基于MATIAB语言的钢筋混凝土梁截面M-φ曲线

第３１卷第ｌ期　河北理工大学学报（自然科学皈）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｂｅｉ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．３１　Ｎｏ．１　Ｆｅｂ．２０１０　２０１０年２月　文章编号：１６７４－０２６２（２０１０）０１－００６９－０５　基于ＭＡＴ［ＡＢ语言的钢筋混凝土梁截面　王萃敏，王兴国，苏幼坡，葛楠　（问北理工大学问北省地震工程研究中心，河北唐山ｏ６３ｏ０９）　曲线　关键词：应变；屈服强度；本构关系；弯矩一曲率曲线　摘要：根据弯曲变形平截面假定和钢筋与混凝土各自的材料本构关系推导了梁单元在偏心　轴力作用下截面内力的计算公式，并将他们应用于单元构件从开始加载直至破坏的全过程分　析，得出了截面弯矩　与截面转角　之间的关系，提出了数值计算的步骤与方法并利用Ｍａｔ—　ｌａｂ语言实现编程计算，得出了合理的计算结果。　中图分类号：ＴＵ　３７５．１　文献标志码：Ａ　０　引言　钢筋混凝土是当今土木工程、水利水电工程使用最为广泛的建筑材料，钢筋混凝土结构是目前各种建筑　结构物的主要结构形式。对于性质复杂的钢筋混凝土结构，材料非线性与几何非线性常同时存在，框架结构　在荷载作用下产生一系列的非线性性能。用传统的只考率弹性范围内小变形方法来分析计算是不可能的，　一般需要采用非线性有限元分析方法。因为钢筋混凝土由钢筋和混凝土两种材料共同组成，在进行有限元　建模时必须考虑这两种材料的各自特点进行组合。常用的组合模型有三种：分离式模型、组合式模型与整体　式模型。对于分离式模型与组合式模型，由于需要采用Ｂｌｏｃｋ单元，单元数量大，因此在一般情况下只适用　于单个构件或经过简化之后的模型；对于框架结构（或能够简化为框架的结构），在进行整体分析建立有限　元模型时一般仍然采用梁式单元。因此需要建立梁单元截面弯矩．转角之间的关系，在全部的加载直到破坏　过程中，要综合考虑钢筋、混凝土两种材料共同受力时应力应变关系。　１　材料本构关系　为简化钢筋混凝土构件在轴力、弯矩共同作用下的全过程分析，采用如下材料本构关系：　１．１钢筋的应力－应变关系　受压和受拉区钢筋都采用双直线型的应力．应变曲线（图Ｉ），即为完全弹塑性模型。该模型不考虑强化　段。其关系式如下…：　上升段－＇Ｂ　＜　ｒｏ　＝Ｅ，６　水平段：　≤　，≤　＝　，（１）　（２）　式中：占，，　，分别为钢筋的应变、应力；　，　：分别为钢筋的屈服应变、屈服应力；Ｅ。是钢筋弹性模量。　１．２混凝土的应力．应变关系　混凝土采用我国混凝土设计规范规定ｌ２】，按照基本假定可以简化为上升段加水平段的混凝土的应力一应　变曲线（图２），其关系式如下　】：　收稿日期：２００９－０４－２７　基金项目：国家自然科学基金资助项目（５０７７８０６１）；河北省自然科学基金资助项目（Ｅ２００８０００３９２）　７０　上升段：　＜ｓ０　河北理工大学学报（自然科学版）　第３ｌ卷　一　【２　一ｃ纠　水平段：　＜　≤　＝　（３）　（４）　式中：８　，　。分别为混凝土的应变、应力　为混凝土棱柱体极限抗压强度；　。为混凝土达到峰值应力时　的应变，取ｓ。＝０．００２；　为混凝土极限压应变，取占　＝Ｏ．００３５。　Ｏ　图１钢筋应力一应变曲线　图２混凝土应力一应变曲线　２　弯矩一曲率关系曲线求解　分析构件截面在轴力、弯矩共同作用下的变形过程时，采用如下的基本假定　］：（１）平截面假设，即构件　从开始受力直至破坏，截面始终保持平面变形。（２）小变形假设，即构件的变形包括极限状态的变形很小，　不影响构件的受力体系的计算图形和内力值。（３）不考虑剪切变形的影响。（４）分析中使用的钢筋和混凝　土的本构（应力－应变）关系基于标准材性试验测定的结果。（５）忽略受拉区混凝土的作用，不考虑混凝土的　收缩、徐变和温湿度变化引起的内应力和变形。（６）钢筋与混凝土之间不发生滑移　］。　２．１计算混凝土合力　设构件截面宽度为ｂ，受压区高度为　，边缘混凝土应变为ｓ　，由假定（５）可知只需计算受压区混凝土合　力，设其合力为Ｆ　。利用积分得到其计算简图如图３所示：　ｆ　Ｆｃ＝【ｏＪ　ｒｅ．（Ｙ）Ｂｄｙ＝ｂ　ｆ　。（　）ｄ８　ｃｒＪ　０　（５）　根据图２混凝土应力一应变关系积分求混凝土合力如下：　当８　＜　时　上　ｃ（　）），）Ｂｄｙ＝６乏　【乏Ｊ。　【２２生一（　８０一（　）　】Ｊ如。如ｃ　当８０＜占。≤　时　Ｆ＝ｏ（６）　（７）　６　ｏ）　６　．ｑＣ　Ｊ／－【ｒ２　一（　）　ｄ　＋ｂｘｆ￣（１一占。￣ｔｔ　２．２计算钢筋合力　设截面所配钢筋受压面积与受拉钢筋面积分别为Ａ　与Ａ，，受拉与受压保护层厚度分别为口　，与ｏ，。由　基本假定（１）和（６）可知钢筋和混凝土之间不会发生相对滑移，因此它们的应变保持一致，可以按照线性关　系由混凝土边缘压应变艿　，求得相应的钢筋应变　，进而乘以钢筋面积得到受拉区钢筋合力　和受压区钢　筋合力，　，如图３所示。　（１）受拉区钢筋合力　当　＜ｓ　时，８　＝警（＾一　）　第１期　王萃敏，等：基于ＭＡＴＬＡＢ语言的钢筋混凝土梁截面Ｍ．　曲线　Ｆ　ｓ：Ｅ　ｓ８　ｓＡｉ　７１　（８）　当　≥占　时，占　＝　Ｆ　ｓ：ｆ　ｓ　（９）　●　●——　ｒ　Ｏ　ｃｔ　、、　ｅＯ　Ｃ　●　ｒ一—－　Ｃ　Ｅ　ｊ　图３截面应力及内力计算示意图　（２）受压区钢筋合力　当　；＜ｓｙ时，８　＝　（＾一　。）　Ｆ　＝　＇ｓＥＡ　，　ｓ（１０）　（１１）　当占　≥　时，　＝　Ｆ　：　２．３计算截面弯矩　在求出混凝土合力　与钢筋的合力　、Ｆ　之后，将它们对受拉区钢筋的截面形心取矩，分别得到混凝　土和受压区钢筋的弯矩　。、　，。然后分别根据轴向力平衡和对受拉钢筋截面的力矩平衡条件列方程，可以　得到：　Ｆ　ｃ＋Ｆ　ｓ—Ｆｓ：Ｎ　（１２）　—（　＋　—　）＋　。一口　）＝Ｎ（ｅｏ＋　ｈｎ）　（１３）　３　弯矩一曲率求解流程图　由于材料的非线性　本构关系和裂缝的逐渐　开展，上述平衡方程难　有显式的解析解，因此　这里利用Ｍａｔｌａｂ语言　输入基毒参数ｂ，ｈ，　Ａ，　Ａ｜ｔ，　．　一………～Ｅ｜．ｆｙ，　１～……………　编制计算程序，利用计　算机来实现截面的全过　程分析Ｌ６］。　整个过程基本框架　图如图４所示：　４　计算实例　某一钢筋混凝土框　架结构，其梁截面尺寸　２５０　ｒｌｆｍ×６００　ｍｉｌｌ，混凝　土强度为Ｃ３０，受拉、受　ｉ、结束　．—＿　、、　一一　图４弯矩．曲率求解流程图　７２　河北理工大学学报（自然科学版）　第３ｌ卷　压钢筋均采用ＨＲＢ３３５，配筋率分别为Ｐ　（适宜配筋率下限）、Ｐ（适宜配筋率中间值）、ｐ一（适宜配筋率上　限）。按照图４所示的计算流程图可以利用Ｍａｔｌａｂ语言编制计算钢筋混凝土材料的承载力与变形之间的关　系曲线（肌　曲线），求解程序步骤如下：　１）输人基本参数ｂ，ｈ，ｈ。，Ａ　，Ａ　。，ｆ０　，Ｅ，　２）给变量赋初值，令边缘混凝土应变　＝０，循环参数ｋ＝０；　３）定义数组　（　Ｍ㈤，　㈤，并令ｋ循环用迭代法求受压区高度直到　（Ｉ）＝　；　４）据求得的受压区高度　分别求相应的钢筋合力ＳＦ、ＳＦ　和混凝土合力ＣＦ，进而计算弯矩，根据力矩平　衡条件计算截面弯矩Ｍ㈨＝Ｍｃ＋Ｍ　ｓ；　５）计算截面曲率　㈩＝　／ｘ（　６）给变量一小增量ｋ＝ｋ＋１，　＝　＋０．０００　０５，循环以上步骤。　７）一直循环到达到　＝０．００３　５时结束，最后绘出　曲线，如图５所示。　可以看出在三个配筋率情况下，配筋率取最大值（适宜配筋率上限）时，截面破坏时的变形（转角）较小，　属脆性破坏；反之当截面配筋率取最小值（适宜配筋率下限）时，截面破坏时的转角较大，属柔性破坏；这个　结论证明了上述求Ｍ．‘ｐ曲线计算过程的正确性。　Ｚ　（ｔａｄ）‘　图５配筋率与　妒曲线　５　结论　本文根据钢筋混凝土结构理论，采用国家规范规定的钢筋和混凝土的本构关系，通过分析钢筋混凝土几　何变形条件和力学平衡方程，利用ＭＡＴＬＡＢ语言编制的程序计算了钢筋混凝土材料的承载力与变形之间的　关系曲线（Ｍ－￣ｐ曲线），并结合工程实例绘出了不同配筋率时的　曲线，通过分析最大最小配筋率的破坏　类型，验证了求肛　曲线计算过程的正确性。得到的一系列数据为钢筋混凝土结构在ＡＮＳＹＳ中建立整体　式模型提供了可靠的参数。　参考文献：　［１］　程文滇，等．混凝土结构［Ｍ］．北京：中国建筑工业出版杜，２００２．　［２］ＧＢ５００１０－０２０２，混凝土结构设计规范［ｓ］．北京：中国建筑工业出版社，２００２．　［３］曹素卿，王兴国．框架梁柱正截面受力性能的全过程分析【ｊ］．河北理工大学学报（自然科学版），２００７，２９（３）：１２０—１２２．　［４］　吕西林，等．钢筋混凝土结构非线性有限元理论与应用［Ｍ］．上海：同济大学出版社，１９９７．　［５］顾祥林，等．混凝土结构的计算机仿真［Ｍ］．上海：同济大学出版社，２００２．　［６］何培玲，赵艳静，王振武．十字形截面钢筋混凝土双向压弯柱延性的试验及理论研究［Ｊ］．建筑结构，１９９９（１）：３８－４１．　第１期　王萃敏，等：基于ＭＡＴＬＡＢ语言的钢筋混凝土梁截面肼一　曲线　７３　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ａｂｏｕｔ　Ｍ一‘Ｐ　Ｃｕｒｖｅ　ｏｆ　Ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ　Ｃｏｎｃｒｅｔｅ　Ｂｅａｍ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ＭＡＴＬＡＢ　ＷＡＮＧ　Ｃｕｉ—ａｉｒｎ，ＷＡＮＧ　Ｘｉｎｇ—ｇｕｏ，ＳＵ　Ｙｏｕ—ＰＯ，ＧＥ　Ｎａｎ　（Ｈｅｂｅｉ　Ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｃｅｎｔｅｒ，Ｈｅｂｅｉ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔａｎｇｓｈａｎ　Ｈｅｂｅｉ￣３００９，Ｃｈｉｎａ）　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：　ｓｔｒａｉｎ；ｙｉｅｌｄｉｎｇ　ｓｔｒｅｎｇｔｈ；ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎ；ｍｏｍｅｎｔ—ｃｕｒｖａｔｕｒｅ　ｃｕｒｖｅ　Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ａ　ｇｒｏｕｐ　ｏｆ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｆｏｒ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ｉｎｔｅｒｎａｌ　ｆｏｒｃｅｓ　ｉｎ　ｂｅａｍ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ　ｔｏ　ａ　ｅｃｃｅｎｔｒｉｃ　ａｘｉａｌ　ｆｏｒｃｅ　ｗａｓ　ｄｅｒｉｖｅｄ　ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔ｝ｌｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐｌａｉｎ　ｓｔｒａｉｎ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍａｔｅｒｉ—　ａｌｓ．Ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｃｒｏｓｓ—ｓｅｃｔｉｏｎ　ｍｏｖｅｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｒｏｔａｔｉｏｎ　ａｎｇｌｅ　ｗａｓ　ｇｅｎｅｒａｔｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｈｅ　ｆｔｏｒｍｕｌａ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｆｕｌｌ　ｒａｎｇｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｆｒｏｍ　ｂｅｇｉｎｎｉｎｇ　ｏｆ　ｌｏａｄｉｎｇ　ｔｏ　ｄｅｓｔｒｕｃｔｉｎｇ．　ｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｐｒｏｃｅｓｓ　Ｗａｓ　ｃｏｄｅｄ　ｗｉｔｈ　ＭＡＴＩＡＢ　ｓｏｆｔｗａｒｅ　ａｎｄ　ａ　ｄｅｓｉｒｅｄ　ｒｅｓｕｌｔ　ｃｏｕｌｄ　ｂｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　（上接第５９页）　Ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｅｎｔｅｒ－－Ｆｏｃｕｓ　ａｎｄ　Ｌｉｍｉｔ　Ｃｙｃｌｅ　Ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ａ　Ｃｌａｓｓ　ｏｆ　Ｓｐｅｃｉａｌ　Ｃｕｂｉｃ　Ｓｙｓｔｅｍ　ｉｎ　Ｗｈｉｃｈ　Ｏｒｉｇｉｎ　ｉｓ　Ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ　Ｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｐｏｉｎｔ　ＺＨＡＯ　Ｑｉｎ—ａｑｉａｎ，ＢＵ　Ｊｕｅ—ｐｉｎｇ，ＢＩ　Ｘｉａｎ—ｂｉｎｇ　（Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　Ｔｅｃｈｎｉｕｅ，ｑ　Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｓｏｕｔｈ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙ，Ｃｈａｔｎｇｓｈａ　Ｈｕｎａｎ　４１００８３，Ｃｈｉｎａ）　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：　ｃｕｂｉｃ　ｓｙｓｔｅｍ；ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ　ｓｉｎｇｕｌｒ　ａｐｏｉｎｔ；ｑｕａｓｉ－Ｌｙａｐｕｎｏｖ　ｃｏｎｓｔａｎｔ；ｃｅｎｔｅｒ－－ｆｏｃｕｓ；ｏｒｉｉｇｎ；ｐｅｒｔｕｒｂ；ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｃｕｂｉｃ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｎ　ｗｈｉｃｈ　ｏｒｉｉｇｎ　ｉｓ　ｎｉｌｏｔｐｅｎｔ　ｓｉｎｇｕｌｒ　ａｐｏｉｎｔ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｉｎ　ｈｉｔｓ　ｐａｐｅｒ．Ａ　ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｉｓ　ｄｅｒｉｖｅｄ　ｔｏ　ｃｏｍｐｕｔｅ　ｑｕａｓｉ—Ｌｙａｐｕｎｏｖ　ｃｏｎｓｔａｎＬ　Ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ　ｆｏｒｍｕｌａ　ａｎｄ　ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ｓｙｓ－　ｔｅｍ－－Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ，ｔｈｅ　ｆｉｓｔｒ　ｓｉｘ　ｑｕａｓｉ—Ｌｙａｐｕｎｏｖ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｆ　ｏｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ，ｆｒｏｍ　ｗｈｉｃｈ　ｔｈｅ　ｃｏｎｄｉｉｔｏｎｓ　ｆｏｒ　０ｒ－　ｉｉｇｎ　ｔｏ　ｂｅ　ａ　ｃｅｎｔｅｒ　ｎｄ　ｔａｈｅ　ｈｉｇ｝ｌｅｓｔ　ｄｅｇｒｅｅ　ｆｉｎｅ　ｆｏｃｕｓ　ａｒｅ　ｄｅｒｉｖｅｄ．Ｓｉｘ　ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅｓ　ｗｈｉｃｈ　ｏｒｉｇｉｎ　ｉｓ　ｓｕｒｒｏｕｎｄｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄ　ｏｆ　ｏｒｉｉｇｎ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｓ　ｐｅｒｔｕｒｂｅｄ　ｆｉｎｅｌｙ．