高中数列解题方法

数列

1. 公式法：

n(a1an)n(n-1)na1d22

等差数列求和公式:

SnSnna1 (q1)a1(1-qn)(a1-anq)Sn (q1)1q1q等比数列求和公式：

等差数列通项公式： ana1(n1)d

ana1qn1等比数列通项公式：

2.错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 和等差等比数列相乘{an},{bn}分别是等差数列和等比数列. Sna1b1a2b2a3b3...anbn

例题：

已知ana1(n1)d,bna1qn1,cnanbn,求{cn}的前n项和Sn

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解：据题意得：Sna1b1a2b2a3b3a4b4....anbnqSn a1b2a2b3a3b4...an-1bnanbn1 (1q)Sn a1b1b2(a2-a1)b3(a3-a2)...bn(an-an-1]-anbn1 a1b1-anbn1d(b2b3b4...bn) ①a1b1-anb1qndb2（1-qn-1） 1qn-1(a1nd-d)b1qndb（21-q） a1b1- 1-qn-1(a1nd-d)b1qndb（21-q）Sna1b1-(1-q)2 3.倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an)

例题：已知等差数列{an}，求该数列前n项和Sn

解：据题意得，Sn a1 a2 a3...... an ①Sn an an-1an-2...... a1 ②由①②，得2Snn(a1an)Snn(a1an)2 4.分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

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5.裂项法

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即然后累加时抵消中间的许多项。

常用公式：

111n(n1)nn11111(2)()(2n1)(2n1)22n12n111(3)(ab)abab (1)1n(n1)的前n项和Sn

例题：求数列

an111n(n1)nn111111111Sn1.....122334nn1n1 解：an小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意： 余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是对称的。

2余下的项前后的正负性是相反的。

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6.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

例题：求证： 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) n(n1)(n2)(n3)(n4)5

证明：当n1时，1234  24  23455，等式成立假设当nk时，原命题成立，则1234  2345  3456  ... k (k1)(k2)(k3) k(k1)(k2)(k3)(k4)5当nk1时，1234  2345  3456  .....  n(n1)(n2)(n3)1234  2345  3456  ... k (k1)(k2)(k3)(k1)(k2)(k3)(k4)k(k1)(k2)(k3)(k4)5(k1)(k2)(k3)(k4)(k1)(k2)(k3)(k4)（k5)5，等式成立综上所述，当nN*,原命题始终成立 7.通项化归

先将通项公式进行化简，再进行求和。

4

=

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8.（备用）

a3b3(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)

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