《实变函数》试卷题目

1. 设ER1,给出E的一个V覆盖 2. 鲁津定理说明几乎处处有限的可测函数是 连续的 3. 实数列全体的基数是 4. 设f(x)为单调函数，则其不连续点的个数为 5. 设Q为0,1中的有理数，则Q＝ 6. 若G1,G2为Rn中互不相交的开集，则G1G2＝ 7. 设康托尔集为P，则P 8. 设f(x)绝对连续，下列结论不正确的是

(A)f(x)连续 (B)f(x)是一个可积函数的不定积分 (C)f(x)有界变差 (D)f(x)在[a,b]上满足李普希兹条件 9. 设Aa，B为不可数无限集，则AB为 (B)a (C)c (D)a 10. 含于E的最大开集为

(A)E(A)B

(B)E (C)E0 (D)E

二、简答题（每小题6分，共36分）

1、设f(x)与g(x)定义在可测集E上，且f(x)g(x)a.e.于E，如果f(x)可测，则g(x)也可测

2、设f(x)与f(x)分别为f(x)的正部和负部，用f(x)和f(x)分别表示 f(x)和f(x)

3、证明单位圆周上的点与[0,2)对等

4、设f(x)为狄里克莱函数，x0为有理数，求Df(x0) 5、证明：包含E的最小闭集是E 6、设E[0,]，

cotx,x为E上的有理数f(x)cosx,x为E上的无理数，计算Ef(x)dx

三、（每小题8分，共24分）

1、证明：康托尔集P是零测度集

2、设ERpq为非空开集，xR，则E为开集

p0x03、设在E上fn(x)f(x)，而f(x)g(x)a.e.于E，则fn(x)g(x)于E

第 1 页 共 3 页

四、（本题10分）设mE0，f(x)在E上可积，如果对任意有界可测函数g(x)，有f(x)g(x)dx0，则f(x)0a.e.于E

E

一、选择填空题（每小题3分，共30分） 1.设An11xx， n =1,2,„则：limAn nnn

2.代数数全体的基数是

3.开集0,12,3的构成区间是 4.设f(x)与f(x)分别为f(x)的正、负部，用它们表示f(x)为

5.设f(p)在0,10,1上可积，改变积分序有

dxf(p)dy

0,10,x6.叶果洛夫定理可概述为几乎处处收敛的可测函数列是 一致收敛的

7. 符号函数在x0点处的列导数是 8. 设Q为0,1中的全体有理数，则Q= 9. 下列不是有界变差函数的是 (A)f(x)C[a,b] (B)f(x)C[a,b]

(C)f(x)在[a,b]上单调有限 (D)f(x)在[a,b]上满足李普希兹条件 10. 有界变差函数的不连续点的个数是 (A)有限 (B)可数 (C)至多可数 (D)不可数

11. 设Aa，B为不可数无限集，则AB为 (A)B (B)a (C)c (D)a 12. 设EE，则E为

(A)孤立点集 (B)开集 (C)闭集 (D)完备集

二、简答题（每小题6分，共36分） （ ）1．若E，则mE0 （ ）2．若E有界，则mE

第 2 页 共 3 页

0 （ ）3．若E无界，则mE （ ）4．若mE0，则mE0

（ ）5．若A,B都可测且AB，如果m(BA)0，则mAmB （ ）6．若E可测，A可数，则mEm(EA)

（ ）7．几乎处处有限的可测函数是“基本上”连续的 （ ）8．几乎处处收敛比依测度收敛强

（ ）9．若AdxBf(p)dyBdyAf(p)dx，则f(p)在AB上可积 （ ）10．函数在一点的列导数是唯一确定的 三、（本题6分）设在康托尔集P上定义函数f(x)0，在P的余集中长度为3n的构成区间上定义为n (n1,2,3,),证明f(x) 可积分，并计算积分值 四、（本题8分）设在可测集E上fn(x)f(x)，而fn(x)gn(x)a.e.于E，n1,2,，证明：gn(x)f(x)

五、简答题（每小题5分，共30分）

1． 证明：若ABC，且AC，则ABC 2．证明：单位正方形I(x,y)0x,y1与整个平面

R(x,y)x,y对等

23．设AB且A可测，mA，又mBmA，证明：B可测 4． 证明：E可测时，关于E的特征函数是Rn上的可测函数 5．讨论f(x)与f(x)之间可测性的关系 6．设E[0,]，

x23,x为E上的有理数f(x)sinx，x为E上的无理数，计算Ef(x)dx

第 3 页 共 3 页