微专题 二次函数与代数问题结合(二)根与系数的关系及定值问题

【方法技巧】几何条件方程一、借助全等转化线段关系

根与系数关系.

1. 如图，抛物线yx22x3与坐标轴交于A、B、C三点，直线ykx1与抛物线交于

P、Q两点，且y轴平分线段PQ，求k的值.

yPACFEDQ

Bx解：设直线ykx1交y轴于点D，P（x1，y1）Q（x2，y2），分别过P、Q作PE⊥y轴

于点E，QF⊥y轴于点F，则PE＝─x1，QF＝x2，∵y轴平分线段PQ，∴PD＝QD，∴△PDE≌△QDF，∴PE＝QF，∴─x1＝x2，即x1＋x2＝0，由ykx1yx2x32得：

x2k2x20，∴x1＋x2＝k＋2＝0.∴k＝─2.

2. 如图，抛物线yx4分别交x轴于A、B，交y轴于C，P为第三象限的抛物线上一点，

过P点的直线ykx3交直线y2于点M，交抛物线于另一点Q，若M为PQ中点，求k的值.

yAOBQEMPCF xy=-22

解：分别过P、Q作直线y2的垂线，垂足分别为E、F，设P（x1，y1）Q（x2，y2），

∵P、Q两点关于点M成中心对称，∴PE＝QF，∴─y1─2＝2＋y2，∴y1＋y2＋4＝

yx2420，由得：xkx10，∴x1＋x2＝k，∵y1＋y2＝k（x1＋x2）─6

ykx3＝k6，∴k640，∴k12，k22（舍去）. ∴k的值为2. 二、借助面积转化线段关系

3. 如图，过点C（0,3）的直线交抛物线yx2于A、B两点，若S△AOB6，求点A、B坐

标.

yEB22CADOx

解：过A作AD⊥y轴于点D，过B作BE⊥y轴于E，∵S△AOB6，∴

113•AD•3•BE•6，∴AD＋BE＝4，∴xBxA4，设直线AB的解析式为

22ykx32xkx30，∴xAxBk，xA•xB3，∵ykx3，由得2yxxBxA216，∴xAxB24xA•xB16，∴k24316，∴k2. 当

k＝2时，A（─1,1），B（3,9）；当k＝─2时，A（1,1），B（─3,9）. 三、借助勾股定理转化线段关系

224. 如图，直线yx1与抛物线yx2mxmm交于A、B两点（A在B左边）.求

证：无论m为何值，AB的长总为定值.

BACO

证：A（x1，y1），B（x2，y2），以AB为斜边构造等腰直角△ABC，∴AB＝2AC，由

yx122得∴x1＋x2＝2m＋1，x1x2x2m1xmm10，22yx2mxmm＝mm1，∴AC＝x2x1＝

2x1x224x1x25，∴AB＝10（定值）.