=log5|﹣x|）=log5|x|=g（x），
∴函数g（x）为偶函数；
（2）∵函数f（x）是定义在实数R上的偶函数， ∴f（﹣x）=f（x）， ∵f（1﹣x）=f（1+x），
∴f（x+2）=f[1+（x+1）]=f[1﹣（x+1）]=f（﹣x）=f（x）． 故原命题得证．
（3）∵g（x）=log5|x|，
∴y=g（x）的图象过点（1，0），（5，1），关于y轴对称， ∴如图可知：f（x）与g（x）大致有8个交点．
点评： 本题考查了函数的单调性、奇偶性，本题难度不大，属于基础题．
21．（12分）已知函数f（x）=log4（4+1）+kx（k∈R）是偶函数． （1）求实数k的值；
x
（2）设g（x）=log4（a•2+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．
考点： 根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）由f（x）=f（﹣x），化简可得x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，从而求得k的值．
x
（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，方程
有且只有一个实根，且a•2+a＞0成立，则a＞0．令t=2＞0，则（a﹣1）t+at﹣1=0有且只有一个正根，分类讨论求得a的范围，综合可得结论． 解答： 解：（1）由函数f（x）是偶函数可知：f（x）=f（﹣x）， ∴
，化简得
，
x
x
2
即x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，∴．
（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点， 即方程化简得：方程
x
2
有且只有一个实根，
有且只有一个实根，且a•2+a＞0成立，则a＞0．
x
令t=2＞0，则（a﹣1）t+at﹣1=0有且只有一个正根，
设g（t）=（a﹣1）t+at﹣1，注意到g（0）=﹣1＜0， 所以①当a=1时，有t=1，合题意；
②当0＜a＜1时，g（t）图象开口向下，且g（0）=﹣1＜0，则需满足此时有；（舍去）．
③当a＞1时，又g（0）=﹣1，方程恒有一个正根与一个负根．
综上可知，a的取值范围是{}∪[1，+∞）．
点评： 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，二次函数的性质的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于基础．
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