求函数值域方法
(1)、直接法:从自变量x的范围出发,推出yf(x)的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。 例1:求函数y 例2:求函数yx12x1,x≥1的值域。2,
x1的值域。
x6x10的值域。1,例3:求函数y解:∵x0,∴x11,∴函数yx1的值域为[1,)。
2(2)、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如F(x)af(x)bf(x)c的函数的值域问题,均可使用配方法。例1:求函数yx4x2(x[1,1])的值域。
222解:yx4x2(x2)6, ∵x[1,1],∴x2[3,1],∴1(x2)9
222∴3(x2)65,∴3y5∴函数yx4x2(x[1,1])的值域为[3,5]。
(3).最值法:对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。 例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。解:由3-2x-x2≥0,解出定义域为[-3,1]。 函数y在[-3,1]内是连续的,在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4,最小值为0。∴函数的值域是[0,2] 例2;求函数y2,x2,2的值域。,4例3;求函数y2x5x6的值域,
84x1273(4)、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。例1:求函数y1212xxxx的值域.解:由y1212xx解得2x1y1y,∵20,∴
x1y1y0,
∴1y1∴函数y1212的值域为y(1,1)。
(5)、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。小结:已知分式函数yaxbcxd(c0),如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,
值域为yyadca,采用部分分式法将原函数化为;如果是条件定义域(对自变量有附加条件)
cyacbcxd(adbc),用复合函数法来求值域。
例1:求函数y71x2x5的值域。解:∵y1x2x512(2x5)2x577212,
22x5∵
11x120,∴y,∴函数y的值域为{y|y}。
2x522x52
(6)、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如
yaxbcxd(a、b、c、d均为常数,且a0)的函数常用此法求解。
例1:求函数y2x12x的值域。解:令t12541212x(t0),则x38541t22,
∴yt2t1(t)2∵当t5,即x时,ymax,无最小值。
∴函数y2x12x的值域为(,]。
4(7)、判别式法:把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)0;通过方程有实数根,判别式0,从而
a1xb1xc1a2xb2xc222求得原函数的值域,形如y(a1、a2不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。
例1:求函数yxx3xx122的值域。解:由yxx3xx122变形得(y1)x(y1)xy30,
22当y1时,此方程无解;当y1时,∵xR,∴(y1)4(y1)(y3)0,
113113解得1y,又y1,∴1y∴函数yxx3xx122的值域为{y|1y113}
(8)、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。
例1:求函数yx12x的值域。
解:∵当x增大时,12x随x的增大而减少,12x随x的增大而增大,
1∴函数yx12x在定义域(,]上是增函数。∴y212121212,
∴函数yx12x的值域为(,]。
21例2.求函数yx1x在区间x0,上的值域。
分析与解答:任取x1,x20,,且x1x2,则fx1fx2x1x2x1x21x1x2,因为
0x1x2,所以:x1x20,x1x20,当1x1x2时,x1x210,则fx1fx2;
当0x1x21时,x1x210,则fx1fx2;而当x1时,ymin2 于是:函数yx1x在区间x0,上的值域为[2,)。构造相关函数,利用函数的单调性求值域。
1x1x的值域。
例3:求函数fx
分析与解答:因为相关函数gxgming11x01x01x1,而1x与1x在定义域内的单调性不一致。现构造
1x1x,易知g(x)在定义域内单调增。gmaxg12,
2,gx2,0g2x2,
222又fxgx4,所以:2fx4,2fx2。
(9)、基本不等式法
利用基本不等式a2b22ab和ab2ab(a,b0)是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取\"\"成立的条件.
例1 求函数解答: yyx2x1x2x1的值域.
1x1x12, 当且仅当x1时\"\"成立. 故函数的值域为y[2,).
此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.
例2 求函数yx2x2x12的值域.
解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解
2出\"(x1)\"项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设: (x1)(xb)cx2x2,
将上面等式的左边展开, 有: x(b1)x(bc),故而b12, bc2. 解得b1, c1. 从而原函数y(x1)(x1)1x12(x1)1x1; ⅰ)当x1时, x10,
1x11x10, 此时y2, 等号成立,
当且仅当x0. ⅱ)当x1时, (x1)0, (x1)(x1)1x10, 此时有
1(x1)2, x1x11y(x1)等号成立, 当且仅当x2. 综上, 原函数的值域为: y(,2][2,). 利用基本不等式
,求函数的最值,其题型特征解析式是
和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例3. 求函数
的值域。
解:原函数变形为:
当且仅当
故原函数的值域为: 例4. 求函数
解:
的值域。
即当时,等号成立
当且仅当,即当
时,等号成立。
由可得:故原函数的值域为:
(10)、有界性法:利用某些函数有界性求得原函数的值域。
例1:求函数yx1x122的值域。解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为R,对函数进行变
形可得(y1)x(y1),
∵y1,∴x22y1y1(xR,y1),∴y1y10,∴1y1,
∴函数yx1x122的值域为{y|1y1}
22形如sinf(y),xg(y),因为sin1,x0可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。
例2.求函数yxx22xx11的值域 [解析]:函数的有界性
由y2211得2xy1y1220,y1y10y1或y1
例3:求函数y
的值域。 ,3,
3cosx252cosx11
例4:求函数y的值域。 ,3
2sinx32sinx1(11)、数型结合法:函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值
域,是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。
例1:求函数y|x3||x5|的值域。
2x2(x3)解:∵y|x3||x5|8 (3x5),
2x2(x5)y8∴y|x3||x5|的图像如图所示,
由图像知:函数y|x3||x5|的值域为[8,)
-3o5x以上是我们学习函数之后,关于求函数值域的一些方法,随着以后学习的进一步深入,我们还会学到
其它的一些有关求函数值域的方法。
根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。 例2:求函数yx4x52x4x8的值域。
2 点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。 解:原函数变形为f(x)(x2)12(x2)2 22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位 正方形。设HK=x,则EK=2x,KF=2x,AK=(x2)2, KC=(x2)1 。
由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共 线时取等号。∴原函数的知域为{y|y≥5}。 例3.如例4求函数y分析与解答:令u1x1x的值域。
1x,则u0,v0,u2222221x,vv22,uvy,
原问题转化为 :当直线uvy与圆uv2在直角坐标系uov的第一象限有公共点时,求直线的截距的取值范围。
由图1知:当uvy经过点(0,2)时,ymymaxOD2OCin2;当直线与圆相切时,
222所以:值域为2y2
VD 2BCEOA 2U例4. 求函数
解:将函数变形为:
上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点即:
,则构成 到点
的值域。
的距离之差。
由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点形两边之差小于第三边,有
即:
,根据三角
(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有综上所述,可知函数的值域为:
注:由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴的同侧。
(12)、复合函数法:对函数yf(u),ug(x),先求ug(x)的值域充当yf(u)的定义域,从而求出yf(u)的值域的方法。
3xx例1、求函数y31 的值域 (复合函数法)设31t ,
x
则y31131xx1131x11tt1t101t10y1
原函数的值域为01 例2:求函数ylog1(2x5x3)的值域
2249, 8(13)、非负数法
根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数y16x2的值域。 (2)求函数yx3x122的值域。
2解析:(1)016x16, 016x24,故 所求函数的值域为 y0,4。
222原函数可化为 y(x1)x3,(2)x10,即 x(1y)y3, 当y1时,x22y31y,
x0,2y31y0,解得3y1
1)又 y1, 所以 3y1,故 所求函数的值域为 y[3,。
(不等式性质法)
例2:求下列函数的值域:(1)y=
16x22;(2)y=
142x4x10x2x2)(x12)
22;(3)y=
62sinx1(4)y=10-16x;
2(2)y=3()4(x1);(3)y=log2(x2x2
(14)、导数法 若函数f在(a,b)内可导, 可以利用导数求得f在(a,b)内的极值, 然后再计算f在a,b点的极限值. 从而求得f的值域. 例1: 求函数f(x)x3x在(5,1)内的值域.
32分析:显然f在(5,3)可导,且f(x)3x3. 由f(x)0得f的极值点为x1,x1.
f(1)2,f(10)2. f(50)140. 所以, 函数f的值域为(2,140).
(15)、“平方开方法”
求函数值域的方法有很多种,如:“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤,并给出四道典型的例题.
1.适合采用“平方开方法”的函数特征
设f(x)(xD)是待求值域的函数,若它能采用“平方开方法”,则它通常具有如下三个特征: (1)f(x)的值总是非负,即对于任意的xD,f(x)0恒成立;
(2)
f(x)具有两个函数加和的形式,即
f(x)f1(x)f2(x)(xD);
(3)
2f(x)的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式,即
2f(x)[f1(x)f2(x)]cg(x)(xD,c为常数),其中,新函数g(x)(xD)的值域比较容易求得.
f(x)(xD2.“平方开方法”的运算步骤 若函数再开方,从而得到
f(x)cg(x))具备了上述的三个特征,则可以将
f(x)先平方、
f(x)(xD,c为常数).然后,利用g(x)的值域便可轻易地求出
cv].
的
值域.例如g(x)[u,v],则显然
f(x)[cu,3.应用“平方开方法”四例能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧. 例1 求函数值域.解:首先,当x[a,b]时,
最后,
2f(x)bxxa(x[a,b],axab)的
f(x)0;其次,f(x)是函数
2f1(x)bx与
f2(x)的和;
f(x)ba2(bx)(xa)ba2x(ab)xabf(x)2
f(x) 可见,函数
f(x)ba2满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对
(x[a,b]).这里,g(x)g(x)平方、开方得
x(ab)xab2x(ab)xab2(x[a,b]).对g(x)的值域为
根号下面的二次函数采用“配方法”,即可求得
[ba,2(ba). ]的值域为[0,ba].于是,f(x)例2 求函数
f(x)bkxkxa(x[ab,],abkk,k0)的值域.
f(x)解:显然,该题就是例1的推广,且此题的平方、开方得(x[f(x)ba222f(x)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对(x[ab,]).这里,g(x)2kk22kxk(ab)xabkxk(ab)xaba].于是,f(x)ab,]).对g(x)kk根号下面的二次函数采用“配方法”,即可求得g(x)的值域仍为[0,b2(ba)].例
的值域也仍为[ba,3 求函数f(x)|sinx||cosx|(xR)的值域.
f(x)解:参照例1的验证步骤,显然,此题的平方、开方得是,
f(x)f(x)1|sin2x|f(x)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对
(xR).这里,g(x)|sin2x|(xR).易知,g(x)的值域为[0,1].于
f(x)|sinxcosx||sinxcosx|(xRf(x)的值域为[1,2].例4 求函数)的值域.
f(x)解:参照例1的验证步骤,显然,此题的平方、开方得于是,
f(x)f(x)22|cos2x|(xR也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对
2|cos2x|(xR).这里,g(x)x3).易知,g(x)的值域为[0,2].
的值域为[2,2].例5 求函数y5x 的值域
解:(平方法)函数定义域为:x3,5
y2(x3)(5x)2x228x15
由x3,5,得xy2,428x150,1y 平方法)函数定义域为:x3,5 1 原函数值域为y22,22(x3)(5x)2x28x150
x
由x3,5,得xy2,428x150,1原函数值域为2,2在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中,
(16). 一一映射法 原理:因为
若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围。
例1. 求函数的值域。解:∵定义域为由得
故或解得故函数的值域为
多种方法综合运用 例1 求函数
解:令
,则
的值域。
(1)当时,,当且仅当t=1,即时取等号,所以
(2)当t=0时,y=0。
综上所述,函数的值域为:注:先换元,后用不等式法
例2. 求函数的值域。解:
令,则
,
∴当时,当时,
此时都存在,故函数的值域为
例
3.求函数 y2x(x0) 的值域
解:(图象法)如图,值域为0,1
1例4.求函数y3x2x2 的值域 解:(复合函数法)令tx212x(x1)1,则y(t1)
32t 由指数函数的单调性知,原函数的值域为,
31例5.求函数yx1x2的值域.解:(三角代换法)2sin(1x1设xcos0,
ycossincossin原函数的值域为4)1,21,2
小结:(1)若题目中含有a1,则可设asin,(2)若题目中含有ab122222(或设acos,0)
则可acos,bsin,其中02
(3)若题目中含有1x,则可设xcos,其中0 (4)若题目中含有1x,则可设xtan,其中(5)若题目中含有xyr(x0,y0,r0),
222 2t则可设xrcos2,yrsin2其中0,
20 1 例6、求函数yxx22112t 的值域
解法一:(逆求法)x1y1y01y1 原函数的值域为11解法二:(复合函数2
22t法)设x1t,则 y12x211(t1)
t102t21y1
原函数值域为1,12解法三:(判别式法)原函数可化为 (y1)x0xy10
1) y1时 不成立2)y1时,004(y1)(y1)01y11y1综合1)、2)
,,则 设xtan22{y|1y1}解法四:(三角代换法)xR
y1tan1tan22cos22,cos21,1 原函数的值域为
{y|1y1}
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