初三数学中考专题复习(一)相切问题

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1.如图，已知在正方形ABCD中，AB = 2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，联结AP．过点P作PF⊥AP，与∠DCE 的平分线CF相交于点F．联结AF，与边CD相交于点G，联结PG． （1）求证：AP = FP；

（2）⊙P、⊙G的半径分别是PB和GD，试判断⊙P与⊙G两圆的位置关系，并说明理由； （3）当BP取何值时，PG // CF．

A

D G

F

B

P

C

E

2. 如图，已知AB⊥MN，垂足为点B，P是射线BN上的一个动点，AC⊥AP，∠ACP=∠BAP，AB=4，BP=x，CP=y，点C到MN的距离为线段CD的长． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

（2）在点P的运动过程中，点C到MN的距离是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示这段距离；如果不发生变化，请求出这段距离． （3）如果圆C与直线MN相切，且与以BP为半径的圆P也相切，求BP∶PD的值．

A C

M B P D N

3．如图九，△ABC中，AB=5，AC=3，cosA=

3．D为射线BA上的点（点D不与点B10重合），作DE//BC交射线CA于点E.．

(1) 若CE=x，BD=y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；

(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由． A（DE 图九

）

B C

4.在等腰△ABC中，已知AB=AC=3，cosB，D为AB上一点，过点D作DE⊥AB交3BC边于点E，过点E作EF⊥BC交AC边于点F．

（1）当BD长为何值时，以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切？

（2）过点F作FP⊥AC，与线段DE交于点G，设BD长为x，△EFG的面积为y，求y关

于x的函数解析式及其定义域．

1AFDB

EC5.如图，⊙O的半径OA1，点M是线段OA延长线上的任意一点，⊙M与⊙O内切于点B，过点A作CDOA交⊙M于C、D，联结CM、OC，OC交⊙O于E． （1） 若设OMx,SOMCy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3分）

（2） 将⊙O沿弦CD翻折得到⊙N，当x4时，试判断⊙N与直线CM的位置关系；

（4分）

（3） 将⊙O绕着点E旋转180得到⊙P，如果⊙P与⊙M内切，求x的值． （7分） C

E

BO O A M D 6.已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=4，AD=BC=2，∠ABC=120°．P、Q分别为射线

BC和线段CD上的动点，且CQ=2BP．

（1）如图1，当点P为BC的中点时，求证：△CPQ∽△DAQ；

（2）如图2，当点P在BC的延长线上时，设BP=x，△APQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）以点A为圆心AQ为半径作⊙A，以点B为圆心BP为半径作⊙B，

当⊙A与⊙B相切时，求BP的长． Q

D C

P

A B

图1

P Q

D C

A B

图2

初三数学中考专题复习（一）答案

1.如图，已知在正方形ABCD中，AB = 2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，联结AP．过点P作PF⊥AP，与∠DCE 的平分线CF相交于点F．联结AF，与边CD相交于点G，联结PG． （1）求证：AP = FP；

（2）⊙P、⊙G的半径分别是PB和GD，试判断⊙P与⊙G两圆的位置关系，并说明理由；

D （3）当BP取何值时，PG // CF． A

B

1.（1）证明：在边AB上截取线段AH，使AH = PC，联结PH． ∵∠APF = 90°，∴∠APF =∠B． ∵∠APC =∠B +∠BAP =∠APF +∠FPC，

∴∠PAH =∠FPC．………………………………………………………（1分） 又∵∠BCD =∠DCE = 90°，CF平分∠DCE，∴∠FCE = 45°． ∴∠PCF = 135°．

又∵AB = BC，AH = PC，∴BH = BP，即得∠BPH =∠BHP = 45°．

∴∠AHP = 135°，即得∠AHP =∠PCF．………………………………（1分）

在△AHP和△PCF中，∠PAH =∠FPC，AH = PC，∠AHP =∠PCF， ∴△AHP≌△PCF．∴AP = PF．………………………………………（1分）

（2）解：⊙P与⊙G两圆的位置关系是外切．

延长CB至点M，使BM = DG，联结AM． 由AB = AD，∠ABM =∠D = 90°，BM = DG，

得△ADG≌△ABM，即得AG = AM，∠MAB =∠GAD．………………（1分） ∵AP = FP，∠APF = 90°，∴∠PAF = 45°．

∵∠BAD = 90°，∴∠BAP +∠DAG = 45°，即得∠MAP=∠PAG = 45°．（1分） 于是，由AM = AG，∠MAP =∠PAG，AP = AP， 得△APM≌△APG．∴PM = PG．

即得PB + DG = PG．………………………………………………………（2分） ∴⊙P与⊙G两圆的位置关系是外切．……………………………………（1分）

（3）解：由PG // CF，得∠GPC =∠FCE = 45°．…………………………………（1分）

于是，由∠BCD = 90°，得∠GPC =∠PGC = 45°．

∴PC = GC．即得DG = BP．………………………………………………（1分） 设BP = x，则DG = x．由AB = 2，得PC = GC = 2 – x． ∵PB + DG = PG，∴PG = 2 x．

在Rt△PGC中，∠PCG = 90°，得sinGPCCG2．……………（1分）

PG2G

F

P

C

E

由正方形ABCD，得∠B =∠BCD =∠D = 90°，AB = BC = AD．……（1分）

即得2x2．解得x222．………………………………………（1分）

2x2∴当BP(222)时，PG // CF．………………………………………（1分）

2. 如图，已知AB⊥MN，垂足为点B，P是射线BN上的一个动点，AC⊥AP，∠ACP=∠BAP，AB=4，BP=x，CP=y，点C到MN的距离为线段CD的长． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

（2）在点P的运动过程中，点C到MN的距离是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示这段距离；如果不发生变化，请求出这段距离．

（3）如果圆C与直线MN相切，且与以BP为半径的圆P也相切，求BP∶PD的值．

解：（1）∵AB⊥MN，AC⊥AP，∴

A C

ABPCAP90．

又∵∠ACP=∠BAP，∴△ABP∽△CAP．…（1分）

M

∴

B

P

D

N

xBPAP，即2APPCx16x16．…（1分） y2x216∴所求的函数解析式为y (x0)．（1分，1分）

x（2）CD的长不会发生变化．……（1分） 延长CA交直线MN于点E．………（1分） ∵AC⊥AP，∴PAEPAC90．

∵∠ACP=∠BAP，∴APCAPE．∴AEPACP． ∴PEPC．

∴AEAC． ………………（1分） ∵ABMN，CDMN，∴AB//CD． ∴

ABAE1．………………………（1分） CDCE2∵AB=4，∴CD8．………………………（1分）

（3）∵圆C与直线MN相切，∴圆C的半径为8．…………（1分）

（i）当圆C与圆P外切时，CPPBCD，即yx8．

x216x8．∴x2． …………（1分） ∴x1∴BP:PD． ………………（1分）

3x216x8． （ii）当圆C与圆P内切时，CPPBCD，即yx8，∴xx216x216x8 或 8x． ∴xx∴x2（不合题意，舍去）或无实数解．……（1分，1分） ∴综上所述 BP:PD1． 33．如图九，△ABC中，AB=5，AC=3，cosA=

3．D为射线BA上的点（点D不与点B10重合），作DE//BC交射线CA于点E.．

(1) 若CE=x，BD=y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；

(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请A（DE求出线段BF的长；若不存在，请说明理由． 图九 ）

ADAE3．解：（1）∵DE//BC，………（1分） DBEC∴ 5y3x …………………（1分）

yx∴yBADO1 P CEO22 5x，（x0） ……………（2分） 3B图（1）

C（2）作BH⊥AC，垂足为点H，

331，AB=5，∴AH==AC，∴BH垂直平分AC, 1022∴△ABC 为等腰三角形，AB=CB=5； ………………（1分）

∵cosA=

①当点D在BA边上时（两圆外切），如图（1） 易知：O1O2 //BC，∴O1O2= AO1，即：∵yxyy5 222O1 530x，∴ x…………（1分） 3135∵DE//BC，∴DE=AD=5－y，∴DEx5.

3530155………（1分） ∴DE31313yxy5 222EAO2 DP B图（2）

C②当点D在BA延长线上时（两圆内切），如图（2）、（３），

易知：O1O2 //BC，且O1O2= AO1， (ⅰ) 如图（2）， ∵O1O2= AO1，即：

530x，∴ x……………（1分） 375∵DE//BC，∴DE=AD= y－5，∴DEx5.

3530155………（1分） ∴DE377yxy(ⅱ) 如图（３），∵O1O2= AO1，即：5

2225∵yx，∴ x10…………（1分）

35∵DE//BC，∴DE=AD= y－5，∴DEx5.

3535∴DE105…………………（1分）

33∵y解二：（2）①当点D在BA边上时（两圆外切），如图（1）

yxy5AO1O1O2222 ∵，∴ ABBC55∵yEP O2 DO1 ACB图（3）

ADO1 P EO22 B图（1）

C530x，∴ x……………………………（1分） 313303AEDE1513DE，∴ DE∵，∴ …（1分） ACBC1335EAO1 O2 DP

②(ⅰ) 当点D在BA延长线上时（两圆内切），如图（2）

yyx5AO1O1O2222 ∵，∴

ABBC55B图（2）

C530∵yx ，∴ x………（1分）

373AEDEDE，∴ DE15…（1分） ∵，∴ 7P ACBC73530EO2 DO1 AC(ⅱ) 当点D在BA延长线上时（两圆内切），如图（3） yyx5AO1O1O2222， ∵∴ABBC55∵ yB图（3）

A5x，∴x10,…（1分） 3BD303AEDEDE，∴ DE35…（1分） ∵，∴ 7ACBC335（ 3）①当∠EDF=∠B时，如图（4） 易得：AD=DE=DF=DB，∴AF⊥BC,

αααFEαC图（4）

A由cosA=cosC=

3，AC=3， 10αBDααF419，∴BF.………（1分）

1010②当∠DEF=∠B时，如图（5）

∴FCαEC图（5）

易得：DBF≌EFC，∴BF5.…………（1分） 2AD③当∠DFE=∠B时，如图（6）

易得：四边形DFCE为平行四边形， ∴

AEDE35k3k，∴， ACBC3515125∴k，∴BF53k.…（1分）

B3434

αEα3Kα5K5K5KαFα3KC图（6）

4.在等腰△ABC中，已知AB=AC=3，cosB13BC边于点E，过点E作EF⊥BC交AC边于点F．

（1）当BD长为何值时，以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切？

（2）过点F作FP⊥AC，与线段DE交于点G，设BD长为x，△EFG的面积为y，求y关

于x的函数解析式及其定义域．

4． 解：(1)过点A作AM⊥BC，垂足为点M，……………1分

1在Rt△ABM中，cosB，AB=3，∴BM=1．……………1分

3∵AB=AC， AM⊥BC，∴BC=2．………………1分 设BD长为x，

1在Rt△BDE中，cosB，∴BE=3x，EC=23x．

3同理FC=69x，FE=4262x，…………1分 ∴AF=9x3， ………………………1分 由题意得9x3=4262x， 解得x22 (2) ∵DE⊥AB，EF⊥BC，

，D为AB上一点，过点D作DE⊥AB交

AFDBEC25题图

73．……2分

∴BBED90，DEFBED90，∴BDEF．………1分

同理EFGC，∴△ABC∽△EFG．…………………………………1分 ∴

SEFGEF2()．……………………………………1分 SABCBCy22(4262x2∴)2

62x)…4分 113∴y362x2482x162 (

5.解：（1）在RtMAC中，MAC90,MAx1,MCx1

∴ AC ∴ yMC2MA2(x1)2(x1)22x ……（1分）

11MOACx2xxx ……（2分） 22函数的定义域是：x＞1 ……（3分）

（2）过点N作NQCM，垂足为Q．

∴ NQM90MAC,MM

∴ NQM∽CAM ∴

NQNM ……（4分） CACM ∵x4 ∴ NMx22,CA2x4,CMx15 …（5分）

NQ28 ∴ NQ ＞1 ……（6分） 455 ∴ ⊙N与直线CM相离 ……（7分）

∴

（3）联结MP,ME.

由⊙M与⊙P、⊙O都内切，且⊙P与⊙O外切于点E

∴ MPMO ………………………………………………（8分）

又OEPE ∴ MEPO ∴MEO90 ……（9分） ∵ OAOE,OO，MEOCAO90

∴ MEO≌CAO ∴ MECA2x ……（11分）

222 在RtMEO中，MEO90 ，∴ MEOEMO

22 ∴ 4x1x 即 x4x10 ……（12分） 解得，x125,x225（不合题意，舍去） ……（14分） ∴ x25．

25.解：（1）过点A作AMCD,M为垂足， 过点A作ANCD,N为垂足

根据题意得:AM=BN,AB=MN=4,DM=CN 在直角三角形△CBN中, ∴DCB60,BC=2

CN=1,BN=3 ∴ DM=1,AM=3∴CD=6………………………………2分

∵点P为BC的中点，且CQ=2BP ∴CP=1,CQ=2,DA=2,DQ=4

∴

CPCQ 又QCPD60 DADQ∴△CPQ∽△DAQ…………………………2分

(2) ∵AB∥DC ∴

PCCE4x8x2CE ∴ ∴CE PBABxx44x82x24x8∴QE2x………………2分 xx过点P作PHCD交DC的延长线于H

在直角三角形△CBN中, ∴PCH60,PCx2

PH3(x2) 2∵SAPQSPQESAQP

132x24x812x24x8∴y (x2)322x2x∴y32(x2x4) …………………2分 2(2x3)………………………1分

(3) ∵DM1,DQ62x ∴QM52x 在直角三角形△AQM中,

AQ(52x)23……………………………1分

当⊙A与⊙B外切时， AQBPAB

(52x)23x4,x1x22…………………………2分

当⊙A与⊙B内切时， AQBPAB

(52x)23x4

x11441014410,x2(舍去)……………2分 33∴当BP2时, ⊙A与⊙B外切; 当BP

14410时, ⊙A与⊙B内切时. 3